加速（特殊相対性理論）

特殊相対性理論(SR)における加速は、ニュートン力学の場合と同様に、時間に関する速度の微分によって生じる。ローレンツ変換と時間の遅れのため、時間と距離の概念はより複雑になり、「加速」の定義もより複雑になる。平坦なミンコフスキー時空の理論としての SR は、加速が存在する場合でも有効である。なぜなら、一般相対性理論(GR) は、エネルギー運動量テンソル(主に質量によって決まるによって引き起こされる時空の曲率がある場合にのみ必要だからである。しかし、時空の曲率は地球やその周辺では特に高くないため、SR は粒子加速器での実験など、ほとんどの実用的な目的に有効である。 ^[1]

外部慣性参照系で測定される 3 空間次元における通常の加速度 (3 次元加速度または座標加速度) の変換式、および共動加速度計で測定される特殊なケースの固有加速度の変換式を導く​​ことができる。もう 1 つの有用な形式は4 次元加速度で、これはその成分をローレンツ変換によって異なる慣性系に接続できるためである。また、加速度と力を関連付ける運動方程式を定式化することもできる。物体の加速のさまざまな形式とその曲がった世界線の方程式は、これらの式から積分によって得られる。よく知られている特殊なケースは、一定の縦方向の固有加速度に対する双曲運動または一様な円運動である。最終的には、特殊相対性理論のコンテキストで加速フレームでこれらの現象を記述することも可能になる。固有参照系 (平坦な時空)を参照。このようなフレームでは、一様重力場と類似した効果が生じ、これは一般相対性理論における曲がった時空の実際の不一様重力場と形式的に類似している。双曲運動の場合はリンドラー座標を使用でき、等速円運動の場合はボルン座標を使用できます。

歴史的な発展に関して言えば、加速度を含む相対論的方程式は、相対性理論の初期の頃にすでに見られ、マックス・フォン・ラウエ（1911、1921）^[2]やヴォルフガング・パウリ（1921）の初期の教科書にまとめられています。^[3]例えば、運動方程式と加速度変換はヘンドリック・アントーン・ローレンツ(1899, 1904)、^{[H 1] [H 2]} アンリ・ポアンカレ(1905)、^{[H 3] [H 4]} アルベルト・アインシュタイン(1905)、^{[H 5]} マックス・プランク(1906)、^{[H 6]}らの論文で展開され、四加速、固有加速、双曲運動、加速参照系、ボルン剛性はアインシュタイン (1907)、 ^{[H 7]} ヘルマン・ミンコフスキー(1907, 1908)、^{[H 8] [H 9]} マックス・ボルン(1909)、^{[H 10]} グスタフ・ヘルグロッツ(1909)、^{[H 11] [H 12]} アルノルド・ゾンマーフェルト(1910)、^{[H 13] [H 14]}らによって解析されている。 von Laue (1911)、^{[H 15] [H 16]} Friedrich Kottler (1912、1914)、^{[H 17]}歴史のセクションを参照。

ニュートン力学とSRの両方によれば、3加速度または座標加速度は、座標時間に対する速度の1次微分、または座標時間に対する位置の2次微分です。 ${\displaystyle \mathbf {a} =\left(a_{x},\ a_{y},\ a_{z}\right)}$${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{x},\ u_{y},\ u_{z}\right)}$${\displaystyle \mathbf {r} =\left(x,\ y,\ z\right)}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$。

しかし、異なる慣性系で測定された3加速度の関係に関しては、理論の予測は大きく異なります。ニュートン力学では、時間はガリレイ変換に従って絶対的であるため、そこから導かれる3加速度はすべての慣性系で等しくなります。^[4]${\displaystyle t'=t}$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '}$。

対照的に、SRでは、との両方がローレンツ変換に依存するため、3次元加速度とその成分も異なる慣性系で異なります。フレーム間の相対速度がx方向に で、ローレンツ因子として方向付けられている場合、ローレンツ変換は次の形式になります。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle v=v_{x}}$${\displaystyle \gamma _{v}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

