はしごのパラドックス

はしごのパラドックス（または納屋と柱のパラドックス）は、特殊相対性理論における思考実験である。地面と平行なはしごが相対速度（光速に近い）で水平に移動し、ローレンツ長の収縮を受けるとする。はしごはガレージや納屋の開いた前後のドアを通過すると想像されるが、そのドアははしごの静止長よりも短いため、はしごが動いていなければ中に収まらない。静止した観測者にとっては、収縮により、動いているはしごは通過する際に建物内に完全に収まる。一方、はしごとともに動いている観測者の観点からは、はしごは収縮せず、建物の方がさらに短い長さにローレンツ収縮する。したがって、はしごは通過する際に建物内に収まらない。これにより、両方の観測者の現実の間に明らかな矛盾が生じる。

この明らかなパラドックスは、絶対的な同時性という誤った仮定から生じています。はしごの両端が同時にガレージ内に収まる場合、はしごはガレージ内に収まるとされています。相対性において同時性は各観測者に対して相対的であり、はしごがガレージ内に収まるかどうかの答えも各観測者に対して相対的であると考えると、このパラドックスは解決されます。

この問題の最も単純なバージョンは、ガレージの前後のドアが開いており、はしごがガレージに対して静止している状態では長すぎて中に入らないというものです。ここで、はしごを静止したガレージの中を高速で動かします。はしごは高速であるため、相対論的な長さの収縮効果を受け、大幅に短くなります。その結果、はしごがガレージを通過する際、しばらくの間は完全にガレージの中に収まります。必要なら、両方のドアを同時に短時間閉じて、はしごが収まることを証明することもできます。

ここまでは、これは一貫しています。状況の対称性を考慮すると、一見矛盾が生じます。はしごと一緒に移動する観測者はガレージの慣性基準系内を一定速度で移動しているため、この観測者も慣性系を占めており、相対性原理により、同じ物理法則が適用されます。この観点からすると、今ははしごが静止しており、ガレージが高速で移動しています。したがって、長さが収縮しているのはガレージであり、はしごが通過したときに完全に収まるにはガレージは小さすぎるという結論に達します。はしごは収まらず、はしごの両側のドアを閉めると、はしごにぶつかってしまいます。この一見矛盾していることが、パラドックスです。

この一見矛盾しているように見える現象の解決法は、同時性の相対性にあります。つまり、ある観察者 (たとえばガレージ) が 2 つの同時イベントとみなすものが、別の観察者 (たとえばはしご) にとっては実際には同時ではない可能性があります。はしごがガレージ内に「収まる」と言うとき、正確には、ある特定の時間に、はしごの後ろの位置と前部の位置が両方ともガレージ内にあったことを意味します。言い換えると、はしごの前部と後部が同時にガレージ内にあったということです。同時性は相対的であるため、2 人の観察者ははしごが収まるかどうかについて意見が一致しません。ガレージの観察者にとっては、はしごの後端ははしごの前端と同時にガレージ内にあり、そのためはしごは収まりました。しかし、はしごの観察者にとっては、これら 2 つのイベントは同時ではなく、はしごは収まりませんでした。

これをはっきり見るには、ガレージのフレームにあるドアについて考えることです。ドアは、はしごが完全に中にある短い間、閉まります。次に、はしごのフレームでこれらのイベントを見てみましょう。最初のイベントは、はしごの前部がガレージの出口ドアに近づいていることです。ドアが閉まり、次に再び開いて、はしごの前部が通過できるようにします。その後、はしごの後部が入口ドアを通過し、入口ドアが閉まり、次に開きます。同時性は相対的であるため、2 つのドアを同時に閉める必要はなく、はしごをガレージ内に収める必要もなかったことがわかります。

この状況は、以下のミンコフスキー図でさらに説明できます。この図はガレージの静止フレーム内にあります。垂直の水色の帯は時空内のガレージを示し、明るい赤色の帯は時空内のはしごを示しています。x 軸と t 軸はそれぞれガレージの空間軸と時間軸であり、x ′と t ′はそれぞれはしごの空間軸と時間軸です。

ガレージのフレームでは、はしごは、特定の時間において、赤い帯の中に x 軸に平行な水平の点の集合として表されます。1 つの例は、ガレージを表す青い帯の内側にある太い青い線分です。これは、はしごが完全にガレージ内に収まっているときを表しています。ただし、はしごのフレームでは、同時発生する一連のイベントは x' 軸に平行な線上にあります。したがって、特定の時間におけるはしごは、そのような線と赤い帯の断面として表されます。その一例が太い赤い線分です。このような線分は、青い帯の内側に完全に収まることはありません。つまり、はしごがガレージ内に完全に収まることはありません。

