空間内で方向が変化する座標系
2次元空間における 曲線 座標（上）、 アフィン座標 （右）、 直交座標（左） 幾何学 において 、 曲線座標は 、座標 線 が曲線になる ユークリッド空間 の 座標系 です。これらの座標は、各点で 局所的に可逆な 変換 (1 対 1 の写像) を使用することで、 直交座標の集合から導出できます。つまり、直交座標系で与えられた点を曲線座標に変換したり、その逆の変換を行ったりすることができます。 曲線座標 という名前は、フランスの数学者 ラメ によって造られ、 曲線系の
座標面 が曲線であることに由来しています。
3次元ユークリッド空間（ R 3 ） における曲線座標系のよく知られた例としては、 円筒座標 と 球面 座標がある。この空間における直交座標面は 座標平面 であり、例えば z = 0は x - y 平面を定義する 。同じ空間において、球面座標における座標面 r = 1は曲がった単位球面である 。 曲線座標の形式論は、標準座標系の統一された一般的な記述を提供する。
曲線座標は、たとえばスカラー、ベクトル 、 テンソル など の 物理量の位置または分布を定義するためによく使用されます。 ベクトル解析 および テンソル解析 におけるこれらの量を含む数式 ( 勾配 、 発散 、 回転 、 ラプラシアン など) は、スカラー、ベクトル、テンソルの変換規則に従って、ある座標系から別の座標系に変換できます。このような式は、どの曲線座標系でも有効になります。
曲線座標系は、アプリケーションによっては直交座標系よりも簡単に使用できる場合があります。 中心力の影響下にある粒子の運動は、通常、直交座標よりも 球座標 で解く方が簡単です 。これは、 R 3 で定義されている 球対称性を 持つ多くの物理的問題に当てはまります。特定の曲線座標系の座標面に従う 境界条件 を持つ方程式は、そのシステムで解く方が簡単な場合があります。直交座標を使用して長方形の箱の中の粒子の運動を記述することもできますが、球面内の運動を記述するには球座標を使用する方が簡単です。球面座標は最も一般的な曲線座標系であり、 地球科学 、 地図作成 、 量子力学 、 相対性理論 、および 工学 で使用されます。
3次元の直交曲線座標
座標、基底、ベクトル 図 1 - 一般曲線座標の座標面、座標線、座標軸。 図 2 - 球面座標の座標面、座標線、座標軸。 面: r - 球、θ - 円錐、Φ - 半平面。 線: r - 直線、θ - 垂直半円、Φ - 水平円。 軸: r - 直線、θ - 垂直半円の接線、Φ - 水平円の接線 ここでは、 3 次元空間 について考えます。3次元空間内の 点 P (またはその 位置ベクトル r ) は、直交座標 ( x , y , z ) [同様に ( x 1 , x 2 , x 3 ) と表記] を 使用して、 によって定義できます。 ここで、 e x 、 e y 、 e zは 標準の基底 ベクトル です 。
r
= x
e
x
+ ええ
e
ええ
+ ず
e
ず
{\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}}
この 3 つの数値の組み合わせが単一の点を明確に定義する場合は、曲線座標 ( q 1 、 q 2 、 q 3 )によって定義することもできます 。座標間の関係は、可逆変換関数によって与えられます。
x =
ふ
1
（
q
1
、
q
2
、
q
3
） 、 ええ =
ふ
2
（
q
1
、
q
2
、
q
3
） 、 ず =
ふ
3
（
q
1
、
q
2
、
q
3
）
{\displaystyle x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})}
q
1
=
グ
1
（ x 、 ええ 、 ず ） 、
q
2
=
グ
2
（ x 、 ええ 、 ず ） 、
q
3
=
グ
3
（ x 、 ええ 、 ず ）
{\displaystyle q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3} =g^{3}(x,y,z)}
q 1 = 定数、 q 2 = 定数、 q 3 = 定数の面は 座標面 と呼ばれ 、それらの交差によって形成される空間曲線は 座標曲線 と呼ばれます。 座標軸は、3 つの面の交差における座標曲線の 接線 によって決定されます 。座標軸は、単純な直交座標の場合のように空間内で一般に固定された方向にはなく、したがって一般に曲線座標には自然なグローバル基底はありません。
デカルト座標系では、標準基底ベクトルは、点P の位置を 局所座標に対して
微分することで導出できる。
e
x
=
∂
r
∂ x
;
e
ええ
=
∂
r
∂ ええ
;
e
ず
=
∂
r
∂ ず
。
{\displaystyle \mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial z}}.}
同じ導関数を点P で局所的に曲線系に適用すると、 自然な基底ベクトルが定義されます。
h
1
=
∂
r
∂
q
1
;
h
2
=
∂
r
∂
q
2
;
h
3
=
∂
r
∂
q
3
。
{\displaystyle \mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}.}
ベクトルの方向や大きさが点ごとに変化する基底は、 局所基底 と呼ばれます。曲線座標に関連付けられたすべての基底は、必然的に局所基底です。すべての点で同じ基底ベクトルは、 グローバル基底 であり、線形座標系または アフィン座標系 にのみ関連付けることができます。
この記事では、 e は 標準基底 (直交基底) 用に予約されており、 h または b は 曲線基底用に予約されています。
これらは単位長さを持たない可能性があり、直交しない可能性もあります。導関数が明確に定義されているすべての点で直交して いる 場合、 ラメ係数を定義します。 （ ガブリエル・ラメ に倣って）
h
1
=
|
h
1
|
;
h
2
=
|
h
2
|
;
h
3
=
|
h
3
|
{\displaystyle h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|}
そして曲線正規直交基底ベクトルは
b
1
=
h
1
h
1
;
b
2
=
h
2
h
2
;
b
3
=
h
3
h
3
.
