スクイーズマッピング

線形代数において、スクイーズ マッピング(スクイーズ変換とも呼ばれる) は、デカルト平面内の領域のユークリッド面積を保存する線形マップの一種ですが、回転マッピングやせん断マッピングではありません。

固定された正の実数aに対して、写像

${\displaystyle (x,y)\mapsto (ax,y/a)}$

はパラメータaを持つスクイーズ写像である。

${\displaystyle \{(u,v)\,:\,uv=\mathrm {定数} \}}$

は双曲線であり、u = axかつv = y / aのとき、uv = xyとなり、スクイーズ写像の像の点は( x , y )と同じ双曲線上にあります。このため、エミール・ボレルが1914 年に円を保存する円回転との類推で行ったように、 ^{[1]スクイーズ写像を}双曲回転として考えるのは自然です。

スクイーズ マッピングは、対数の概念の発展の土台を築きました。双曲線 ( xy = 1など) で囲まれた面積を求める問題は、求積法の問題です。1647年にグレゴワール ド サン ヴァンサンとアルフォンス アントニオ デ サラサによって発見されたこの解法には、新しい概念である自然対数関数が必要でした。対数に対する洞察の一部は、スクイーズ マッピングによって面積を保存しながら並べ替えられた双曲セクターを通じて得られます。双曲セクターの面積は、セクターに関連付けられた双曲角の尺度として取られます。双曲角の概念は、通常の円角とはまったく独立していますが、不変性という特性を共有しています。つまり、円角は回転に対して不変ですが、双曲角はスクイーズ マッピングに対して不変です。円角と双曲角はどちらも不変の尺度を生成しますが、異なる変換群に関してです。双曲関数は双曲角を引数として取り、円関数が円角引数に対して果たす役割を実行します。 ^[2]

抽象群論よりずっと前の1688年に、ユークリッド・シュパイデルは当時の用語でスクイーズ写像を次のように記述した。「正方形と、その正方形にそれぞれ等しい平面上の無限の長方形から、直角円錐内に内接する任意の双曲線と同じ特性または効果を持つ曲線がどのようにして生成されるか。」^[3]

rとs が正の実数である場合、それらのスクイーズ写像の合成は、それらの積のスクイーズ写像です。したがって、スクイーズ写像のコレクションは、正の実数の乗法群と同型の1 パラメータ群を形成します。この群の加法的ビューは、双曲セクターとその双曲角を考慮することで生じます。

古典群の観点から見ると、スクイーズ写像の群はSO ⁺ (1,1)であり、これは2×2実行行列の不定直交群の単位元成分であり、二次形式u ² − v ²を保存する。これは、基底の変更を介して形式xyを保存することと同等である。

${\displaystyle x=u+v,\quad y=uv\,,}$

は幾何学的には双曲線を保存することに対応します。スクイーズ写像の群を双曲回転として見ることは、二次形式x ² + y ²を保存する群SO(2) (定直交群の連結成分) を円回転として解釈することに類似しています。

「SO ⁺」という表記は、反射が

${\displaystyle u\mapsto -u,\quad v\mapsto -v}$

は許可されませんが、形式は保存されます ( xとyに関して、これらはx ↦ y、y ↦ xおよびx ↦ − x、y ↦ − yです) 。双曲の場合 (円形の場合と比較して) の追加の" + " は、グループO(1,1)が4 つ の連結成分を持つのに対し、グループO(2) は2 つの成分を持つため、恒等成分を指定するために必要です。SO (1,1) は2 つの成分を持ちますが、SO(2) は1 つしかありません。スクイーズ変換が面積と方向を保存するという事実は、面積と方向を保存する変換の特殊線型群(体積形式)に双曲回転の部分群のサブグループSO ⊂ SL (この場合はSO(1,1) ⊂  SL(2)) を含めることに対応します。メビウス変換の言語では、スクイーズ変換は要素の分類における双曲要素です。

