制動放射

素粒子物理学では、制動放射( / ˈ b r ɛ m ʃ t r ɑː l ə ŋ / ; ^{[ 1 ]}ドイツ語: [ ˈbʁɛms.ʃtʁaːlʊŋ ]^ⓘ（ドイツ語のbremsen「ブレーキをかける」とStrahlung「放射」）は、荷電粒子が別の荷電粒子（典型的には原子核による電子減速することによって生じる電磁放射。運動する粒子は運動エネルギーを、それが放射（すなわち光子）に変換されるため、エネルギー保存の法則が。この用語は、放射を生成するプロセスを指す場合にも使用されます。制動放射は連続スペクトル、減速される粒子のエネルギーの変化が増加するにつれてスペクトルは強くなり、ピーク強度はより高い周波数にシフトします。  

広義には、制動放射とは、荷電粒子の加速（正または負）によって生じるあらゆる放射線を指します。これには、シンクロトロン放射（すなわち、相対論的粒子による光子放出）、サイクロトロン放射（すなわち、非相対論的粒子による光子放出）、ベータ崩壊時の電子および陽電子の放出が含まれます。制動放射は、地上のガンマ線バースト現象の一部にも寄与しています。しかし、この用語は、物質中で電子（起源を問わず）が減速する際に生じる放射線という、より狭義の意味で用いられることが多いです。

プラズマから放出される制動放射は、自由-自由放射と呼ばれることがあります。これは、光子放出前も放出後も自由な状態にある電子（つまり、原子や分子に束縛されていない電子）によって生成される放射です。同様に、束縛-束縛放射は離散的なスペクトル線（電子が2つの束縛状態の間を「ジャンプ」する）を指し、自由-束縛放射は放射結合過程、すなわち自由電子がイオンと再結合する過程を指します。 

この記事では、SI単位系と、スケーリングされた単粒子電荷を使用しています。$\displaystyle {\bar {q}}\equiv q/(4\pi \epsilon _{0})^{1/2}}$。

量子効果が無視できる場合、加速する荷電粒子はラーモアの公式とその相対論的一般化によって記述されるようにエネルギーを放射する。

制動放射の完全な量子力学的取り扱いは非常に複雑です。純粋なクーロンポテンシャルを使用した、1つの電子、1つのイオン、および1つの光子の相互作用の「真空の場合」には、おそらく1931年にアーノルド・ゾンマーフェルトによって初めて発表された厳密解があります。 ^{[ 5 ]}この解析解は複雑な数学を伴い、カルザスとラッターなどによるいくつかの数値計算が発表されています。^{[ 6 ]ワインバーグ[ 7 ]}やプラドラーとセンメルロック^{[ 8 ]} による最近の研究など、他の近似式も提示されています。

この節では、前の節の量子力学的類似例を示しますが、重要な物理現象を説明するためにいくつかの簡略化を行っています。これは、質量が の電子という特殊なケースの非相対論的扱いです。${\displaystyle m_{\text{e}}}$、 充電${\displaystyle -e}$、そして初速度${\displaystyle v}$電荷を持つ重イオンガスのクーロン場中で減速する${\displaystyle Ze}$および数密度${\displaystyle n_{i}}$放出される放射線は周波数の光子である。${\displaystyle \nu =c/\lambda }$そしてエネルギー${\displaystyle h\nu }$目標は放射率を求めることです${\displaystyle j(v,\nu )}$これは、(光子速度空間における立体角×光子周波数)あたりに放出されるパワーであり、両方の横方向光子偏光について合計されます。これは、量子補正やその他の補正を考慮した自由-自由放出ガウント因子gff_を掛けた近似的な古典的結果として表されます。 $${\displaystyle j(v,\nu )={8\pi \over 3{\sqrt {3}}}{Z^{2}{\bar {e}}^{6}n_{i} \over c^{3}m_{\text{e}}^{2}v}g_{\rm {ff}}(v,\nu )}$$${\displaystyle j(\nu ,v)=0}$もし${\displaystyle h\nu >mv^{2}/2}$つまり、電子は光子を放出するのに十分な運動エネルギーを持っていない。一般的な量子力学的公式は、${\displaystyle g_{\rm {ff}}}$存在するが、非常に複雑であり、通常は数値計算によって求められる。近似結果を示すために、以下の追加的な仮定が用いられる場合がある。