{\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3}}}.}
これらの基底ベクトルはP の位置に依存する可能性があります。したがって、基底ベクトルが領域全体で一定であると仮定しないことが必要です。(技術的には、基底ベクトルは P における の 接線バンドル の基底を形成し 、したがって P に対して局所的です。)
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
一般に、曲線座標では、自然基底ベクトル h i が すべて互いに直交する必要はなく、単位長さである必要もありません。任意の大きさと方向を持つことができます。直交基底を使用すると、非直交基底の場合よりもベクトルの操作が簡単になります。ただし、 物理学 と 工学 の一部の分野、特に 流体力学 と 連続体力学 では、物理量の複雑な方向依存性を説明するために、変形と流体輸送を記述するために非直交基底が必要です。一般的なケースについては、このページの後半で説明します。
ベクトル計算
差動要素 直交曲線座標では、 r の 全微分 変化は
d
r
=
∂
r
∂
q
1
d
q
1
+
∂
r
∂
q
2
d
q
2
+
∂
r
∂
q
3
d
q
3
=
h
1
d
q
1
b
1
+
h
2
d
q
2
b
2
+
h
3
d
q
3
b
3
{\displaystyle d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}}
スケール係数は
h
i
=
|
∂
r
∂
q
i
|
{\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}
非直交座標では、 の長さは の正の平方根です ( アインシュタインの総和規則 )。 自然基底ベクトルの6 つの独立したスカラー積 g ij = h i . h j は、上で直交座標に定義した 3 つのスケール係数を一般化します。9 つのg ij は 計量テンソル の成分であり 、直交座標では 3 つの非ゼロ成分のみを持ちます: g 11 = h 1 h 1 、 g 22 = h 2 h 2 、 g 33 = h 3 h 3 。
d
r
=
d
q
1
h
1
+
d
q
2
h
2
+
d
q
3
h
3
{\displaystyle d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}}
d
r
⋅
d
r
=
d
q
i
d
q
j
h
i
⋅
h
j
{\displaystyle d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}}
共変基数と反変基数 ベクトル v ( 赤 ) は、一般の (必ずしも直交しない) 曲線座標 (q 1 、 q 2 、 q 3 ) において、ベクトル基底 (黄色、左: e 1 、 e 2 、 e 3 )、座標曲線への接ベクトル ( 黒 ) 、 共 ベクトル 基底 ( 青 、 右 : e 1 、 e 2 、 e 3 ) 、 座標 面 へ の 法線 ベクトル ( 灰色 ) で 表さ れ ます 。座標系が直交し ない限り 、基底と共基底 は 一致しません。 [1] 空間勾配、距離、時間微分、スケール係数は、2 つの基底ベクトルのグループによって座標系内で相互に関連付けられます。
関連する座標パスラインに局所的に接する基底ベクトル： 反変ベクトル （小さいインデックスで示される）であり 、
b
i
=
∂
r
∂
q
i
{\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}
他の座標によって作成された等値面に対して局所的に垂直な基底ベクトル: は 共変ベクトル (起算インデックスで示される)、∇ は del 演算子 です。
b
i
=
∇
q
i
{\displaystyle \mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}}
アインシュタインの和の規則により、ベクトルのインデックスの位置は座標の位置と逆になることに注意してください。
その結果、一般曲線座標系には、すべての点に対して 2 セットの基底ベクトルがあります。{ b 1 、 b 2 、 b 3 } は反変基底で、{ b 1 、 b 2 、 b 3 } は共変 (逆数とも呼ばれる) 基底です。共変基底ベクトルと反変基底ベクトルの型は、直交曲線座標系では方向が同じですが、通常どおり互いの単位が反転します。
次の重要な等式に注意してください。
ここで、 は 一般化クロネッカーのデルタ を表します 。
b
i
⋅
b
j
=
δ
j
i
{\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}}
δ
j
i
{\displaystyle \delta _{j}^{i}}
証拠 デカルト座標系では 、内積は次のように表すことができます。
(
e
x
,
e
y
,
e
z
)
{\displaystyle (\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})}
b
i
⋅
b
j
=
(
∂
x
∂
q
i
,
∂
y
∂
q
i
,
∂
z
∂
q
i
)
⋅
(
∂
q
j
∂
x
,
∂
q
j
∂
y
,
∂
q
j
∂
z
)
=
∂
x
∂
q
i
∂
q
j
∂
x
+
∂
y
∂
q
i
∂
q
j
∂
y
+
∂
z
∂
q
i
∂
q
j
∂
z
{\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=\left({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}\right)\cdot \left({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}\right)={\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}}
微小変位を考えます 。dq 1 、dq 2 、dq 3はそれぞれ曲線座標 q 1 、q 2 、q 3 における対応する微小変化を表します 。