または任意の大きさの速度の場合：^[5]${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\right)}$ ${\displaystyle |\mathbf {v} |=v}$

3 次元加速度の変換を求めるには、ローレンツ変換の空間座標とをとについて微分する必要があります。これにより、との間の3 次元速度の変換（速度加算式とも呼ばれる）が得られ、さらに について微分すると、との間の 3 次元加速度の変換が得られます。( 1a ) から始めて、この手順により、加速度が速度に平行（x 方向）または垂直（y、z 方向）である場合の変換が得られます。^{[6] [7] [8] [9] [H 4] [H 15]}${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t'}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} '}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t'}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} '}$

または（ １ｂ ）から始めて、この手順は速度と加速度の任意の方向の一般的なケースの結果を与える：^{[10] [11]}

つまり、相対速度 を持つ2 つの慣性系とがある場合、 では瞬間速度 を持つ物体の加速度が測定されますが、 では同じ物体に加速度があり、瞬間速度 があります。速度の加算式と同様に、これらの加速度変換によっても、加速された物体の最終的な速度が光速に到達したり、それを上回ったりすることがないことが保証されます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle S'}$${\displaystyle \mathbf {a} '}$${\displaystyle \mathbf {u} '}$

3ベクトルの代わりに4ベクトル、つまり4位置と4速度を使用する場合、物体の4加速度は座標時間ではなく固有時間に関する微分によって得られます。 ^{[12] [13] [14]}${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{t},\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z}\right)=\left(A_{t},\ \mathbf {A} _{r}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$

ここで、 は物体の3次元加速度であり、 は対応するローレンツ因子 を持つ瞬間的な3次元速度の大きさである。空間部分のみを考慮し、速度がx方向に向いており、速度に平行（x方向）または垂直（y、z方向）の加速度のみを考慮する場合、式は次のように簡略化される：^{[15] [16]}${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}}$${\displaystyle u=u_{x}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{r}=\mathbf {a} \left(\gamma ^{4},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)}$

前述の3加速度とは異なり、4加速度に対しては新たな変換を導く必要はない。なぜなら、すべての4ベクトルと同様に、相対速度を持つ2つの慣性系におけるとの成分は、( 1a , 1b )に類似したローレンツ変換によって結び付けられるからである。4ベクトルのもう1つの特性は、内積またはその大きさの不変性であり、この場合、次の式が得られる。^{[16] [13] [17]}${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} '}$${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}=-A_{t}^{2}+\mathbf {A} _{r}^{2}}$${\displaystyle |\mathbf {A} |={\sqrt {\mathbf {A} ^{2}}}}$

極小の持続時間では、常に 1 つの慣性系が存在し、その慣性系は瞬間的に加速物体と同じ速度を持ち、ローレンツ変換が成り立つ。これらの系における対応する 3 加速度は加速度計で直接測定でき、固有加速度^{[18] [H 14]}または静止加速度と呼ばれる。^{[19] [H 12]}瞬間慣性系におけると外部慣性系で測定されたの関係は、、、 を用いて( 1c、1d )から得られる。したがって、 ( 1c )に関して、速度が によって x 方向に向けられ、速度に平行 (x 方向) または垂直 (y、z 方向) の加速度のみを考慮すると、次の式が成り立つ。^{[12] [19] [18] [H 1] [H 2] [H 14] [H 12]}${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}=\left(a_{x}^{0},\ a_{y}^{0},\ a_{z}^{0}\right)}$${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} ^{0}}$${\displaystyle \mathbf {u} '=0}$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}}$${\displaystyle u=u_{x}=v=v_{x}}$

任意の方向の に対して( 1d )で一般化される: ^{[20] [21] [17]}${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\gamma ^{2}\left[\mathbf {a} +{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(\gamma -1\right)\right]\\\mathbf {a} &={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left[\mathbf {a} ^{0}-{\frac {(\mathbf {a} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\right]\end{aligned}}}$