• 真空相互作用：この計算では、プラズマ遮蔽効果などの背景媒質の影響は無視されます。これは、光子周波数がプラズマ周波数​​よりもはるかに高い場合に妥当です。${\displaystyle \nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}}$と${\displaystyle n_{\text{e}}}$プラズマ電子密度。光波はエバネッセントであることに注意。${\displaystyle \nu <\nu _{\rm {pe}}}$そして、全く異なるアプローチが必要となるだろう。
• ソフトフォトン：${\displaystyle h\nu \ll m_{\text{e}}v^{2}/2}$つまり、光子のエネルギーは初期の電子の運動エネルギーよりもはるかに小さい。

これらの仮定に基づくと、このプロセスは2つの無次元パラメータによって特徴づけられる。${\displaystyle \eta _{Z}\equiv Z{\bar {e}}^{2}/\hbar v}$これは電子とイオンのクーロン相互作用の強さを測定するものであり、$\displaystyle \eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{\text{e}}v^{2}}$これは光子の「柔らかさ」を測定するもので、常に小さいと仮定される（係数2の選択は後々の便宜のためである）。極限では${\displaystyle \eta _{Z}\ll 1}$量子力学的ボルン近似によれば、次のようになる。 $${\displaystyle g_{\text{ff,Born}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\ln {1 \over \eta _{\nu }}}$$

反対の極限では${\displaystyle \eta _{Z}\gg 1}$完全な量子力学的結果は、純粋に古典的な結果に帰着する。 $${\displaystyle g_{\text{ff,class}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\left[\ln \left({1 \over \eta _{Z}\eta _{\nu }}\right)-\gamma \right]}$$ どこ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$はオイラー・マスケローニ定数である。${\displaystyle 1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{\text{e}}v^{3}/\pi Z{\bar {e}}^{2}\nu }$これはプランク定数を含まない純粋に古典的な表現である。${\displaystyle h}$。

ガウント因子を理解するための半古典的で経験的な方法は、次のように記述することです。${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \ln(b_{\text{max}}/b_{\text{min}})}$どこ${\displaystyle b_{\max }}$そして${\displaystyle b_{\min }}$は、光子電場が存在する場合の電子-イオン衝突における最大および最小の「衝突パラメータ」です。我々の仮定では、${\displaystyle b_{\rm {max}}=v/\nu }$: より大きな衝突パラメータの場合、光子場の正弦波振動は「位相混合」をもたらし、相互作用を大幅に減少させます。${\displaystyle b_{\rm {min}}}$量子力学的ド・ ブロイ波長のうち大きい方${\displaystyle \approx h/m_{\text{e}}v}$そして、最も接近する古典的な距離${\displaystyle \approx {\bar {e}}^{2}/m_{\text{e}}v^{2}}$電子とイオン間のクーロンポテンシャルエネルギーが、電子の初期運動エネルギーと同程度である場合。

上記の近似は、対数の引数が大きい限り一般的に適用され、引数が1未満になると破綻します。つまり、ガウント因子のこれらの形式は負になり、これは非物理的です。適切なボルン極限と古典極限を用いた完全な計算の概略的な近似は次のとおりです。 $${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \max \left[1,{{\sqrt {3}} \over \pi }\ln \left[{1 \over \eta _{\nu }\max(1,e^{\gamma }\eta _{Z})}\right]\right]}$$

このセクションでは、巨視的な媒質における制動放射と逆吸収過程（逆制動放射と呼ばれる）について説明します。制動放射だけでなく一般的な過程にも適用される放射伝達の式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}I_{\nu }+{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla I_{\nu }=j_{\nu }-k_{\nu }I_{\nu }}$$

