相対論的オイラー方程式

流体力学と天体物理学において、相対論的オイラー方程式は、一般相対性理論の効果を考慮したオイラー方程式の一般化である。高エネルギー天体物理学や数値相対論に応用されており、ガンマ線バースト、降着現象、中性子星などの現象を、磁場を加えて記述するためによく使用される。^[1]注: 文献との一貫性を保つため、この記事では自然単位、すなわち光速とアインシュタインの総和規約を使用している。 ${\displaystyle c=1}$

地球上で観測可能なほとんどの流体については、ニュートン力学に基づく従来の流体力学で十分です。しかし、流体の速度が光速に近づいたり、強い重力場を通過したり、圧力がエネルギー密度（）に近づいたりすると、これらの方程式はもはや有効ではありません。^[2]このような状況は、天体物理学の応用で頻繁に発生します。たとえば、ガンマ線バーストの速度は光速未満であることが多く、^[3]中性子星の重力場は地球の何倍も強力です。^[4]このような極端な状況では、流体の相対論的な扱いのみが十分です。 ${\displaystyle P\sim\rho}$${\displaystyle 0.01\%}$${\displaystyle 10^{11}}$

運動方程式は応力エネルギーテンソルの連続方程式に含まれています。 ${\displaystyle T^{\mu \nu}}$

$${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0,}$$

ここで は共変微分である。^[5]完全流体の場合、 ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$

$${\displaystyle T^{\mu \nu }\,=(e+p)u^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }.}$$

ここでは流体の全質量エネルギー密度（静止質量と内部エネルギー密度の両方を含む）、は流体圧力、は流体の4元速度、は計量テンソルです。^[2]上記の式には通常、重粒子数の保存という保存則が追加されます。 が重粒子の数密度である場合、これは次のように表すことができます 。${\displaystyle e}$${\displaystyle p}$${\displaystyle u^{\mu }}$${\displaystyle g^{\mu \nu }}$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \nabla _{\mu }(nu^{\mu })=0.}$$

これらの方程式は、流体の三元速度が光速よりはるかに遅く、圧力がエネルギー密度よりはるかに小さく、エネルギー密度が静止質量密度によって支配されている場合、古典的なオイラー方程式に簡約されます。このシステムを閉じるには、理想気体やフェルミガスなどの状態方程式も追加されます。^[1]

平坦な空間、すなわちおよびの計量シグネチャを使用する場合、運動方程式は、^[6]${\displaystyle \nabla _{\mu }=\partial _{\mu }}$${\displaystyle (-,+,+,+)}$ $${\displaystyle \left(e+p\right)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\mu }\partial _{\mu }p}$$

ここで、はシステムのエネルギー密度、は圧力、 はシステムの 4 元速度です。${\displaystyle e=\gamma \rho c^{2}+\rho \varepsilon }$${\displaystyle p}$${\displaystyle u^{\mu }=\gamma (1,\mathbf {v} /{c})}$

和と方程式を展開すると、（物質導関数としてを用いて） ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$$${\displaystyle \left(e+p\right){\frac {\gamma }{c}}{\frac {du^{\mu }}{dt}}=-\partial ^{\mu }p-{\frac {\gamma }{c}}{\frac {dp}{dt}}u^{\mu }}$$

次に、速度自体の挙動を観察すると、運動方程式は次のようになることがわかります。 ${\displaystyle u^{\nu }=u^{i}={\frac {\gamma }{c}}v_{i}}$$${\displaystyle \left(e+p\right){\frac {\gamma }{c^{2}}}{\frac {d}{dt}}{\left(\gamma v_{i}\right)}=-\partial _{i}p-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}{\frac {dp}{dt}}v_{i}}$$

非相対論的極限をとると、 となることに注意してください。これは、流体のエネルギーが静止エネルギーによって支配されることを意味します。 ${\textstyle {\frac {1}{c^{2}}}\left(e+p\right)=\gamma \rho +{\frac {1}{c^{2}}}\rho \varepsilon +{\frac {1}{c^{2}}}p\approx \rho }$

この極限では、およびとなり、 のオイラー方程式が返されることがわかります。 ${\displaystyle \gamma \to 1}$${\displaystyle c\to \infty }$${\displaystyle \rho {\frac {dv_{i}}{dt}}=-\partial _{i}p}$

運動方程式を決定するために、次の空間投影テンソル条件を利用します。 $${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0}$$

これを証明するために、 を見て、各辺に を掛けます。 これを実行し、 であることに留意すると、 が得られます。 インデックスを と再ラベル付けすると、2 つが完全に打ち消されることがわかります。 この打ち消しは、時間テンソルを空間テンソルで縮約した場合に予想される結果です。 ${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }}$${\displaystyle u_{\nu }}$${\displaystyle u^{\mu }u_{\mu }=-1}$${\displaystyle u_{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }-u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \nu }$

さて、次のことに注意すると $${\displaystyle T^{\mu \nu }=wu^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }}$$

ここで、 を暗黙的に定義すると、 を計算することができる。 ${\displaystyle w\equiv e+p}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\mu }T^{\mu \nu }&=\left(\partial _{\mu }w\right)u^{\mu }u^{\nu }+w\left(\partial _{\mu }u^{\mu }\right)u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p\\[1ex]\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }&=\left(\partial _{\mu }w\right)u^{\mu }u^{\alpha }+w\left(\partial _{\mu }u^{\mu }\right)u^{\alpha }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\alpha }+\partial ^{\alpha }p\end{aligned}}}$$

そしてこうして $${\displaystyle u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+wu^{\mu }u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }u^{\alpha }+u^{\nu }u_{\alpha }\partial ^{\alpha }p}$$

次に、とという事実に注目しましょう。2番目の恒等式は最初の恒等式から導かれることに注目してください。これらの簡略化により、 ${\displaystyle u^{\alpha }u_{\alpha }=-1}$${\displaystyle u^{\alpha }\partial _{\nu }u_{\alpha }=0}$$${\displaystyle u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p}$$

そして により、 ${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0}$$${\displaystyle (\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0}$$

キャンセルが2件あり、 $${\displaystyle (e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p}$$

• 相対論的熱伝導
• 状態方程式（宇宙論）