d
r
=
d
x
⋅
e
x
+
d
y
⋅
e
y
+
d
z
⋅
e
z
{\displaystyle d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}}
連鎖律によれば、dq 1 は 次のように表すことができます。
d
q
1
=
∂
q
1
∂
x
d
x
+
∂
q
1
∂
y
d
y
+
∂
q
1
∂
z
d
z
=
∂
q
1
∂
x
d
x
+
∂
q
1
∂
y
(
∂
y
∂
q
1
d
q
1
+
∂
y
∂
q
2
d
q
2
+
∂
y
∂
q
3
d
q
3
)
+
∂
q
1
∂
z
(
∂
z
∂
q
1
d
q
1
+
∂
z
∂
q
2
d
q
2
+
∂
z
∂
q
3
d
q
3
)
{\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\left({\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\left({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)}
変位 d r が dq 2 = dq 3 = 0となる場合 、つまり位置ベクトル r が 座標軸 q 2 =const および q 3 =const に沿って微小量だけ移動する場合は、次のようになります。
d
q
1
=
∂
q
1
∂
x
d
x
+
∂
q
1
∂
y
∂
y
∂
q
1
d
q
1
+
∂
q
1
∂
z
∂
z
∂
q
1
d
q
1
{\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}}
dq 1 で割り 、極限 dq 1 → 0 をとると、
1
=
∂
q
1
∂
x
∂
x
∂
q
1
+
∂
q
1
∂
y
∂
y
∂
q
1
+
∂
q
1
∂
z
∂
z
∂
q
1
=
∂
x
∂
q
1
∂
q
1
∂
x
+
∂
y
∂
q
1
∂
q
1
∂
y
+
∂
z
∂
q
1
∂
q
1
∂
z
{\displaystyle 1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}
または同等:
b
1
⋅
b
1
=
1
{\displaystyle \mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1}
ここで、変位 d r が dq 1 = dq 3 =0となる場合 、つまり位置ベクトル r が 座標軸 q 1 =const および q 3 =const に沿って微小量だけ移動する場合は、次のようになります。
0
=
∂
q
1
∂
x
d
x
+
∂
q
1
∂
y
∂
y
∂
q
2
d
q
2
+
∂
q
1
∂
z
∂
z
∂
q
2
d
q
2
{\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}}
dq 2 で割り 、極限 dq 2 → 0 をとると、
0
=
∂
q
1
∂
x
∂
x
∂
q
2
+
∂
q
1
∂
y
∂
y
∂
q
2
+
∂
q
1
∂
z
∂
z
∂
q
2
=
∂
x
∂
q
2
∂
q
1
∂
x
+
∂
y
∂
q
2
∂
q
1
∂
y
+
∂
z
∂
q
2
∂
q
1
∂
z
{\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}
または同等:
b
2
⋅
b
1
=
0
{\displaystyle \mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0}
他のドット積についても同様です。
代替証明:
δ
j
i
d
q
j
=
d
q
i
=
∇
q
i
⋅
d
r
=
b
i
⋅
∂
r
∂
q
j
d
q
j
=
b
i
⋅
b
j
d
q
j
{\displaystyle \delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i}\cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}dq^{j}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}dq^{j}}
そして アインシュタインの総和規則 が暗黙的に適用されます。
ベクトル vは 、いずれかの基底で指定することができる。すなわち、
v
=
v
1
b
1
+
v
2
b
2
+
v
3
b
3
=
v
1
b
1
+
v
2
b
2
+
v
3
b
3
{\displaystyle \mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _{3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}}
アインシュタインの和の慣性を用いると、基底ベクトルは[2] によって成分と関係付けられる ：30–32
v
⋅
b
i
=
v
k
b
k
⋅
b
i
=
v
k
δ
k
i
=
v
i
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}}
v
⋅
b
i
=
v
k
b
k
⋅
b
i
=
v
k
δ
i
k
=
v
i
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}}
そして
v
⋅
b
i
=
v
k
b
k
⋅
b
i
=
g
k
i
v
k
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}}
v
⋅
b
i
=
v
k
b
k
⋅
b
i
=
g
k
i
v
k
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}}
ここで g は 計量テンソルです（下記参照）。
ベクトルは、共変座標 (下向きのインデックス、 v k と表記) または反変座標 (上向きのインデックス、 v k と表記) で指定できます。上記のベクトルの合計から、反変座標は共変基底ベクトルに関連付けられ、共変座標は反変基底ベクトルに関連付けられていることがわかります。