このパラドックスのより複雑なバージョンでは、はしごが完全にガレージ内に入ったら、物理的に閉じ込めることができます。これは、たとえば、出口のドアを閉めた後、再び開けないことによって実行できます。ガレージのフレームでは、出口のドアは動かないと想定しているため、はしごが出口のドアにぶつかると、はしごは瞬時に停止すると言えます。^{[1] [2]}この時までに、入口のドアも閉まっているため、はしごはガレージ内に閉じ込められています。はしごの相対速度はゼロになったため、長さは収縮せず、ガレージよりも長くなっています。曲がるか、折れるか、爆発することになります。

再び、このパズルは、はしごのフレームから状況を考えるときから始まります。上記の分析では、はしご自体のフレームでは、常にガレージよりも長くなっていました。では、どうやってドアを閉めて、はしごをガレージの中に閉じ込めたのでしょうか?

ここで、相対性の一般的な特徴に注目する価値があります。ガレージのフレームを考慮すると、はしごがガレージの中に閉じ込められていることが推測されます。したがって、これはどのフレームでも当てはまります。つまり、はしごが 1 つのフレームでは折れても、別のフレームでは折れないということはあり得ません。したがって、はしごのフレームから、はしごが閉じ込められた理由について何らかの説明があるはずです。説明を見つければよいのです。

その説明は、はしごのすべての部分がガレージのフレーム内で同時にゼロまで減速するが、同時性は相対的であるため、はしごのフレーム内での対応する減速は同時ではないというものである。代わりに、はしごの各部分は前から後ろへ^{[1] [3]}順番に減速し、最終的にはしごの後ろが減速し、その時には既にガレージ内に入っている。

長さの収縮と時間の遅れはどちらもローレンツ変換によって制御されるため、はしごのパラドックスは双子のパラドックスの物理的な相関関係と見なすことができます。双子のパラドックスでは、一組の双子の片方が地球を離れ、一定期間高速で移動し、地球に留まっている双子よりも少し若くして地球に帰ってきます。納屋の中に閉じ込められたはしごの場合と同様に、どちらの参照フレームも優先されず、それぞれが他方に対してのみ動いている場合、移動中の双子のほうが若く、静止している双子のほうが若くないというのはどうしてあり得るのでしょうか (納屋ではなくはしごのほうが短いのと同じように)。どちらの場合も、現象を区別するのは加速と減速です。つまり、時間的 (はしご-納屋の場合は物理的) 慣性フレームに戻る際に減速の力を受けるのは地球ではなく双子 (または納屋ではなくはしご) です。

裏口（はしごが出るドア）が閉まっていて開かない場合はどうなるでしょうか。はしごが衝突しても貫通しないほど頑丈なドアなので、止まらなければならないとします。すると、上記のシナリオのように、ガレージの参照フレームでは、はしごが裏口に衝突して止まる前に、はしごが完全にガレージ内に入る瞬間（つまり、はしごの後ろが正面ドアの内側にある瞬間）があります。しかし、はしごの参照フレームから見ると、はしごはガレージに収まるには大きすぎるため、裏口に衝突して止まる頃には、はしごの後ろはまだ正面ドアに届いていません。これは矛盾しているように思えます。問題は、はしごの後ろが正面ドアを横切るかどうかです。

困難は主に、はしごが剛体であるという仮定（つまり、同じ形状を維持する）から生じます。はしごは日常生活では剛体のように見えます。しかし、完全に剛体であるためには、無限の速度で力を伝達できることが必要です（つまり、一方の端を押すと、もう一方の端が即座に反応しなければならず、そうでないとはしごが変形します）。これは、情報は光速より速くは伝わらないという特殊相対性理論と矛盾します（光速は現実の生活では私たちが気付かないほど速いですが、はしごのシナリオでは重要です）。したがって、特殊相対性理論では、物体は完全に剛体であることはできません。

この場合、はしごの前部が裏口に衝突するまでは、はしごの後部はまだそれに気付いていないため、前方に移動し続けます (はしごは「圧縮」されます)。ガレージのフレームとはしごの慣性フレームの両方において、後端は衝突時に、少なくともはしごの後部が衝突の光円錐に入るポイント (つまり、衝突ポイントから光速で後方に移動する力がはしごに到達するポイント) までは移動し続けます。この時点では、はしごは実際には元の収縮した長さよりも短くなっているため、後端はガレージの奥深くにあります。両方の参照フレームで計算すると、これが当てはまることがわかります。