4元加速度の大きさとも密接な関係がある。これは不変なので、瞬間慣性系で決定することができ、その系では次の式が成り立つ。^{[19] [12] [22] [H 16]}${\displaystyle S'}$${\displaystyle \mathbf {A} _{r}^{\prime }=\mathbf {a} ^{0}}$${\displaystyle dt'/d\tau =1}$${\displaystyle d^{2}t'/d\tau ^{2}=A_{t}^{\prime }=0}$

したがって、4加速度の大きさは、固有加速度の大きさに対応する。これを（2b ）と組み合わせることで、 inとinの関係を決定するための別の方法が与えられ、すなわち^{[13] [17]となる。}${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle S}$

${\displaystyle |\mathbf {a} ^{0}|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}}$

そこから、速度がx方向に向いており、速度に平行（x方向）または垂直（y、z方向）の加速度のみが考慮されている 場合、（ 3a ）が再び導かれます。${\displaystyle u=u_{x}}$

質量が一定であると仮定すると、3力の関数としての4力は4加速度（ 2a）と次のように関係付けられる。^{[23] [24]}${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} }$

任意の速度方向に対する3力と3加速度の関係は^{[25] [26] [23]}

速度がx方向に向いており、速度に平行（x方向）または垂直（y、z方向）の加速度のみが考慮される場合^{[27] [26] [23] [H 2] [H 6]}${\displaystyle u=u_{x}}$

したがって、ニュートンの質量の定義は、3つの力と3つの加速度の比として定義されており、そのような質量は速度と方向の両方に依存するため、SRでは不利である。その結果、古い教科書で使用されていた以下の質量の定義は、もはや使用されていない：^{[27] [28] [H 2]}

${\displaystyle m_{\Vert }={\frac {f_{x}}{a_{x}}}=m\gamma ^{3}}$「縦方向の塊」として、

${\displaystyle m_{\perp }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma }$「横方向質量」として。

３加速度と３力の関係（４ｂ）は運動方程式からも得られる^{[29] [25] [H 2] [H 6]}

ここで は3 元運動量である。と の間の対応する 3 元力の変換（フレーム間の相対速度が x 方向に で向いており、速度に平行（x 方向）または垂直（y、z 方向）の加速度のみが考慮される場合）は、、、、 、 の適切な変換式を 4 元力のローレンツ変換された成分から代入することで得られ、結果は次のようになる：^{[29] [30] [24] [H 3] [H 15]}${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {f} '}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle v=v_{x}}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle m\gamma }$${\displaystyle d(m\gamma )/dt}$

または任意の方向と大きさに対して一般化される：^{[31] [32]}${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle |\mathbf {v} |=v}$

共動ばね秤で測定された瞬間慣性系における力は、固有力と呼ばれる。^{[33] [34]}これは、( 4e , 4f )から、およびおよびとを設定することで導かれる。したがって、( 4e )により、速度に平行(x方向)または垂直(y、z方向)の加速度のみが考慮される。^{[35] [33] [34]}${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}}$${\displaystyle \mathbf {f} '=\mathbf {f} ^{0}}$${\displaystyle \mathbf {u} '=0}$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}}$${\displaystyle u=u_{x}=v=v_{x}}$

任意の方向の に対して（ 4f ）によって一般化される：^{[35] [36]}${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \gamma -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}(\gamma -1)\\\mathbf {f} &={\frac {\mathbf {f} ^{0}}{\gamma }}+{\frac {(\mathbf {f} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}}$

瞬間慣性系では4つの力と4つの加速度が存在するため、式（4a）はニュートン力学関係式を生成し、したがって（3a、4c、5a）は次のように要約できる^[37]${\displaystyle \mathbf {F} =\left(0,\,\mathbf {f} ^{0}\right)}$${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\,\mathbf {a} ^{0}\right)}$${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}}$

これにより、横方向質量の歴史的定義における明らかな矛盾が説明される。^[38]アインシュタイン（1905）は、3加速度と固有力の関係を説明した^{[H 5]}${\displaystyle m_{\perp }}$

${\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Einstein} }={\frac {f_{y}^{0}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}^{0}}{a_{z}}}=m\gamma ^{2}}$、