インデックス付き成分と基底ベクトルによるベクトルとテンソルの表現の主な特徴は 、 共変的 (または反変的) に変換するベクトル成分が、反変的 (または共変的) に変換する基底ベクトルとペアになっているという意味での不変性です。
統合
1次元の共変基底の構築 図3 – 一般曲線座標の場合の局所共変基底の変換 図 3 に示す 1 次元曲線について考えます。点 Pを 原点 として 、 x は 直交座標の 1 つ、 q 1 は曲線座標の 1 つです。局所的な (非単位の) 基底ベクトルは b 1 (上記では h 1 と表記 、 b は 単位ベクトル用に予約されている) であり、点 P における座標線の接線である q 1 軸上に構築されます。軸 q 1 とベクトル b 1 は、直交座標の x 軸および直交座標の基底ベクトル e 1 と角度を形成します 。
α
{\displaystyle \alpha }
三角形PAB からわかる ことは
cos
α
=
|
e
1
|
|
b
1
|
⇒
|
e
1
|
=
|
b
1
|
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}\quad \Rightarrow \quad |\mathbf {e} _{1}|=|\mathbf {b} _{1}|\cos \alpha }
ここで、| e 1 |、| b 1 | は 2 つの基底ベクトルの大きさ、つまりスカラー切片 PB と PA です。PA は b 1の x 軸へ の投影でもあります 。
ただし、 方向余弦 を使用した基底ベクトル変換のこの方法は、次の理由により曲線座標には適用できません。
P からの距離が増加するにつれて 、曲線 q 1 と直交軸 x の間の角度はからますます離れていきます 。
α
{\displaystyle \alpha }
距離 PBでは、真の角度は 点 C の接線が x 軸と形成する 角度であり 、後者の角度は とは明らかに異なります 。
α
{\displaystyle \alpha }
q 1 線とその軸が x 軸と形成する角度は、点 P に近づくほどその値が近づき、点 P で正確に等しくなります 。
点 E を P に非常に近く、距離 PE が無限小になるほど近くに配置します 。すると、 q 1 軸上で測定された PE は、 q 1 線上で測定された PE とほぼ一致します 。同時に、比率 PD/PE ( PDは PEの x 軸へ の投影 ) は とほぼ正確に等しくなります 。
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha }
無限小切片 PD と PEを それぞれ dx とd q 1 と表記する。すると
cos
α
=
d
x
d
q
1
=
|
e
1
|
|
b
1
|
{\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}}
。 したがって、方向余弦は、無限小座標切片間のより正確な比を持つ変換に代用できる。従って、 b 1の x 軸
上の成分（射影）は、
p
1
=
b
1
⋅
e
1
|
e
1
|
=
|
b
1
|
|
e
1
|
|
e
1
|
cos
α
=
|
b
1
|
d
x
d
q
1
⇒
p
1
|
b
1
|
=
d
x
d
q
1
{\displaystyle p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}}\cos \alpha =|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {dx}{dq^{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\cfrac {p^{1}}{|\mathbf {b} _{1}|}}={\cfrac {dx}{dq^{1}}}}
。 q i = q i ( x 1 , x 2 , x 3 ) および x i = x i ( q 1 , q 2 , q 3 ) が 滑らかな （連続的に微分可能な）関数である場合、変換比はおよび と 表すことができます 。つまり、これらの比は、 一方のシステムに属する座標を他方のシステムに属する座標に対して
偏微分したものです。
∂
q
i
∂
x
j
{\displaystyle {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}}
∂
x
i
∂
q
j
{\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}}
3次元における共変基底の構築 他の 2 次元の座標についても同様にすると、 b 1 は 次のように表すことができます。
b
1
=
p
1
e
1
+
p
2
e
2
+
p
3
e
3
=
∂
x
1
∂
q
1
e
1
+
∂
x
2
∂
q
1
e
2
+
∂
x
3
∂
q
1
e
3
{\displaystyle \mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}}
b 2 と b 3 についても同様の式が成り立ち 、標準基底 { e 1 、 e 2 、 e 3 } は次の方程式系によって
局所（順序付けされ 正規化された ）基底 { b 1 、 b 2 、 b 3 } に変換されます。
b
1
=
∂
x
1
∂
q
1
e
1
+
∂
x
2
∂
q
1
e
2
+
∂
x
3
∂
q
1
e
3
b
2
=
∂
x
1
∂
q
2
e
1
+
∂
x
2
∂
q
2
e
2
+
∂
x
3
∂
q
2
e
3
b
3
=
∂
x
1
∂
q
3
e
1
+
∂
x
2
∂
q
3
e
2
+
∂
x
3
∂
q
3
e
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}
同様の推論により、局所基底から標準基底への逆変換を得ることができます。
e
1
=
∂
q
1
∂
x
1
b
1
+
∂
q
2
∂
x
1
b
2
+
∂
q
3
∂
x
