トーマス歳差運動

ミンコフスキー時空を移動する物理システムを考えます。どの瞬間にも、システムが静止しているような慣性システムが存在すると仮定します。この仮定は、相対性理論の第三公準と呼ばれることもあります。^{[ 4 ]}これは、どの瞬間にも、システムの座標と状態は、何らかのローレンツ変換によって実験室システムにローレンツ変換できることを意味します。

系が、その（瞬間的な）静止系における重心に対してトルクを生じさせない外力を受けるとする。「トルクがない」という条件は、トーマス歳差運動の現象を分離するために必要である。簡略化の仮定として、外力によって系が有限時間後に初期速度に戻ると仮定する。初期速度と最終速度がゼロとなるようなローレンツ系Oを固定する。

パウリ・ルバンスキーのスピンベクトルSμ_は、 系の静止系において(0, S _i )と定義され、 S _iは重心周りの角運動量3ベクトルである。初期位置から最終位置への運動において、Sμ_はOに記録されるように、初期値から最終値へと回転する。この連続的な変化がトーマス歳差運動である。^{[ 5 ]}

粒子の運動を考えます。観測者が粒子の相対運動を測定できる実験室系Σを導入します。粒子は、どの瞬間においても静止している慣性系を持ちます。この実験室系に対して、粒子の瞬間速度はv ( t )であり、その大きさ| v | = vは光速cによって制限されるため、0 ≤ v < cとなります。ここで、時間tは実験室系で測定された座標時間であり、粒子の固有時間ではありません。

大きさの上限を除いて、粒子の速度は任意であり、必ずしも一定ではありません。対応する加速度ベクトルはa = d v ( t )/ dtです。あらゆる瞬間のウィグナー回転の結果、粒子のフレームは式^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}で与えられる角速度で歳差運動します。

ここで×はクロス積であり、

${\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {|\mathbf {v} (t)|^{2}}{c^{2}}}}}}}$

は瞬間ローレンツ因子であり、粒子の瞬間速度の関数です。任意の角速度と同様に、ω _Tは擬似ベクトルです。その大きさは粒子の座標系が歳差運動する角速度（ラジアン/秒）であり、方向は回転軸に沿っています。通常どおり、外積の右手ルールが使用されます（右手ルールを参照）。

歳差運動は加速運動と、粒子の瞬間速度と加速度の非共線性に依存します。粒子が一定速度（vが一定なのでa = 0）で運動する場合、または直線的に加速する場合（この場合、vとaは平行または反平行なので、それらの外積はゼロになります）には、歳差運動は発生しません。粒子が歳差運動を起こすには、円弧、螺旋、らせん、円軌道、楕円軌道などの曲線を描いて運動する必要があります。歳差運動の角速度は、運動全体を通して速度ベクトルと加速度ベクトルが直交している場合（円軌道の場合）に最大となり、それらの大きさが大きい場合（vの大きさがほぼcの場合）に大きくなります。

非相対論的極限では、v → 0なのでγ → 1となり、角速度は近似的に

$\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\text{T}}\approx {\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {a} \times \mathbf {v} }$

1/2という係数が、実験結果と一致する上で重要な係数であることが判明した。これは非公式に「トーマスの半分」として知られている。

相対運動の記述にはローレンツ変換が関係しており、行列形式で使用すると便利です。記号行列式は変換を要約し、操作が容易であり、必要に応じて完全な行列を明示的に記述できます。また、方程式に余分なcの因子が入り込んで複雑になるのを防ぐため、 0 ≤ β < 1となるような大きさ| β | = βで定義β ( t ) = v ( t )/ cを使用すると便利です。

実験室座標系の時空座標は4×1列ベクトルにまとめられ、ブーストはそれぞれ4×4対称行列として表される。

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\,,\quad B({\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta _{x}&-\gamma \beta _{y}&-\gamma \beta _{z}\\-\gamma \beta _{x}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{y}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{z}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}}$

そして向きを変える

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}}$

はβのローレンツ因子です。他のフレームでは、対応する座標も列ベクトルに配置されます。ブーストの逆行列は反対方向のブーストに対応し、 B ( β ) ⁻¹ = B (− β )で与えられます。

実験室の座標系で測定された実験室記録時刻tの瞬間において、実験室座標系Σから粒子の座標系 Σ ′への時空座標の変換は次のようになる。

そして、実験室で記録された後の時刻t + Δ tにおいて、粒子に対して新しいフレームΣ ′ ′を定義することができ、このフレームはΣに対して速度β + Δ βで移動し、対応するブーストは