一方、ローレンツ（1899、1904）とプランク（1906）は、3つの加速度と3つの力の関係を説明した^{[H 2]}

${\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Lorentz} }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma }$。

運動方程式を積分すると、瞬間慣性系のシーケンスに対応する加速物体の曲がった世界線が得られます（ここで、「曲がった」という表現は、ミンコフスキー図の世界線の形状に関連しており、一般相対性理論の「曲がった」時空と混同しないでください）。これに関連して、時計公理のいわゆる時計仮説を考慮する必要があります。^{[39] [40]}共動時計の固有時間は加速度とは無関係です。つまり、外部慣性系で見られるこれらの時計の時間の遅れは、そのフレームに対する相対速度のみに依存します。固有加速の方程式（3a）を積分すると、曲がった世界線の2つの簡単なケースが提供されます。

a)双曲運動: （3a ）による一定の縦方向の固有加速度は世界線につながる^{[12] [18] [19] [25] [41] [42] [H 10] [H 15]}${\displaystyle \alpha =a_{x}^{0}=a_{x}\gamma ^{3}}$

世界線は双曲方程式 に対応しており、双曲運動という名前はここから派生しています。これらの方程式は、双子のパラドックスやベルの宇宙船のパラドックスのさまざまなシナリオの計算や、一定加速度を使用した宇宙旅行に関連してよく使用されます。 ${\displaystyle c^{4}/\alpha ^{2}=\left(x+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}t^{2}}$

b) （3a ）による一定の横方向の固有加速度は求心加速度として見ることができ、^[13]等速回転する物体の世界線につながる^{[43] [44]}${\displaystyle a_{y}^{0}=a_{y}\gamma ^{2}}$

ここで、は接線速度、は軌道半径、 は座標時間の関数としての角速度、は固有角速度です 。${\displaystyle v=r\Omega _{0}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \Omega _{0}}$${\displaystyle \Omega =\gamma \Omega _{0}}$

曲がった世界線の分類は、時空フレネ・セレ公式で表現できる三重曲線の微分幾何学を使って得ることができる。^{[45]特に、双曲運動と等速円運動は一定の}曲率とねじれを持つ運動の特殊なケースであることが示され、^[46]ボルン剛性の条件を満たす。^{[H 11] [H 17]}無限に離れた世界線または点間の時空距離が加速中に一定のままである場合、その物体はボルン剛性であると呼ばれる。

慣性系の代わりに、これらの加速運動と湾曲した世界線は、加速座標または曲線座標を使用して記述することもできます。このようにして確立された適切な参照フレームは、フェルミ座標と密接に関連しています。^{[47] [48]}たとえば、双曲的に加速された参照フレームの座標はリンドラー座標と呼ばれることもあり、均一に回転する参照フレームの座標は回転円筒座標（またはボルン座標）と呼ばれます。等価原理の観点から、これらの加速フレームで生じる効果は、均質で架空の重力場における効果に類似しています。このように、SRで加速フレームを使用すると重要な数学的関係が生成され、それが（さらに発展すると）一般相対性理論における曲がった時空の観点から実際の不均質な重力場を記述する際に基本的な役割を果たすことがわかります。

詳細についてはフォン・ラウエ^[2]、パウリ^[3]、ミラー^[49]、ザハール^[50] 、グルゴルホン^{[48] 、および}特殊相対性理論の歴史の史料を参照してください。

1899年:

ヘンドリック・ローレンツ^{[H 1]}は、静止した静電粒子系（静止エーテル内）と、ローレンツ因子として並進運動を加えてそこから生じる系との間の加速度、力、質量に関する正しい（ある係数 まで）関係式を導出した。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon ^{2}}}}$、、（5a）による。${\displaystyle {\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}}$${\displaystyle \mathbf {f} /\mathbf {f} ^{0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{k^{3}\epsilon }}}$、、（3a）による。${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\epsilon }}}$${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\epsilon }}}$${\displaystyle \mathbf {a} /\mathbf {a} ^{0}}$