${\displaystyle I_{\nu }(t,\mathbf {x} )}$ これは、両方の偏光について合計した、（面積×光子速度空間における立体角×光子 周波数）あたりの放射スペクトル強度、つまりパワーです。${\displaystyle j_{\nu }}$は放射率であり、${\displaystyle j(v,\nu )}$上記で定義したとおり、${\displaystyle k_{\nu }}$は吸光度です。${\displaystyle j_{\nu }}$そして${\displaystyle k_{\nu }}$これらは物質の性質であって放射線の性質ではなく、媒質中のすべての粒子を説明するものであり、前のセクションのように電子1個とイオン1個のペアだけを説明するものではない。${\displaystyle I_{\nu }}$空間と時間において均一である場合、伝達方程式の左辺はゼロとなり、したがって次のようになる。 $${\displaystyle I_{\nu }={j_{\nu } \over k_{\nu }}}$$

物質と放射が何らかの温度で熱平衡状態にある場合、${\displaystyle I_{\nu }}$黒体スペクトルでなければならない： $${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T_{\text{e}})={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}-1}}}$$ 以来${\displaystyle j_{\nu }}$そして${\displaystyle k_{\nu }}$独立している${\displaystyle I_{\nu }}$つまり、${\displaystyle j_{\nu }/k_{\nu }}$物質が何らかの温度で平衡状態にあるときはいつでも、放射の状態に関係なく、黒体スペクトルでなければならない。これにより、両方のことをすぐに知ることができる。${\displaystyle j_{\nu }}$そして${\displaystyle k_{\nu }}$平衡状態にある物質については、一度その一つが分かればよい。

注：このセクションでは現在、レイリー・ジーンズ限界に適用される式を示しています${\displaystyle \hbar \omega \ll k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$、また放射の量子化（プランク）処理は使用しない。したがって、通常の係数は${\displaystyle \exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{\text{e}})}$表示されません。${\displaystyle \hbar \omega /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$で${\displaystyle y}$以下は、衝突の量子力学的取り扱いによるものです。

プラズマ中では、自由電子がイオンと絶えず衝突し、制動放射が発生します。完全な解析には、二体クーロン衝突と集団的（誘電的）挙動の両方を考慮する必要があります。詳細な処理はBekefi ^{[ 9 ]によって行われ、簡略化された処理はIchimaru [ 10 ]}によって行われています。これらの計算はBekefiの誘電的処理に従い、衝突はカットオフ波数を介して近似的に含まれています。${\displaystyle k_{\text{max}}}$。

温度が一定で、熱電子がマックスウェル・ボルツマン分布に従って分布している均一なプラズマを考える。${\displaystyle T_{\text{e}}}$ベケフィによれば、パワースペクトル密度（体積あたりの角周波数間隔あたりのパワーを全体で積分したもの）${\displaystyle 4\pi }$制動放射の立体角srと偏光の合計は、次のように計算される。 $${\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{3/2}}\left[1-{\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega ^{2}}\right]^{1/2}{Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over (k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{1/2}}E_{1}(y),}$$ どこ${\displaystyle \omega _{p}\equiv (n_{\text{e}}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{\text{e}})^{1/2}}$は電子プラズマ周波数​​であり、${\displaystyle \omega }$は光子周波数です。${\displaystyle n_{\text{e}},n_{i}}$は電子とイオンの数密度であり、その他の記号は物理定数である。2番目の括弧内の係数はプラズマ中の光波の屈折率であり、 の場合、発光が大きく抑制されることを示している。${\displaystyle \omega <\omega _{\rm {p}}}$（これはプラズマ中の光波のカットオフ条件です。この場合、光波はエバネッセントです。）したがって、この式は、${\displaystyle \omega >\omega _{\rm {p}}}$この式は、多種イオンプラズマ中のイオン種について合計する必要がある。

機能${\displaystyle E_{1}}$は指数積分であり、無次元量である。${\displaystyle y}$は $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}{\omega ^{2}m_{\text{e}} \over k_{\text{max}}^{2}k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}$$

