動く磁石と導体の問題

動く磁石と導体の問題は、19 世紀に生まれた、古典電磁気学と特殊相対性理論の交点に関する有名な思考実験です。この思考実験では、磁石に対して一定速度vで動く導体の電流を、磁石の基準系と導体の基準系で計算します。実験で観測可能な量である電流は、相対性理論の基本原理である「相対運動のみが観測可能であり、絶対的な静止基準は存在しない」に従って、どちらの場合も同じです。^{[ 1 ]}しかし、マクスウェル方程式によれば、導体内の電荷は磁石の基準系では磁力を受け、導体の基準系では電気力を受けます。同じ現象が、観測者の基準系によって 2 つの異なる記述を持つように見えます。

この問題は、フィゾーの実験、光の収差、そして間接的にはマイケルソン・モーリーの実験のような負のエーテルドリフトテストとともに、アインシュタインの相対性理論の発展の基礎を形成した。^{[ 2 ]}

アインシュタインが1905年に発表した、世界に相対性理論を紹介した論文は、磁石と導体の問題の説明から始まっている。^{[ 3 ]}

現在一般的に理解されているマクスウェルの電気力学を運動する物体に適用すると、現象に本来備わっているとは思えない非対称性が生じることが知られています。例えば、磁石と導体の相互的な電気力学的作用を考えてみましょう。ここで観察される現象は、導体と磁石の相対運動のみに依存しますが、従来の考え方では、これらの物体のどちらか一方が運動している場合とそうでない場合を明確に区別しています。磁石が運動し、導体が静止している場合、磁石の近傍に一定のエネルギーを持つ電場が生じ、導体の一部が存在する場所に電流が発生します。しかし、磁石が静止し、導体が運動している場合、磁石の近傍には電場は発生しません。ただし、導体には起電力が存在し、それ自体には対応するエネルギーはありませんが、議論した2つのケースで相対運動が等しいと仮定すると、前者の場合の電気力によって生じる電流と同じ経路と強度の電流が発生します。

異なる枠組みにおける記述に求められる最も重要な要件は、それらが一貫していることである。一貫性が問題となるのは、ニュートン力学では電荷を駆動し電流を引き起こす力に対して一つの変換（いわゆるガリレオ不変性）が予測されるのに対し、マクスウェル方程式で表される電気力学ではこれらの力を生み出す場が異なる変換（ローレンツ不変性）を示すと予測されるためである。光行差の観測、特にマイケルソン・モーリー実験によってローレンツ不変性の妥当性が確立され、特殊相対性理論の発展によってニュートン力学との矛盾が解消された。特殊相対性理論は、運動する基準系における力の変換をローレンツ不変性と整合するように修正した。これらの変換の詳細については、以下で説明する。

一貫性に加えて、記述を統合して、フレームに依存しないように見えるようにできれば良いでしょう。フレームに依存しない記述の手がかりは、ある参照フレームの磁場が別のフレームでは電場になるという観察です。同様に、電場のソレノイド部分（電荷によって発生しない部分）は、別のフレームでは磁場になります。つまり、ソレノイド電場と磁場は同じものの側面です。^{[ 4 ]}これは、異なる記述のパラドックスは意味論的なものにすぎない可能性があることを意味します。BとEの代わりにスカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルAを使用する記述は、意味論的な罠を回避します。ローレンツ不変の4ベクトルAα = (φ / c , A ^)がEとBを置き換え^{[ 5 ]}、フレームに依存しない記述を提供します（ただし、E – B –記述ほど直感的ではありません）。^{[ 6 ]}記述の別の統一方法は、後述するように、物理的実体を電磁場テンソルとして考えることである。このテンソルは、 E場とB場の両方を成分として含み、すべての参照系で同じ形式を持つ。

電磁場は直接観測することはできない。古典的な電磁場の存在は、軌跡が観測可能な荷電粒子の運動から推測することができる。電磁場は、観測された古典的な荷電粒子の運動を説明する。

物理学における重要な要件の一つは、粒子の運動を観測するすべての観測者が、その粒子の軌跡について一致することである。例えば、ある観測者が粒子が的の中心に衝突したと観測した場合、すべての観測者は同じ結論に達しなければならない。この要件は、電磁場の性質や、電磁場が一方の基準系から他方の基準系へ変換される方法に制約を与える。また、電磁場が荷電粒子の加速度、ひいてはその軌跡にどのように影響を与えるかにも制約を与える。

おそらく最も単純な例であり、アインシュタインが1905年の特殊相対性理論の導入論文で言及した例は、磁石の磁場内で運動する導体の問題です。磁石の座標系では、導体は磁力を受けます。磁石に対して相対的に運動する導体の座標系では、導体は電場による力を受けます。磁石の座標系における磁場と導体の座標系における電場は、導体において一貫した結果を生み出さなければなりません。1905年のアインシュタインの時代には、マクスウェル方程式で表される場の方程式は適切に整合していました。しかし、一貫した粒子の軌道を与えるためには、ニュートンの運動法則を修正する必要がありました。^{[ 7 ]}

磁石の座標系と導体の座標系がガリレオ変換によって関連付けられていると仮定すると、両方の座標系における場と力を計算するのは簡単です。これにより、誘導電流が両方の座標系で同じであることが実証されます。副産物として、この議論は、一方の座標系における電場と磁場を他方の座標系における場を用いて表す一般的な公式も導き出します。 ^{[ 8 ]}

実際には、これらの座標系はガリレオ変換ではなく、ローレンツ変換によって関連付けられています。しかしながら、光速よりもはるかに遅い速度においては、非常に良い近似としてガリレオ変換となります。