${\displaystyle {\frac {k^{3}}{\epsilon }}}$、、については、したがって縦方向と横方向の質量は（4c）によって表される。${\displaystyle {\frac {k}{\epsilon }}}$${\displaystyle {\frac {k}{\epsilon }}}$${\displaystyle \mathbf {f} /(m\mathbf {a} )}$

ローレンツは、 の値を決定する手段がないと説明した。 を設定していた場合、彼の表現は正確な相対論的な形をとったであろう。${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon =1}$

1904年:

ローレンツ^{[H 2]は、}系と運動系内に静止している粒子の特性に関して、以前の関係をより詳細に導出しました。新しい補助変数は に等しく、1899年のものと比較して次のようになりました。 ${\displaystyle \Sigma '}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle l}$${\displaystyle 1/\epsilon }$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right){\mathfrak {F}}(\Sigma ')}$の関数として（5a ）によって表される。${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}}$

${\displaystyle m{\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right)m{\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$の関数として（5b ）によって表される。${\displaystyle m\mathbf {a} }$${\displaystyle m\mathbf {a} ^{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left({\frac {l}{k^{3}}},\ {\frac {l}{k^{2}}},\ {\frac {l}{k^{2}}}\right){\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$の関数として（3a ）によって表される。${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$

${\displaystyle m(\Sigma )=\left(k^{3}l,\ kl,\ kl\right)m(\Sigma ')}$縦方向および横方向の質量を静止質量の関数として表すと（4c、5b）。

このとき、ローレンツは を示し、それによって彼の公式は正確な相対論的形式をとることができた。彼はまた、運動方程式を定式化した。 ${\displaystyle l=1}$

${\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {F}}={\frac {d{\mathfrak {G}}}{dt}}}}$と${\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {G}}={\frac {e^{2}}{6\pi c^{2}R}}kl{\mathfrak {w}}}}$

これは、電磁静止質量として、、、、、、、およびの場合、（4d）に相当します。さらに、彼は、これらの式は力と荷電粒子の質量だけでなく、エーテルを通る地球の運動が検出できないようにするための他のプロセスにも当てはまるはずだと主張しました。${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}}$${\displaystyle l=1}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\mathbf {f} }$${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\mathbf {p} }$${\displaystyle {\mathfrak {w}}=\mathbf {u} }$${\displaystyle k=\gamma }$${\displaystyle e^{2}/(6\pi c^{2}R)=m}$

1905年:

アンリ・ポアンカレ^{[H 3]}は3力変換（4e）を導入した。

${\displaystyle X_{1}^{\prime }={\frac {k}{l^{3}}}{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}\left(X_{1}+\epsilon \Sigma X_{1}\xi \right),\quad Y_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Y_{1}}{l^{3}}},\quad Z_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Z_{1}}{l^{3}}}}$

ここで、は電荷密度、ローレンツ因子です。または、現代の記法では、、、 となります。ローレンツとして、 と設定しました。${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}={\frac {k}{l^{3}}}(1+\epsilon \xi )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \epsilon =v}$${\displaystyle \xi =u_{x}}$${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$${\displaystyle \Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$${\displaystyle l=1}$

1905年:

アルバート・アインシュタイン^{[H 5]}は、特殊相対性理論に基づいて、機械的エーテルの作用なしに、同等に有効な慣性系間の関係を表す運動方程式を導きました。アインシュタインは、瞬間的な慣性系では、運動方程式はニュートンの形式を保持すると結論付けました。 ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=\epsilon X',\quad \mu {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Y',\quad \mu {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Z'}$。

これは に対応します。なぜならおよびおよび だからです。 相対的に動くシステムに変換することで、彼はそのフレームで観測される電気成分と磁気成分の方程式を得ました。 ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}}$${\displaystyle \mu =m}$${\displaystyle \left({\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}\right)=\mathbf {a} ^{0}}$${\displaystyle \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta ^{3}}}X,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)}$。