1
b
3
e
2
=
∂
q
1
∂
x
2
b
1
+
∂
q
2
∂
x
2
b
2
+
∂
q
3
∂
x
2
b
3
e
3
=
∂
q
1
∂
x
3
b
1
+
∂
q
2
∂
x
3
b
2
+
∂
q
3
∂
x
3
b
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}}
上記の 線形方程式は、 アインシュタインの総和法を用いて行列形式で次のように表すことができる。
∂
x
i
∂
q
k
e
i
=
b
k
,
∂
q
i
∂
x
k
b
i
=
e
k
{\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}}
。 この 線形システムの 係数行列は 、変換の
ヤコビ行列（およびその逆行列）です。これらは、直交基底を曲線基底に変換したり、その逆を行ったりするのに使用できる方程式です。
3次元では、これらの行列の展開形は
J
=
[
∂
x
1
∂
q
1
∂
x
1
∂
q
2
∂
x
1
∂
q
3
∂
x
2
∂
q
1
∂
x
2
∂
q
2
∂
x
2
∂
q
3
∂
x
3
∂
q
1
∂
x
3
∂
q
2
∂
x
3
∂
q
3
]
,
J
−
1
=
[
∂
q
1
∂
x
1
∂
q
1
∂
x
2
∂
q
1
∂
x
3
∂
q
2
∂
x
1
∂
q
2
∂
x
2
∂
q
2
∂
x
3
∂
q
3
∂
x
1
∂
q
3
∂
x
2
∂
q
3
∂
x
3
]
{\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}
逆変換（2 番目の方程式システム）では、未知数は曲線基底ベクトルです。特定の位置に対して、基底ベクトルのセットは 1 つしか存在できません（そうでない場合、その時点で基底は明確に定義されません）。この条件は、方程式システムが単一の解を持つ場合にのみ満たされます。 線形代数 では、線形方程式システムは、そのシステム行列の行列式がゼロ以外の場合にのみ、単一の解（非自明）を持ちます。
det
(
J
−
1
)
≠
0
{\displaystyle \det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0}
これは、逆ヤコビ行列式に関する上記の要件の根拠を示しています。
一般化 ん 寸法 この形式論は次のように任意の有限次元に拡張されます。
実 ユークリッド n 次元空間、つまり R n = R × R × ... × R ( n 回) を考えます。ここで、 R は 実数 の 集合 であり 、× は ベクトル空間 である 直積 を表します。
この空間の座標 は x = ( x 1 , x 2 ,..., x n )で表すことができます 。これはベクトル (ベクトル空間の要素) なので、次のように記述できます。
x
=
∑
i
=
1
n
x
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}
ここで、 e 1 = (1,0,0...,0)、 e 2 = (0,1,0...,0)、 e 3 = (0,0,1...,0)、...、 e n = (0,0,0...,1) は 空間 R n のベクトルの 標準基底 セットであり、 i = 1、2、... n は 成分をラベル付けするインデックスです。 各ベクトルは各次元 (または「軸」) に正確に 1 つの成分を持ち、それらは相互に 直交 ( 垂直 ) し、正規化されています ( 単位の大きさを 持ちます)。
より一般的には、基底ベクトル b i を q = ( q 1 , q 2 ,..., q n ) に依存するように定義できます。つまり、点ごとに変化します。b i = b i ( q ) 。 この 場合 、 同じ 点 x を この 代替 基底 で 定義 し ます 。 この基底 v i に関する 座標 も必然的にx に依存します 。つまり、 v i = v i ( x ) です。次に、この空間のベクトル v を 、これらの代替座標と基底ベクトルに関して、この基底の 線形結合 として展開できます(これは、各基底 ベクトル e i に数 v i を乗算することを意味します- スカラー乗算 )。
v
=
∑
j
=
1
n
v
¯
j
b
j
=
∑
j
=
1
n
v
¯
j
(
q
)
b
j
(
q
)
{\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )}
新しい基底でv を 記述するベクトルの和は 、和自体は同じままですが、異なるベクトルで構成されます。
より一般的で抽象的な観点から見ると、曲線座標系は、 多様体上の 直交 座標パッチに 微分同相である 微分可能多様体 E n （n次元 ユークリッド空間 ） 上の 座標パッチに過ぎません。 [3]微分多様体上の2つの微分同相座標パッチは、微分的に重なり合う必要はありません。この曲線座標系の単純な定義により、以下に続く結果はすべて、 微分位相幾何学 の標準定理の単なる応用となります 。
変換関数は、「古い」座標と「新しい」座標の点の間に 1 対 1 の関係があるようなものであり、つまり、これらの関数は 全単射 であり、その ドメイン 内で次の要件を満たします。
これらは 滑らかな関数 である: q i = q i ( x ) 逆 ヤコビ 行列式
J
−
1
=
|
∂
q
1
∂
x
1
∂
q
1
∂
x
2
⋯
∂
q
1
∂
x
n
∂
q
2
∂
x
1
∂
q
2
∂
x
2
⋯
∂
q
2
∂
x
n
⋮
⋮
⋱
⋮
∂
q
n
∂
x
1
∂
q
n
∂
x
2
⋯
∂
q
n
∂
x
n
|
≠
0
{\displaystyle J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0}
はゼロではない。つまり、逆関数定理 によれば、
変換は 可逆である ： x i ( q ) 。ヤコビ行列式がゼロではないという条件は、異なるファミリーの3つの曲面が1つの点でのみ交差し、この点の位置を一意に決定するという事実を反映している。 [4]