${\displaystyle k_{\text{max}}}$は、二体衝突によって生じる最大波数またはカットオフ波数であり、イオンの種類によって変化する可能性があります。おおよそ、${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$いつ${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}>Z_{i}^{2}E_{\text{h}}}$（あまり冷たくないプラズマで典型的）${\displaystyle E_{\text{h}}\approx 27.2}$eVはハートリーエネルギーであり、${\displaystyle \lambda _{\text{B}}=\hbar /(m_{\text{e}}k_{\text{B}}T_{\text{e}})^{1/2}}$は電子の熱ド・ブロイ波長です。それ以外の場合は、${\displaystyle k_{\text{max}}\propto 1/l_{\text{C}}}$どこ${\displaystyle l_{\text{C}}}$これは、最も接近する際の古典的なクーロン距離です。

通常の場合${\displaystyle k_{m}=1/\lambda _{B}}$、 $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}\right]^{2}.}$$

の式${\displaystyle dP_{\mathrm {Br} }/d\omega }$これは近似値であり、以下の場合に発生する増強された放出を無視している。${\displaystyle \omega }$わずかに上${\displaystyle \omega _{\text{p}}}$。

極限では${\displaystyle y\ll 1}$、${\displaystyle E_{1}}$近似すると次のようになる${\displaystyle E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)}$どこ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$はオイラー・マスケローニ定数です。先頭の対数項は頻繁に使用され、他の衝突プラズマ計算で現れるクーロン対数に似ています。${\displaystyle y>e^{-\gamma }}$対数項は負の値であり、この近似は明らかに不十分である。ベケフィは、詳細な二体衝突計算と一致する対数項の修正式を示している。

全周波数にわたって積分した総放射電力密度は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathrm {Br} }&=\int _{\omega _{\text{p}}}^{\infty }{\frac {dP_{\mathrm {Br} }}{d\omega }}\,d\omega ={\frac {16}{3}}{\frac {{\bar {e}}^{6}}{m_{\text{e}}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}k_{\text{max}}G(y_{\text{p}})\\[1ex]G(y_{p})&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{\text{p}}}^{\infty }\left[1-{\frac {y_{\text{p}}}{y}}\right]^{1/2}E_{1}(y){\frac {dy}{y^{{1}/{2}}}}\\[1ex]y_{\text{p}}&=y({\omega \!=\!\omega _{\text{p}}})\end{aligned}}}$$${\displaystyle G(y_{\text{p}}=0)=1}$そして減少する${\displaystyle y_{\text{p}}}$;それは常に肯定的です。${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$、 $${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }={16 \over 3}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{\frac {3}{2}}\hbar }Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}(k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{\frac {1}{2}}G(y_{\rm {p}})}$$

外観に注目してください${\displaystyle \hbar }$量子的な性質により${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$実用単位では、この式の一般的なバージョンは次のようになります。${\displaystyle G=1}$[ ^{11 ]​}$${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[\mathrm {W/m^{3}} ]={Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over \left[7.69\times 10^{18}\mathrm {m^{-3}} \right]^{2}}T_{\text{e}}[\mathrm {eV} ]^{\frac {1}{2}}.}$$

この式は上記の式の1.59倍であり、その差は二体衝突の詳細によるものです。このような曖昧さは、ガウント因子を導入することで表現されることがよくあります。${\displaystyle g_{\rm {B}}}$例えば^{[ 12 ]}では 、$${\displaystyle \varepsilon _{\text{ff}}=1.4\times 10^{-27}T^{\frac {1}{2}}n_{\text{e}}n_{i}Z^{2}g_{\text{B}},\,}$$ すべてCGS単位で表されます。

相対論的補正

非常に高温の場合、この式には相対論的補正があり、すなわち、オーダーの追加項があります。${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}/m_{\text{e}}c^{2}}$[ ^{13 ]​}