幾何学的変換は、角度を保存する場合、等角と呼ばれます。双曲角は、 y = 1/ xの面積を使用して定義されます。スクイーズ マッピングは、双曲セクターなどの変換された領域の面積を保存するため、セクターの角度の測定が保存されます。したがって、スクイーズ マッピングは、双曲角を保存するという意味で 等角です。

ここでは、いくつかのアプリケーションを歴史的な参照とともに要約します。

時空幾何学は、通常、次のように展開されます。時空内の「今ここ」として (0,0) を選択します。この中心イベントを左右に放射する光は、時空内の 2 本の線を追跡します。これらの線は、(0,0) から離れたイベントに座標を与えるために使用できます。速度の遅い軌道は、元のタイムライン (0, t ) に近づきます。このような速度は、ローレンツ ブーストと呼ばれるスクイーズ マッピングの下で​​はゼロ速度と見なすことができます。この洞察は、分割複素数の乗算と、光線のペアに対応する対角基底の研究から得られます。正式には、スクイーズは、異なる座標系でxy ; の形式で表された双曲メトリックを保存します。相対性理論におけるこの応用は、1912 年にウィルソンとルイス、^[4]ヴェルナー グルーブ、^[5]およびルイス カウフマンによって注目されました。^[6]さらに、ローレンツ変換のスクイーズ写像形式は、ボルン剛性を議論する際にグスタフ・ヘルグロッツ（1909/10）^[7]によって使用され、ヴォルフガング・リンドラーが相対性理論の教科書でその特性を示す際に使用して広く知られるようになりました。^[8]

スクイーズ変換という用語は、光学におけるローレンツ群とジョーンズ計算を関連付ける論文の中でこの文脈で使用されました。^[9]

流体力学では、非圧縮性の流れの基本的な動きの 1 つに、動かない壁にぶつかる流れの分岐があります。壁を軸y = 0 で表し、パラメータr = exp( t ) ( tは時間)を取ると、パラメータr を初期の流体状態に適用した圧縮マッピングにより、軸x = 0の左右に分岐のある流れが生成されます。同じモデルにより、時間を逆方向に実行したときに流体が収束します。実際、任意の双曲セクターの面積は圧縮に対して不変です。

双曲流線を持つ流れへの別のアプローチについては、ポテンシャルフロー § n = 2 のべき乗法則を参照してください。

1989年にオッティーノ^[10]は「線形等容積2次元流」を次のように記述した。

${\displaystyle v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}}$

ここでKは[−1, 1]の区間にある。流線は曲線に沿っている。

${\displaystyle x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {定数} }$

したがって、負のK は楕円に対応し、正のK は双曲線に対応し、スクイーズ マッピングの長方形の場合はK = 1 に対応します。

ストッカーとホソイ^[11]はコーナーフローへのアプローチを次のように説明している。

我々は、双曲座標の使用に基づいて、コーナーのような形状を説明する代替定式化を提案します。これにより、プラトー境界および付着した液体糸の流れの決定に向けた分析の大幅な進歩が可能になります。π / 2 の角度を形成し、左と下が対称面によって区切られた流れの領域を検討します。

ストッカーとホソイは、モファット^[12]の「遠距離の任意の擾乱によって引き起こされる、剛体境界間のコーナーにおける流れ」の考察を思い起こす。ストッカーとホソイによれば、

四角い角にある自由流体の場合、モファットの（反対称）流れ関数は、これらの流れを記述するには双曲座標が自然な選択であることを示しています。

スクイーズ写像の面積保存特性は、超越関数である自然対数とその逆関数である指数関数 の基礎を設定する際に応用されます。

定義:セクター( a,b )は、中心線が( a、1/ a )と( b、1/ b )を結ぶ双曲セクターです。

補題: bc = adの場合、セクター( a,b )をセクター( c,d )に移動するスクイーズマッピングが存在します。

証明: パラメータr = c / aをとると、( u,v ) = ( rx , y / r ) は ( a , 1/ a ) を ( c , 1/ c )に、( b , 1/ b ) を ( d , 1/ d ) に変換します。