3次元曲線座標におけるベクトル代数とテンソル代数 曲線座標系における初等的なベクトル代数とテンソル代数は、力学 や 物理学 の古い科学文献で使用されており 、1900 年代前半から中期の研究 (たとえば Green と Zerna のテキスト) を理解する上で欠かせないものとなり得ます。 [5] このセクションでは、曲線座標系におけるベクトル代数と 2 次テンソル代数における有用な関係をいくつか示します。表記法と内容は主に Ogden、 [6] Naghdi、 [7] Simmonds、 [2] Green と Zerna、 [5] Basar と Weichert、 [8] Ciarlet から引用しています。 [9]
曲線座標におけるテンソル 2階テンソルは次のように表される。
S
=
S
i
j
b
i
⊗
b
j
=
S
i
j
b
i
⊗
b
j
=
S
i
j
b
i
⊗
b
j
=
S
i
j
b
i
⊗
b
j
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}
ここで、は テンソル積 を表す 。成分 S ij は反変 成分、 S i j は 混合 右共変 成分、 S i j は 混合 左共変 成分、 S ij は 2次テンソルの共 変 成分と呼ばれる 。2次テンソルの成分は次のように関係している。
⊗
{\displaystyle \scriptstyle \otimes }
S
i
j
=
g
i
k
S
k
j
=
g
j
k
S
i
k
=
g
i
k
g
j
ℓ
S
k
ℓ
{\displaystyle S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }}
直交曲線座標における計量テンソル 各点において、小さな線要素 d x を構築できるので、線要素の長さの2乗はスカラー積 d x • d x となり、 空間 の 計量 と呼ばれ、次のように表されます。
d
x
⋅
d
x
=
∂
x
i
∂
q
j
∂
x
i
∂
q
k
d
q
j
d
q
k
{\displaystyle d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}}
。 上記の式の次の部分
∂
x
k
∂
q
i
∂
x
k
∂
q
j
=
g
i
j
(
q
i
,
q
j
)
=
b
i
⋅
b
j
{\displaystyle {\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}}
は、曲線座標におけるユークリッド空間 の 基本（または計量）テンソル と呼ばれる 対称 テンソルです 。
指標は、 次の基準によって
上げたり下げたりすることができます。
v
i
=
g
i
k
v
k
{\displaystyle v^{i}=g^{ik}v_{k}}
ラメ係数との関係 スケール係数 h i を 次のように
定義する。
h
i
h
j
=
g
i
j
=
b
i
⋅
b
j
⇒
h
i
=
g
i
i
=
|
b
i
|
=
|
∂
x
∂
q
i
|
{\displaystyle h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|}
計量テンソルとラメ係数の関係を示し、
g
i
j
=
∂
x
∂
q
i
⋅
∂
x
∂
q
j
=
(
h
k
i
e
k
)
⋅
(
h
m
j
e
m
)
=
h
k
i
h
k
j
{\displaystyle g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}}
ここで、 h ij は ラメ係数です。直交基底の場合は次の式も成り立ちます。
g
=
g
11
g
22
g
33
=
h
1
2
h
2
2
h
3
2
⇒
g
=
h
1
h
2
h
3
=
J
{\displaystyle g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J}
例: 極座標 R 2 の極座標を考えると 、
(
x
,
y
)
=
(
r
cos
θ
,
r
sin
θ
)
{\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}
(r, θ) は曲線座標であり、変換 ( r ,θ) → ( r cos θ, r sin θ)のヤコビ行列式は r です。
直交 基底ベクトルは b r = (cos θ, sin θ)、 b θ = (−r sin θ, r cos θ) です。スケール係数は h r = 1 および h θ = r です。基本テンソルは g 11 =1、 g 22 = r 2 、 g 12 = g 21 =0 です。
交代テンソル 正規直交右手基底では、3次 交代テンソルは 次のように定義される。
E
=
ε
i
j
k
e
i
⊗
e
j
⊗
e
k
{\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}}
一般的な曲線基底では、同じテンソルは次のように表現される。
E
=
E
i
j
k
b
i
⊗
b
j
⊗
b
k
=
E
i
j
k
b
i
⊗
b
j
⊗
b
k
{\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}}
また、
E
i
j
k
=
1
J
ε
i
j
k
=
1
+
g
ε
i
j
k
{\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}}
クリストッフェルのシンボル クリストッフェルの第一種 記号
Γ
k
i
j
{\displaystyle \Gamma _{kij}}
b
i
,
j
=
∂
b
i
∂
q
j
=
b
k
Γ
k
i
j
⇒
b
k
⋅
b
i
,
j
=
Γ
k
i
j
{\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k}\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}}
ここで、コンマは 偏微分 を表します( Ricci の計算 を参照)。 Γ kij を g ij で表すと 、
g
i
j
,
k
=
(
b
i
⋅
b
j
)
,
k
=
b
i
,
k
⋅
b
j
+
b