これは、およびおよびおよびであるため、 の（4c）に対応します。その結果、アインシュタインは、共動ばね秤で測定された瞬間静止系での力と、システム の3加速度に関連付けながら、縦方向と横方向の質量を決定しました。^[38]${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)}$${\displaystyle \mu =m}$${\displaystyle \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)=\mathbf {a} }$${\displaystyle \left[\epsilon X,\ \epsilon \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\ \epsilon \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)\right]=\mathbf {f} }$${\displaystyle \beta =\gamma }$${\displaystyle \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mu \beta ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\epsilon X=\epsilon X'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right)=\epsilon Y'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)=\epsilon Z'\end{aligned}}&{\begin{aligned}{\frac {\mu }{\left({\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)^{3}}}&\ {\text{longitudinal mass}}\\\\{\frac {\mu }{1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}&\ {\text{transverse mass}}\end{aligned}}\end{array}}}$

これは( 5b )に対応する。${\displaystyle m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=\mathbf {f} ^{0}}$

1905年:

ポアンカレ^{[H 4]}は3次元加速度の変換（1c）を導入した。

${\displaystyle {\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {1}{k^{3}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\eta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\eta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\zeta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\zeta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\zeta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}}}$

ここで、およびおよび も同様です。${\displaystyle \left(\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right)=\mathbf {u} }$${\displaystyle k=\gamma }$${\displaystyle \epsilon =v}$${\displaystyle \mu =1+\xi \epsilon =1+u_{x}v}$

さらに、彼は次の形式で 4 つの力を導入しました。

${\displaystyle k_{0}X_{1},\quad k_{0}Y_{1},\quad k_{0}Z_{1},\quad k_{0}T_{1}}$

ここで、およびおよび。${\displaystyle k_{0}=\gamma _{0}}$${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$${\displaystyle T_{1}=\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$

1906年:

マックス・プランク^{[H 6]}は運動方程式を導出した。

${\displaystyle {\frac {m{\ddot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}=e{\mathfrak {E}}_{x}-{\frac {e{\dot {x}}}{c^{2}}}\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)\ {\text{etc.}}}$

と

${\displaystyle e\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)={\frac {m\left({\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}\right)}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}}$そして${\displaystyle e{\mathfrak {E}}_{x}+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)=X\ {\text{etc.}}}$

そして

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\{{\frac {m{\dot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}\right\}=X\ {\text{etc.}}}$

これらの式は（4d） に対応しており、

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} }$、およびとは、Lorentz (1904) によって示された値と一致します。${\displaystyle X=f_{x}}$${\displaystyle q=v}$${\displaystyle {\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }$

1907年:

アインシュタイン^{[H 7]}は、等加速度参照フレームを分析し、コットラー・メラー・リンドラー座標で与えられたものと類似した、座標依存の時間の遅れと光速度の公式を得た。

1907年:

ヘルマン・ミンコフスキー^{[H 9]}は、4元力（彼はこれを移動力と呼んだ）と4元加速度の関係を定義した。

${\displaystyle m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dx}{d\tau }}=R_{x},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dy}{d\tau }}=R_{y},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dz}{d\tau }}=R_{z},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dt}{d\tau }}=R_{t}}$

に対応します。${\displaystyle m\mathbf {A} =\mathbf {F} }$

1908年:

ミンコフスキー^{[H 8]}は、固有時間に関する2次導関数を「加速度ベクトル」（4次元加速度）と表す。彼は、世界線の任意の点におけるその大きさが であることを示した。ここで、 は対応する「曲率双曲線」（ドイツ語：Krümmungshyperbel）の中心から に向かうベクトルの大きさである。${\displaystyle x,y,z,t}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c^{2}/\varrho }$${\displaystyle \varrho }$${\displaystyle P}$

1909年:

マックス・ボルン^{[H 10]は、}剛体加速運動の研究の過程で、ミンコフスキーの加速度ベクトルの大きさが一定である運動を「双曲運動」（ドイツ語：Hyperbelbewegung ）と表現した。ボルンは、 （現在では固有速度と呼ばれる）をローレンツ因子、固有時として設定し、変換方程式を次のようにした 。${\displaystyle p=dx/d\tau }$${\displaystyle q=-dt/d\tau ={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi }$。