ベクトルβとΔ βは 2 つの別々のベクトルです。後者は小さな増分であり、βに平行 (‖) および垂直 (⊥) の成分に簡単に分割できます^{[ nb 1 ]}

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\beta }}=\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }}$

（１）と（２ ）を組み合わせると、 Σ ′とΣ ′ ′の間のローレンツ変換が得られる。

そしてこの構成には、これら 2 つの実験時間間の運動に関する必要な情報がすべて含まれています。B ( β + Δ β ) 、 B (− β )、およびB ( β + Δ β )は相対速度の小さな増加を伴うため、無限小変換であるのに対し、B (− β )はそうではないことに注意してください。

2つのブーストの組み合わせは、相対速度に垂直な軸を中心としたウィグナー回転と組み合わせた単一のブーストに相当する。

回転は、軸角表現の4×4 回転行列Rで与えられ、座標系は右手系とみなされます。この行列は、3d ベクトルを軸を中心に反時計回りに回転させます (能動変換)、または同等に、座標フレームを同じ軸を中心に時計回りに回転させます (受動変換)。軸角ベクトルΔ θは回転をパラメータ化し、その大きさΔ θはΣ ′ ′が回転した角度で​​あり、方向は回転軸に平行です。この場合、軸は外積( − β )×( β + Δ β ) = − β ×Δ βに平行です。角度が負の場合、回転の方向は反転します。逆行列は、R (Δ θ ) ⁻¹ = R (−Δ θ )で与えられます。

ブーストに対応するのは、ブーストベクトルΔ bの（小さな変化）であり、その大きさと方向はブーストの相対速度（cで割った値）に等しい。ここで、ブーストB (Δ b )と回転R (Δ θ )は、 Δ bと回転Δ θが小さいため、微小変換である。

回転によってトーマス歳差運動が生じるが、微妙な点がある。粒子の座標系を実験室座標系に対して共動する慣性座標系として解釈し、非相対論的極限と一致させるには、時刻tとt + Δ tにおける粒子の瞬間座標系間の変換が、回転を伴わないブーストによって関連付けられると予想される。( 3 ) と ( 4 ) を組み合わせて整理すると、

ここで、 Σ ′ ′との混同を防ぐために、座標X ′ ′ ′を持つ別の瞬間フレームΣ ′ ′ ′が導入されます。参照フレームをまとめると、実験室フレームΣでは、観測者が粒子の運動を測定し、粒子が静止している 3 つの瞬間慣性フレームは、 Σ ′ (時刻t )、Σ ′ ′ (時刻t + Δ t )、およびΣ ′ ′ ′ (時刻t + Δ t ) です。フレームΣ ′ ′とΣ ′ ′ ′は同じ場所と時刻にあり、回転のみが異なります。対照的に、Σ ′とΣ ′ ′ ′ はブーストと実験室時間間隔Δ tだけ異なります。

座標X ′ ′ ′ を( 5 ) および ( 2 )を介して実験室座標Xに関連付ける。

フレームΣ ′ ′ ′は負の方向に回転する。

回転は実験室時間の2つの瞬間の間で行われます。Δt → 0のとき、粒子の座標系は毎瞬間回転し、粒子の連続運動は毎瞬間の角速度を持つ連続回転に相当します。 − Δθ をΔt で割り、Δt → 0の極限を取ると、角速度は定義 により次のようになります。

Δθが正確に何であるかを突き止める必要がある。

構成は、行列積を明示的に計算することによって得られます。 β + Δ βのブースト行列には、このベクトルの大きさとローレンツ因子が必要です。Δ βは小さいため、「2 次」の項| Δ β | ²、(Δ β _x ) ²、(Δ β _y ) ²、Δ β _x Δ β _yおよびそれ以上の項は無視できます。 この事実を利用して、ベクトルの大きさの 2 乗は次のようになります。

${\displaystyle |{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}=|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+2{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}}$

そして、 β + Δ βのローレンツ因子をべき級数に展開すると、Δ βの一次までで、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}&=1+{\frac {1}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \\&=\left(1+{\frac {|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \right)+\left(1+{\frac {3}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+\cdots \right){\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\\&\approx \gamma +\gamma ^{3}{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\end{aligned}}}$

上記のようにβのローレンツ因子γを用いる。

ブーストジェネレーターのご紹介

${\displaystyle K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$

回転発電機

${\displaystyle J_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad J_{y}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad J_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

ドット積とともに、座標に依存しない式を容易にする

${\displaystyle \Lambda =I-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)({\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }})\cdot \mathbf {J} -\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })\cdot \mathbf {K} }$

