相対論的熱伝導

相対論的熱伝導とは、特殊相対性理論と互換性のある方法で熱伝導（および類似の拡散プロセス）をモデル化することです。特殊（および一般）相対性理論では、非相対論的熱伝導の通常の熱方程式は、光よりも速い信号伝播につながるため、修正する必要があります。^{[1] [2]したがって、相対論的熱伝導には、相対論的}因果関係、つまり効果はその原因に関連付けられた光円錐内になければならないという原理と一致する、連続媒体（固体、流体、気体）内の熱伝播の一連のモデルが含まれます。熱伝導の合理的な相対論的モデルはすべて、温度差が光よりも遅く伝播し、時間の経過とともに減衰するという意味で安定している必要があります（この安定性の特性は、相対論的因果関係と密接に絡み合っています^[3]）。

ニュートン力学における熱伝導は 、フーリエ方程式^{[4] 、}すなわち次のような放物型偏微分方程式でモデル化される。 ここで、θは温度、^[5] tは時間、α = k /( ρ c ) は熱拡散率、kは熱伝導率、ρは密度、c は比熱容量である。ラプラス演算子 は、直交座標で次のように 定義される。$${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}~=~\alpha ~\nabla ^{2}\theta ,}$$ ${\textstyle \nabla ^{2}}$$${\displaystyle \nabla ^{2}~=~{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}~+~{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}~+~{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$

このフーリエ方程式は、熱流束ベクトルqのフーリエ線形近似を温度勾配の関数として 熱力学の第一法則 に代入することで導かれる。 ここで、 del演算子∇は3Dで次のように定義される。 $${\displaystyle \mathbf {q} ~=~-k~\nabla \theta ,}$$ $${\displaystyle \rho ~c~{\frac {\partial \theta }{\partial t}}~+~\nabla \cdot \mathbf {q} ~=~0,}$$$${\displaystyle \nabla ~=~\mathbf {i} ~{\frac {\partial }{\partial x}}~+~\mathbf {j} ~{\frac {\partial }{\partial y}}~+~\mathbf {k} ~{\frac {\partial }{\partial z}}.}$$

熱流束ベクトルのこの定義は、熱力学の第二法則も満たすことが示せます。^[6] ここで、sは比エントロピー、σはエントロピー生成です。この数学モデルは特殊相対性理論と矛盾しています。熱方程式に関連付けられたグリーン関数(熱核とも呼ばれる) は、光円錐の外側にまで広がるサポートを持ち、光よりも速い情報伝播につながります。たとえば、原点での熱パルスを考えてみましょう。すると、フーリエ方程式によれば、それは瞬間的にどの離れた点でも感じられます (つまり、温度が変化)。熱の伝播速度は真空中では光速よりも速く、相対性理論の枠組みでは認められません。 $${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{\theta }}\right)~+~\rho ~{\frac {\partial s}{\partial t}}~=~\sigma ,}$$

上で議論した熱伝導の放物線モデルは、フーリエ方程式（およびより一般的なフィックの拡散の法則）が、少なくとも1つの理由から相対性理論^{[7]と両立しないことを示しています。それは、連続体}フィールド（この場合は熱、または温度勾配）の伝播速度が無限であることを認めているからです。この矛盾を克服するために、Carlo Cattaneo ^[2]、Vernotte ^[8] 、 Chester ^[9]、およびその他の研究者^{[10]は、フーリエ方程式を放物線}形式から双曲形式にアップグレードすることを提案しました。ここで、温度場nは次によって決まります。${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\frac {1}{C^{2}}}~{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial t^{2}}}~+~{\frac {1}{\alpha }}~{\frac {\partial \theta }{\partial t}}~=~\nabla ^{2}\theta .}$$

この式では、Cは第二音速（励起やフォノンのような準粒子に関連する）と呼ばれています。この式は「双曲型熱伝導」（HHC）方程式として知られています。^{[11]数学的には、上記の式は「電信方程式」と呼ばれています。これは、}マクスウェルの電気力学方程式から導き出される電信方程式と形式的に同等であるためです。

HHC方程式が熱力学第一法則と互換性を保つためには、熱流束ベクトルqの定義を次のように修正する必要がある。 ここで、qは 緩和時間であり、この熱流束の方程式はしばしば「マクスウェル-カッタネオ方程式」と呼ばれる。双曲型方程式の最も重要な意味は、放物型（散逸型）偏微分方程式から双曲型（保存項を含む）偏微分方程式に切り替えることによって、熱共鳴^{[12] [13] [14]}や熱衝撃波^[15]などの現象が発生する可能性があることである。$${\displaystyle \tau _{_{0}}~{\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial t}}~+~\mathbf {q} ~=~-k~\nabla \theta ,}$$${\textstyle \tau _{_{0}}}$${\textstyle C^{2}~=~\alpha /\tau _{_{0}}.}$