これは、およびの場合の（ 6a）に対応する。ボルンは、を消去して双曲方程式を導き、加速度の大きさを と定義した。彼はまた、この変換を使用して「双曲的に加速された参照システム」（ドイツ語：hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem）に変換できることにも気づいた。${\displaystyle \xi =c^{2}/\alpha }$${\displaystyle p=c\sinh(\alpha \tau /c)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x^{2}-c^{2}t^{2}=\xi ^{2}}$${\displaystyle b=c^{2}/\xi }$

1909年:

グスタフ・ヘルグロッツ^{[H 11]}は、ボルンの調査を、等速回転を含む剛体加速運動のあらゆる可能なケースに拡張した。

1910年:

アルノルド・ゾンマーフェルト^{[H 13]}は、ボルンの双曲運動の公式を、虚数時間変数として、虚数角度として より簡潔な形で示した。${\displaystyle l=ict}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi }$

彼は、が変数でが定数のとき、それらは双曲運動する荷電体の世界線を記述すると指摘しました。しかし、が定数でが変数のときは、それらは静止フレームへの変換を表します。${\displaystyle r,y,z}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle r,y,z}$${\displaystyle \varphi }$

1911年:

ゾンマーフェルト^{[H 14]は、(} 3a )に対応する、瞬間慣性系における加速度としての量に対して、「固有加速度」(ドイツ語: Eigenbeschleunigung )という表現を明示的に使用した。${\displaystyle {\dot {v}}_{0}}$${\displaystyle {\dot {v}}={\dot {v}}_{0}\left(1-\beta ^{2}\right)^{3/2}}$

1911年:

ヘルグロッツ^{[H 12]は、}固有加速度の代わりに「静止加速度」（ドイツ語：Ruhbeschleunigung ）という表現を明示的に使用しました。彼はそれを、 （ 3a ）に対応する形で書きました。ここで、はローレンツ因子であり、またはは静止加速度の縦方向成分と横方向成分です。${\displaystyle \gamma _{l}^{0}=\beta ^{3}\gamma _{l}}$${\displaystyle \gamma _{t}^{0}=\beta ^{2}\gamma _{t}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma _{l}^{0}}$${\displaystyle \gamma _{t}^{0}}$

1911年:

マックス・フォン・ラウエ^{[H 15]は、}彼のモノグラフ「相対性理論」の初版で、速度加重の微分による3加速度の変換を導出した。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{3}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime },&{\mathfrak {\dot {q}}}_{y}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{2}\left({\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }-{\frac {v{\mathfrak {q}}_{y}^{\prime }{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right),\end{aligned}}}$

これは（1c）とポアンカレ（1905/6）に相当します。そこから彼は静止加速度の変換（3aに相当）を導き、最終的には（ 6a ）に対応する双曲運動の公式を導きました。

${\displaystyle \pm {\mathfrak {q}}_{x}=\pm {\frac {dx}{dt}}={\frac {cbt}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}}},\quad \pm \left(x-x_{0}\right)={\frac {c}{b}}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}},}$

したがって

${\displaystyle x^{2}-c^{2}t^{2}=x^{2}-u^{2}=c^{4}/b^{2},\quad y=\eta ,\quad z=\zeta }$、

虚角を持つ双曲参照系への変換： ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}X&=R\cos \varphi \\L&=R\sin \varphi \end{aligned}}&{\begin{aligned}R^{2}&=X^{2}+L^{2}\\\tan \varphi &={\frac {L}{X}}\end{aligned}}\end{array}}}$。

彼はまた、3つの力の変換を次のように書いた。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {K}}_{x}&={\frac {{\mathfrak {K}}_{x}^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}({\mathfrak {q'K'}})}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{y}&={\mathfrak {K}}_{y}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{z}&={\mathfrak {K}}_{z}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},\end{aligned}}}$

（4e）およびポアンカレ（1905）と同等である。

1912年～1914年:

フリードリヒ・コトラー^{[H 17]は}マクスウェル方程式の一般共変性を得て、4次元フレネ・セレの公式を用いてヘルグロッツ(1909)が示したボルンの剛体運動を解析した。また、双曲運動と等速円運動の適切な基準系も得た。