力がはしごの後ろ (図の「緑色」の領域) に到達した後に何が起こるかは指定されていません。物理的条件によっては、はしごが壊れる場合があります。または、十分な弾性があれば、曲がって元の長さに再び伸びる場合があります。速度が十分に高ければ、現実的な物質はどれも激しく爆発してプラズマになります。

このパラドックスの初期のバージョンは、もともとヴォルフガング・リンドラー^[1]によって提案され解決されたもので、棒で表される速く歩く人が格子に落ちるというものでした。^[4]棒の各点に同時に均等に下向きの加速度が適用され始める前に、棒は格子の参照フレーム内で格子の上にあると想定されています。

格子の視点から見ると、棒は長さが収縮して格子に収まります。しかし、棒の視点から見ると、格子が長さを収縮しているため、棒は格子を通り抜けるには長すぎるように見えます。

格子の基準フレームでは同時であるロッドの下向きの加速は、ロッドの基準フレームでは同時ではありません。ロッドの基準フレームでは、ロッドの前部が最初に下向きに加速され (図のセル 3 に表示)、時間が経つにつれて、ロッドのより多くの部分が下向きの加速を受け、最終的にロッドの後部が下向きに加速されます。これにより、ロッドの基準フレームでロッドが曲がります。この曲がりはロッドの静止フレームで発生するため、ロッドの実際の物理的歪みであり、ロッドに応力が発生します。

ロッドのこの非剛性動作が明らかになるためには、ロッド自体と格子の両方が、移動時間を測定できるほどの規模でなければなりません。

棒と格子のパラドックスと非常によく似ているが、より単純な問題として、慣性系のみに関係する「棒とリング」のパラドックスがある。^[5]棒と格子のパラドックスは複雑である。ある瞬間に人間は水平に歩いているが、次の瞬間には下向きに落下しているため、非慣性系が関係している。また、棒は 1 つの参照系では曲がっていて、別の参照系ではまっすぐになっているため、人間 (または分節された棒) の物理的な変形が関係している。問題のこれらの側面は、棒の硬さに関係する複雑さをもたらし、「パラドックス」の本質を不明瞭にする傾向がある。「棒とリング」のパラドックスには、これらの複雑さがない。リングの直径よりわずかに長い棒が、長軸を水平にして上向きに右方向に動いているが、リングは静止しており、リングの面も水平である。棒の動きが、ある時点で棒の中心がリングの中心と一致するようなものである場合、棒は動きの前方成分によりローレンツ収縮し、リングを通過します。問題を棒の静止系で考えると、パラドックスが発生します。リングは現在、下向きと左向きに動いており、水平方向の長さに沿ってローレンツ収縮しますが、棒はまったく収縮しません。棒はどのようにしてリングを通過できるのでしょうか。

このパラドックスの解決法は、やはり同時性の相対性にある。^[5]物理的物体の長さは、物体の両端で同時に発生する2 つのイベント間の距離として定義され、同時性は相対的であるため、この長さも相対的である。この長さの可変性は、まさにローレンツ収縮である。同様に、物理的角度は 3 つの同時イベントによって形成される角度として定義され、この角度も相対的な量となる。上記のパラドックスでは、リングの静止系ではロッドとリングの平面は平行であるが、ロッドの静止系では平行ではない。収縮していないロッドは、ローレンツ収縮したリングを通過する。これは、リングの平面がロッドに対してロッドが通過できる量だけ回転しているためである。

数学的に言えば、ローレンツ変換は、空間回転の積と、空間回転を含まない「適切な」ローレンツ変換に分けることができます。棒とリングのパラドックスの数学的解決は、2 つの適切なローレンツ変換 (水平と垂直) の積が、適切 (対角) ではなく、空間回転コンポーネントを含むローレンツ変換を生成する可能性があるという事実に基づいています。

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- さまざまなSRパラドックスとその解決策について議論する

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ウィキメディア・コモンズには、ラダーパラドックスに関連するメディアがあります。

• John de Pillis による特殊相対性理論アニメーション。このインタラクティブなアニメーション化された列車とトンネルのパラドックスは、ポール (列車) と納屋 (トンネル) のパラドックスの類似物です。