定理(グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサン1647) bc = adの場合、双曲線xy = 1 の漸近線に対する求積法では、 aとbの間の面積とcとdの間の面積が等しくなります。

証明: 面積が1 ⁄ 2の三角形(1 つの三角形は {(0,0), (0,1), (1,1)}) を足し算したり引き算したりする議論は、双曲扇形の面積が漸近線に沿った面積に等しいことを示しています。定理は補題から導かれます。

定理(アルフォンス・アントニオ・デ・サラサ1649) 漸近線に対して測定された面積が等差数列で増加すると、漸近線への投影は等比数列で増加します。したがって、面積は漸近線指数の対数を形成します。

たとえば、(1, 1) から ( x , 1/ x ) までの標準位置角の場合、「双曲角が 1 に等しいのはいつですか?」と尋ねられます。答えは超越数x = eです。

r = eの圧縮は、単位角度を ( e , 1/ e ) と ( ee , 1/ ee ) の間の 1 に移動し、これも面積 1 の扇形を形成します。等比数列は、

e、e ²、e ³、 ...、e ⁿ、 ...

それぞれの面積の合計で達成される漸近指数に対応する。

1,2,3、...、n、...

これは、 A = 0 かつd = 1である典型的な等差数列 A + ndです。

ピエール・オシアン・ボネ(1867) による定曲率面の研究に続いて、ソフス・リー(1879) は、既知の擬似球面から新しい擬似球面を導く方法を発見した。このような面は、サイン・ゴルドン方程式を満たす。

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta ,}$

ここで、は2つの主接線とそれぞれの角度の漸近座標である。リーは、がサイン・ゴードン方程式の解である場合、次のスクイーズ写像（現在リー変換として知られている^[13]）は、その方程式の他の解を示すことを示した。^[14]${\displaystyle (s,\sigma )}$${\displaystyle \Theta}$${\displaystyle \Theta =f(s,\sigma )}$

${\displaystyle \Theta =f\left(ms,\ {\frac {\sigma }{m}}\right).}$

リー（1883）は、擬球面の他の2つの変換との関係に注目した。^[15]バックルンド変換（ 1883年にアルバート・ヴィクター・バックルンドによって導入）は、リー変換とビアンキ変換（ 1879年にルイジ・ビアンキによって導入）の組み合わせと見ることができる。擬球面のこのような変換は、ガストン・ダルブー（1894）、^[16]ルイジ・ビアンキ（1894）、^[17]またはルーサー・ファラー・アイゼンハート（1909）による微分幾何学の講義で詳細に議論された。^[18]

リー変換（またはスクイーズ写像）は光円錐座標におけるローレンツブーストに対応することが知られており、これはTerngとUhlenbeck（2000）によって指摘されている。^[13]

ソフス・リーは、SGE [正弦-ゴードン方程式] がローレンツ変換に対して不変であることを観察しました。光円錐座標に対応する漸近座標では、ローレンツ変換は です。${\displaystyle (x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)}$

これは次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end{行列}}}$

ここで、k はボンディk計算におけるドップラー因子に対応し、ηはラピディティです。

ウィキメディア・コモンズには、スクイーズ (幾何学)に関連するメディアがあります。

• 不定直交群
• 等容積過程

• HSM Coxeter & SL Greitzer (1967) 「幾何学再考」、第 4 章「変換、変換の系譜」
• PS Modenov と AS Parkhomenko (1965) Geometric Transformations、第 1 巻。104 ～ 106 ページを参照してください。
• ウォルター、スコット (1999)。「非ユークリッド的ミンコフスキー相対論」(PDF)。J. グレイ (編) 『シンボリック宇宙: 幾何学と物理学』。オックスフォード大学出版局。pp. 91–127。（e-linkの9ページを参照）
• Wikiversity の逆固有値に関する学習教材