これは、βとΔβが任意の平面上にある場合に成り立つ。これは、ブーストと回転を組み合わせた形の無限小ローレンツ変換である^{[ nb 2 ]}

${\displaystyle \Lambda =I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} -\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K} }$

どこ

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\theta }}=\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {v} \times \Delta \mathbf {v} }$

${\displaystyle \Delta \mathbf {b} =\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })}$

ΔθをΔtで割り、( 7 )式のように極限を取ると、瞬間角速度が得られる。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{T}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {a} \times \mathbf {v} }$

ここで、 aは実験室座標系で観測される粒子の加速度である。導出において力は指定も使用もされていないため、歳差運動は運動学的効果であり、運動の幾何学的側面から生じる。しかし、力は加速度を引き起こすため、粒子が力の影響を受ける場合、トーマス歳差運動が観測される。

一般性を失うことなく、時間の単位は、軌道角速度が${\displaystyle {\omega }^{(proper)}\,=\,1}$時間の原点は、初期運動が+x方向になるように選択され、距離の単位は光速が${\displaystyle c=1}$。

メトリックを使用する${\displaystyle g_{00}=-1}$4-速度は ^{[ 13 ] [ 14 ]}

$${\displaystyle u\,=\,(\gamma ,\,\gamma \,v\,\cos(\tau ),\,\gamma \,v\sin(\tau ),\,0)}$$

4-加速度は^{[ 15 ]}

$${\displaystyle a\,=\,(0,\,-\gamma \,v\,\sin(\tau ),\,\gamma \,v\cos(\tau ),\,0)}$$

4次元加速度の時間微分は

$${\displaystyle {\frac {d}{d\,\tau }}\,a\,=\,(0,\,-\gamma \,v\,\cos(\tau ),\,-\gamma \,v\sin(\tau ),\,0)\,=\,-u\,+\,(\gamma ,0,0,0)}$$

4スピンSのフェルミ・ウォーカー輸送方程式は^{[ 16 ]である。}

$${\displaystyle {\frac {d}{d\,\tau }}\,S\,=\,u\;a\cdot S\,-\,a\,\;u\cdot S\,=\,u\;a\cdot S}$$

以来${\displaystyle u\cdot S=0}$。 もし${\displaystyle S}$に置き換えられます${\displaystyle u}$そして、予想通り、${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\,u=a}$以来${\displaystyle u\cdot a=0}$そして${\displaystyle u\cdot u=-1}$フェルミ・ウォーカー輸送方程式${\displaystyle S^{0}}$この円運動では

$${\displaystyle {\frac {d}{d\,\tau }}\,S^{0}\,=\,\gamma \,a\cdot S}$$

この方程式の時間微分を取り、代入すると${\displaystyle {\frac {d}{d\,\tau }}\,a}$そして${\displaystyle {\frac {d}{d\,\tau }}\,S}$導出を完了する方程式を与える

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\,{\tau }^{2}}}\,S^{0}\,=\,-{\gamma }^{2}\,S^{0}}$$

単位ベクトル${\displaystyle e_{x}=(0,1,0,0)}$そして${\displaystyle e_{y}=(0,0,1,0)}$時間依存の線形結合${\displaystyle u-\gamma \,e_{0}}$そして4つの加速${\displaystyle a}$。 ここ${\displaystyle e_{0}=(1,0,0,0)}$.次に使用する

$${\displaystyle {\begin{aligned}S\cdot (u-\gamma \,e_{0})&=\gamma \,S^{0}\\S\cdot a&=\,\gamma ^{-1}\,{\frac {d\,S^{0}}{d\,\tau }}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle e_{x}}$そして${\displaystyle e_{y}}$線形結合

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{x}\,&=\,\gamma ^{-1}\,v^{-1}\,(u-\gamma \,e_{0})\,\cos(\tau )\,-\gamma ^{-1}\,v^{-1}\,a\,\sin(\tau )\\e_{y}\,&=\,\gamma ^{-1}\,v^{-1}\,(u-\gamma \,e_{0})\,\sin(\tau )\,+\gamma ^{-1}\,v^{-1}\,a\,\cos(\tau )\end{aligned}}}$$

代入

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}\,=\,S\,\cdot \,e_{x}\,&=\,v^{-1}\,S^{0}\,\cos(\tau )\,-\gamma ^{-2}\,v^{-1}\,{\frac {d\,S^{0}}{d\,\tau }}\,\sin(\tau )\\S_{y}\,=\,S\,\cdot \,e_{y}\,&=\,v^{-1}\,S^{0}\,\sin(\tau )\,+\gamma ^{-2}\,v^{-1}\,{\frac {d\,S^{0}}{d\,\tau }}\,\cos(\tau )\end{aligned}}}$$