i
⋅
b
j
,
k
=
Γ
j
i
k
+
Γ
i
j
k
g
i
k
,
j
=
(
b
i
⋅
b
k
)
,
j
=
b
i
,
j
⋅
b
k
+
b
i
⋅
b
k
,
j
=
Γ
k
i
j
+
Γ
i
k
j
g
j
k
,
i
=
(
b
j
⋅
b
k
)
,
i
=
b
j
,
i
⋅
b
k
+
b
j
⋅
b
k
,
i
=
Γ
k
j
i
+
Γ
j
k
i
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end{aligned}}}
以来
b
i
,
j
=
b
j
,
i
⇒
Γ
k
i
j
=
Γ
k
j
i
{\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}}
これらを用いて上記の関係を整理すると、
Γ
k
i
j
=
1
2
(
g
i
k
,
j
+
g
j
k
,
i
−
g
i
j
,
k
)
=
1
2
[
(
b
i
⋅
b
k
)
,
j
+
(
b
j
⋅
b
k
)
,
i
−
(
b
i
⋅
b
j
)
,
k
]
{\displaystyle \Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]}
クリストッフェルの第二種 記号
Γ
k
j
i
{\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ji}}
Γ
k
i
j
=
g
k
l
Γ
l
i
j
=
Γ
k
j
i
,
∂
b
i
∂
q
j
=
b
k
Γ
k
i
j
{\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}{}_{ij}}
これは、
Γ
k
i
j
=
∂
b
i
∂
q
j
⋅
b
k
=
−
b
i
⋅
∂
b
k
∂
q
j
{\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad }
以来 。
∂
∂
q
j
(
b
i
⋅
b
k
)
=
0
{\displaystyle \quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0}
続く他の関係は
∂
b
i
∂
q
j
=
−
Γ
i
j
k
b
k
,
∇
b
i
=
Γ
k
i
j
b
k
⊗
b
j
,
∇
b
i
=
−
Γ
i
j
k
b
k
⊗
b
j
{\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}}
ベクトル演算
3次元曲線座標におけるベクトルとテンソルの計算 線積分 、 面積分 、 体積 積分 の計算には調整が必要です 。簡単にするために、以下では 3 次元と直交曲線座標に制限します。ただし、同じ議論が n 次元空間にも当てはまります。座標系が直交でない場合は、式にいくつかの追加項があります。
シモンズ [2]は テンソル解析 に関する著書の中で 、 アルバート・アインシュタインの次 の言葉を引用している [10]。
この理論の魔法は、それを真に理解した人なら誰でも必ず理解できるでしょう。これは、ガウス、リーマン、リッチ、レヴィ＝チヴィタによって確立された絶対微分積分法の真の勝利を表しています。
一般曲線座標系におけるベクトルおよびテンソル計算は、一般相対論 における 4次元曲線 多様体 のテンソル解析、 [11]、 曲面 シェル の力学 、 [9]、 メタマテリアル [ 12] [13]で注目されている マクスウェル方程式 の 不変性 の調査 、および他の多くの分野で
使用されています。
この節では、曲線座標系におけるベクトルと2次テンソルの計算におけるいくつかの有用な関係を示します。表記法と内容は主にOgden、 [14] Simmonds、 [2] Green and Zerna、 [5] Basar and Weichert、 [8] Ciarlet [9]から引用しています。
φ = φ( x ) を明確なスカラー場、 v = v ( x ) を明確なベクトル場とし、 λ 1 、 λ 2 ... を座標のパラメータとする。
幾何学的要素
統合
差別化 勾配、発散、ラプラシアンの表現は n 次元に直接拡張できますが、回転は 3D でのみ定義されます。
ベクトル場 b i は q i 座標曲線 に接し、 曲線上の各点で 自然基底を形成します。この記事の冒頭で説明したように、この基底は 共変曲線基底とも呼ばれます。 逆基底 、または 反変 曲線基底 b i を定義することもできます 。テンソル代数のセクションで説明したように、基底ベクトル間のすべての代数関係は、各点 x での自然基底とその逆数に適用されます。
一般曲線座標における架空の力 定義により、力が作用していない粒子の位置が慣性座標系 ( x 1 、 x 2 、 x 3 、 t ) で表現される場合、その粒子には加速度がありません (d 2 x j /d t 2 = 0)。 [15] この文脈では、時間軸が直線でないか、空間軸が直線でないか (またはその両方) により、座標系が「慣性」でなくなることがあります。言い換えると、座標の基底ベクトルは、固定位置で時間とともに変化するか、固定時間で位置とともに変化するか、またはその両方です。運動方程式が非慣性座標系 (この意味で) で表現される場合、クリストッフェル記号と呼ばれる追加の項が表示されます。厳密に言えば、これらの項は絶対加速度（古典力学）の成分を表していますが、d 2 x j /d t 2 を 加速度（座標が慣性であるかのように）として扱い、余分な項を力のように扱うこともできます。その場合、それらは架空の力と呼ばれます。 [16] 粒子の経路に垂直で、経路の曲率平面にあるそのような架空の力の成分は、 遠心力 と呼ばれます。 [17]