偏極制動放射（「原子制動放射」とも呼ばれる）は、入射荷電粒子のクーロン場によって標的原子が偏極されるときに、標的原子の電子から放出される放射である。^{[ 14 ] [ 15 ]偏極制動放射の全制動放射スペクトルへの寄与は、比較的質量の大きい入射粒子、 [ 16 ]}共鳴過程、^{[ 17 ]および自由原子[ 18 ]}を含む実験で観測されている。しかし、固体標的に高速電子が入射する実験において、偏極制動放射が有意な寄与を持つかどうかについては、まだ議論の余地がある。^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

「偏光」という用語は、放出される制動放射が偏光していることを意味するものではないことに注意すべきである。また、偏光制動放射の角度分布は、理論的には通常の制動放射とはかなり異なる。^{[ 22 ]}

完全な量子力学的記述は、ベテとハイトラーによって初めて行われた。^{[ 34 ]}彼らは原子核で散乱する電子を平面波と仮定し、その過程の完全な幾何学と放出される光子の周波数を関連付ける断面積を導出した。対生成に量子力学的対称性を示す四重微分断面積は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left|\mathbf {q} \right|^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle Z}$は原子番号です。${\displaystyle \alpha _{\text{fine}}\approx 1/137}$微細構造定数、${\displaystyle \hbar }$縮小プランク定数と${\displaystyle c}$光速。運動エネルギー${\displaystyle E_{{\text{kin}},i/f}}$電子の初期状態と最終状態におけるエネルギーは、その全エネルギーと関連している。${\displaystyle E_{i,f}}$あるいはその運動量${\displaystyle \mathbf {p} _{i,f}}$経由 $${\displaystyle E_{i,f}=E_{{\text{kin}},i/f}+m_{\text{e}}c^{2}={\sqrt {m_{\text{e}}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{i,f}^{2}c^{2}}},}$$ どこ${\displaystyle m_{\text{e}}}$は電子の質量である。エネルギー保存則によれば、 $${\displaystyle E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,}$$ どこ${\displaystyle \hbar \omega }$は光子のエネルギーである。放出された光子と散乱された電子の方向は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Angle between the planes }}(\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ){\text{ and }}(\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {k} }$これは光子の運動量です。

微分は次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}}$$

原子核と電子間の 仮想光子の絶対値は$${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}={}&-\left|\mathbf {p} _{i}\right|^{2}-\left|\mathbf {p} _{f}\right|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2\left|\mathbf {p} _{f}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&{}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\left(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi \right).\end{aligned}}}$$

有効範囲はボルン近似によって与えられる。 $${\displaystyle v\gg {\frac {Zc}{137}}}$$ 速度に関してこの関係が満たされなければならない${\displaystyle v}$電子の初期状態と最終状態における電子の。

実用的な応用（例えばモンテカルロコード）では、周波数と${\displaystyle \omega }$放出された光子と、この光子と入射電子との間の角度。KöhnとEbertはBetheとHeitlerによる四重微分断面積を積分した。${\displaystyle \Phi }$そして${\displaystyle \Theta _{f}}$そして得られた結果：^{[ 35 ]}$${\displaystyle {\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega \,d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}}$$ と $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}$$ そして $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-\mathbf {p} _{i}^{2}-\mathbf {p} _{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{f}\right|+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{i}.\end{aligned}}}$$

しかし、同じ積分のより簡単な表現は^{[ 36 ]}（式2BN）と^{[ 37 ]}（式4.1）に見出すことができる。

上記の二重微分断面積の解析によると、運動エネルギーが静止エネルギー（511  keV）よりも大きい電子は前方方向に光子を放出するのに対し、エネルギーの小さい電子は等方的に光子を放出することがわかる。

原子番号が小さい場合に重要と考えられるメカニズムの一つ${\displaystyle Z}$は、自由電子が原子または分子の殻電子に散乱される現象である。^{[ 38 ]}電子-電子制動放射は、${\displaystyle Z}$そして通常の電子原子核制動放射は次の関数です。${\displaystyle Z^{2}}$電子-電子制動放射は金属では無視できる。しかし、空気では、地上のガンマ線バーストの発生に重要な役割を果たす。^{[ 39 ]}