古典的には、${\displaystyle S^{0}}$は

$${\displaystyle S^{0}\,=\,|\mathbf {S} _{\perp }|\,\gamma \,v\,\cos(\gamma \,\tau +\phi )}$$

どこ${\displaystyle |\mathbf {S} _{\perp }|}$は、静止系におけるxy平面内のスピン成分の大きさです。これにより、

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}\,&=\,|\mathbf {S} _{\perp }|\,(\sin(\tau )\sin(\gamma \,\tau +\phi )+\gamma \,\cos(\tau )\,\cos(\gamma \,\tau +\phi ))\\S_{y}\,&=\,|S_{\perp }|\,(-\cos(\tau )\,\sin(\gamma \,\tau +\phi )\,+\gamma \,\sin(\tau )\,\cos(\gamma \,\tau +\phi ))\end{aligned}}}$$

のために${\displaystyle \tau =0}$そして${\displaystyle \phi =0}$スピン4ベクトルは、予想通り、

$${\displaystyle S\,=\,|\mathbf {S} _{\perp }|\,(\gamma \,v,\,\gamma ,\,0,\,0)}$$

${\displaystyle S^{0}}$最もポジティブなのは${\displaystyle \gamma \,\tau _{n}+\phi =2\,n\,\pi }$整数nの場合。

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}\,&=\,|\mathbf {S} _{\perp }|\,\gamma \,\cos(\tau _{n})\\S_{y}\,&=\,|S_{\perp }|\,\gamma \,\sin(\tau _{n})\end{aligned}}}$$

このような時、${\displaystyle u_{x}}$そして${\displaystyle u_{y}}$4速度の構成要素は

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}\,&=\,\gamma \,v\,\cos(\tau _{n})\\u_{y}\,&=\,\gamma \,v\,\sin(\tau _{n})\end{aligned}}}$$

それで${\displaystyle S^{0}}$スピン方向と速度方向が一致しているときに、最も正の値となる。

これらの式は${\displaystyle S^{0},\,S_{x},\,S_{y}}$^{ミスナー、ソーン、ウィーラー[ 17 ]}の演習6.9で与えられたスピン4ベクトルの解と一致する。${\displaystyle |\mathbf {S_{\perp }} |=\hbar /{\sqrt {2}}}$そして${\displaystyle \phi =\pi /2}$そしてもし私たちも許すなら${\displaystyle \cos(\tau )\rightarrow -\sin(\tau )}$そして${\displaystyle \sin(\tau )\rightarrow \cos(\tau )\;}$そこでは粒子は最初に+y方向に移動しますが、ここでは+x方向に移動します。

1周回におけるトーマス歳差運動は

$${\displaystyle \Delta \theta _{\text{rot per orbit}}\,=\,{\bigg (}{\frac {2\pi }{\delta \theta _{\text{boost}}}}{\bigg )}\;\Delta \theta _{\text{rot}}\,=\,-2\pi (\gamma -1)}$$

量子力学において、トーマス歳差運動はスピン軌道相互作用に対する補正であり、水素様原子における電子と原子核間の相対論的時間膨張を考慮に入れたものである。

要するに、特殊相対性理論では、ローレンツブーストは互いに可換ではないため、回転する物体は加速すると歳差運動を起こす、ということである。

磁場中の粒子のスピンを計算するには、ラーモア歳差運動も考慮に入れる必要がある。

フーコー振り子の揺動面の回転は、ユークリッド空間の 2 次元球面内での振り子の平行移動の結果として扱うことができる。ミンコフスキー時空の双曲速度空間は、虚数半径と虚数時間座標を持つ 3 次元 (擬似) 球面を表す。相対論的速度空間における回転粒子の平行移動は、フーコー振り子の揺動面の回転に似たトーマス歳差運動を引き起こす。^{[ 22 ]}どちらの場合も回転角は、ガウス・ボンネの定理に従って曲率の面積積分によって決定される。

トーマス歳差運動は、フーコー振り子の歳差運動に補正を与える。オランダのナイメーヘン市にあるフーコー振り子の場合、補正値は次のとおりである。

${\displaystyle \omega \approx 9.5\cdot 10^{-7}\,\mathrm {arcseconds} /\mathrm {day} .}$

これは、フレームドラッギングに起因する一般相対論的補正による歳差運動、すなわちレンス・ティリング歳差運動よりも2桁以上小さいことに注意してください。