このより一般的な文脈により、回転座標系 と静止曲線座標系における 遠心力の概念の対応が明確になります。 （これらの概念は両方とも文献に頻繁に登場します。 [18] [19] [20] ）簡単な例として、角速度 W で回転する極座標系に対して、 角速度 wで半径 r の円内を運動する質量 m の粒子を考えます。 放射状の運動方程式は、 mr ” = F r + mr ( w + W ) 2 です。 したがって、遠心力は、粒子の 絶対回転速度 A = w + Wの 2 乗の mr 倍です。 粒子の速度で回転する座標系を選択すると、 W = A および w = 0 となり、この場合遠心力は mrA 2になりますが、静止座標系を選択すると、 W = 0 および w = A となり 、この場合も遠心力は mrA 2 になります。結果がこのように等しくなる理由は、どちらの場合も、粒子の位置にある基底ベクトルが時間とともにまったく同じように変化しているからです。したがって、これらは実際にはまったく同じことを記述する 2 つの異なる方法にすぎず、1 つは回転座標による記述で、もう 1 つは静止曲線座標による記述であり、どちらもその用語のより抽象的な意味によれば非慣性です。
一般的な運動を記述する場合、粒子に作用する実際の力は、運動経路に接する瞬間接触円を参照することが多く、一般的な場合、この円は固定された場所を中心としていないため、遠心力とコリオリの成分への分解は常に変化します。これは、運動が静止座標で記述されるか、回転座標で記述されるかに関係なく当てはまります。
参照
参考文献
^ JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitation . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0 。 ^ abcdef Simmonds, JG (1994). テンソル解析の概要 . Springer. ISBN 0-387-90639-8 。 ^ Boothby, WM (2002). 微分多様体とリーマン幾何学入門 （改訂版）. ニューヨーク、NY: Academic Press. ^ McConnell, AJ (1957). テンソル解析の応用 . ニューヨーク: Dover Publications, Inc. 第9章第1節. ISBN 0-486-60373-3 。 ^ abc Green, AE; Zerna, W. (1968). 理論的弾性 . Oxford University Press. ISBN 0-19-853486-8 。 ^ Ogden, RW (2000). 非線形弾性変形 . Dover. ^ Naghdi, PM (1972). 「シェルとプレートの理論」 S. Flügge (編) 『 物理学ハンドブック 』 第 VIa/2 巻、pp. 425–640。 ^ ab Basar, Y.; Weichert, D. (2000). 固体の数値連続体力学：基本概念と展望 . Springer. ^ abc Ciarlet, PG (2000). シェルの理論 . 第1巻. Elsevier Science. ^ アインシュタイン、A. (1915)。「一般相対性理論への貢献」。ラチョス、C. (編) 『アインシュタインの10年 』p. 213。ISBN 0-521-38105-3 。 ^ ミスナー、CW; ソーン、KS; ウィーラー、JA (1973)。 重力 。WHフリーマンアンドカンパニー 。ISBN 0-7167-0344-0 。 ^ Greenleaf, A.; Lassas, M.; Uhlmann, G. (2003). 「EIT では検出できない異方性導電率」. 生理学的測定 . 24 (2): 413–419. doi :10.1088/0967-3334/24/2/353. PMID 12812426. ^ Leonhardt, U.; Philbin, TG (2006). 「電気工学における一般相対性理論」. New Journal of Physics . 8 (10): 247. arXiv : cond-mat/0607418 . doi :10.1088/1367-2630/8/10/247. ^ オグデン ^ フリードマン、マイケル（1989）。 空間-時間理論の基礎 。プリンストン大学出版局 。ISBN 0-691-07239-6 。 ^ ストンメル、ヘンリー・M.; ムーア、デニス・W. (1989)。 コリオリの力入門 。コロンビア大学出版局 。ISBN 0-231-06636-8 。 ^ ビア、ジョンストン (1972)。 静力学と動力学 (第 2 版)。マグロウヒル。p. 485。ISBN 0-07-736650-6 。 ^ ヒルデブランド、フランシス・B. (1992)。応用数学の方法。ドーバー。p. 156。ISBN 0-13-579201-0 。 ^ McQuarrie, Donald Allan (2000). 統計力学 . University Science Books. ISBN 0-06-044366-9 。 ^ ウェーバー、ハンス・ユルゲン、 アーフケン、ジョージ・ブラウン (2004)。 物理学者のための必須数学手法 。アカデミック・プレス。p. 843。ISBN 0-12-059877-9 。
さらに読む
シュピーゲル、MR (1959)。 ベクトル解析 。ニューヨーク: シャウムのアウトライン シリーズ。 ISBN 0-07-084378-3 。 アルフケン、ジョージ (1995)。 物理学者のための数学的手法 。アカデミック プレス 。ISBN 0-12-059877-9 。
外部リンク Planetmath.org 曲線座標における単位ベクトルの導出 MathWorld の曲線座標に関するページ R. ブランノン教授の曲線座標に関する電子書籍 Wikiversity:弾性/テンソル入門#テンソル場の発散 – Wikiversity 、弾性/テンソル入門。
![{\displaystyle \Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{ 2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5374e9beb07a8c7ab470909bb5d24b4bfb1f32c6)
![{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s} ]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbed721be25f93b6f46d2152fcadb59c91738f2)