プライム記号のない量は磁石の静止系に対応し、プライム記号のある量は導体の静止系に対応する。v を磁石の座標系から見た導体の速度とする。

導体フレーム

導体座標系では、磁石座標系の磁場Bと関連した時間変動磁場B ′が存在する。 ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \mathbf {B} '(\mathbf {r'} ,t')=\mathbf {B} (\mathbf {r_{t'}} )}$$どこ$\displaystyle \mathbf {r_{t'}} =\mathbf {r'} +\mathbf {v} t'}$

この座標系には電場が存在し、その回転はマクスウェル・ファラデー方程式によって与えられる。 $$\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} '=-{\frac {\partial \mathbf {B} '}{\partial t'}}.}$$

これにより、以下の結果が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

  この方程式の説明${\displaystyle \mathbf {E} '}$。

これを分かりやすく説明すると、導体が勾配のある磁場中を移動する場合${\displaystyle \partial B_{z}/\partial z}$z軸に沿って一定速度で${\displaystyle v_{z}=\部分 z/\部分 t}$したがって、導体のフレームでは$${\displaystyle {\frac {\partial B'_{z}}{\partial t}}=v_{z}{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=-(\nabla \times \mathbf {E'} )_{z}={\frac {\partial E'_{x}}{\partial y}}-{\frac {\partial E'_{y}}{\partial x}}.}$$この方程式は以下と一致することがわかる。$${\displaystyle \mathbf {E'} =\mathbf {v} \times \mathbf {B} =v_{z}B_{x}{\hat {y}}-v_{z}B_{y}{\hat {x}},}$$決定することによって${\displaystyle \partial E'_{x}/\partial y}$そして${\displaystyle \partial E_{y}'/\partial x}$この式からそれを最初の式に代入しながら、$$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} ={\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial B_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=0.}$$極めて小さな勾配の極限においても${\displaystyle \partial B_{z}/\partial z}$これらの関係は成り立つため、導体座標系における磁場が時間的に変化しない場合でも、ローレンツ力方程式は有効である。相対論的速度では補正係数が必要となる。詳細は後述の「古典電磁気学、特殊相対性理論、ローレンツ変換」を参照のこと。

導体内の 電荷qは導体座標系で静止している。したがって、ローレンツ力の磁気力項は影響を与えず、電荷に働く力は次のように与えられる。$${\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

これは、力が両方の座標系で同じであること（当然のことながら）を示しており、したがって、誘導電流など、この力によって生じる観測可能な結果も両方の座標系で同じになる。これは、導体の座標系では力が電気力として、磁石の座標系では磁力として観測されるにもかかわらずである。

速度vで移動するフレームでは、静止磁石フレームにE場がない場合、移動フレームのE場は次のように変換されます: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B} }$$ どこ $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{(v/c)}^{2}}}}}$$これはローレンツ因子 と呼ばれ、cは自由空間における光速です。この結果は、すべての慣性系における観測者がマクスウェル方程式に対して同じ形式に到達することを要求した結果です。特に、すべての観測者は同じ光速c を観測しなければなりません。この要求により、空間と時間に対するローレンツ変換が導かれます。ローレンツ変換を仮定すると、マクスウェル方程式の不変性から、この例における上記の場の変換が導かれます。

したがって、電荷にかかる力は $${\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

この式は、非相対論的ニュートンの運動法則から得られる式と係数だけ異なる。${\displaystyle \gamma }$特殊相対性理論は、空間と時間を、力と場が一貫して変化するような形で修正する。

ローレンツ力はどちらの座標系でも同じ形をしているが、場は異なり、具体的には以下の通りである。 $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right].}$$

図1を参照してください。簡略化のため、磁場はz方向を向き、位置xによって変化するとし、導体は速度vで正のx方向に移動するとします。したがって、導体が移動している磁石座標系では、ローレンツ力は負のy方向を向き、速度とB場の両方に垂直になります。電荷に働く力は、ここではB場のみによるもので、次のようになります 。$${\displaystyle F_{y}=-qvB,}$$ 磁石が移動している導体座標系では、力も負のy方向であり、その力はE場のみによるもので、その値は次のとおりである。 $${\displaystyle {F_{y}}'=qE'=-q\gamma vB.}$$

この2つの力はローレンツ因子γだけ異なる。しかし、この違いは相対論的理論においては予想されるものであり、後述するように、フレーム間の時空の変化によるものである。

相対性理論は、マクスウェル方程式の不変性によって示唆される時空のローレンツ変換を、力学にも適用します（ニュートンの運動法則の修正）。この例では、ローレンツ変換はx方向のみに影響します（2 つのフレームの相対運動はx方向に沿っています）。時間と空間を結びつける関係は次のとおりです（プライムは移動する導体フレームを表します） ：^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right),&x&=\gamma \left(x'+vt'\right),\\[1ex]t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),&t&=\gamma \left(t'+{\tfrac {vx'}{c^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

これらの変換は、力のy成分の変化につながる。 $${\displaystyle {F_{y}}'=\gamma F_{y}.}$$

つまり、ローレンツ不変性の範囲内では、ガリレオ不変性とは異なり、力はすべての参照系で同じで はない。しかし、ローレンツ力法則に基づく以前の分析から、次のことがわかる。$${\displaystyle \gamma F_{y}=-q\gamma vB,\quad {F_{y}}'=-q\gamma vB,}$$ これは完全に一致する。したがって、電荷にかかる力は両方の座標系で同じではないが、相対性理論に従って予想されるように変化する。

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• 特殊相対性理論における磁石と導体