世界線

物体の世界線（ワールドライン）は、物体が 4 次元時空で描く経路であり、現代物理学、特に理論物理学の重要な概念です。

「世界線」の概念は、時間という次元を含めることで「軌道」や「軌跡」（宇宙における惑星の軌道や道路上の車の軌跡など）などの概念と区別され、通常は広い時空領域を包含します。そこでは、知覚的には直線である経路が時空内で曲線としてレンダリングされ、（相対的に）より絶対的な位置状態が示され、特殊相対性理論や重力相互作用の性質が明らかにされます。

世界線という概念は物理学者によって考案され、ヘルマン・ミンコフスキーによって開拓されました。この用語は現在、相対性理論（特殊相対性理論や一般相対性理論）の文脈で最もよく使用されています。

オブジェクトの世界線 (一般には空間内の点、たとえば粒子や観測者と近似される) は、オブジェクトの履歴に対応する時空イベントのシーケンスです。世界線は、時空内の特殊なタイプの曲線です。以下では、同等の定義について説明します。世界線は、時空内の時間のような曲線またはヌル曲線のいずれかです。世界線の各点は、その時点のオブジェクトの時間と空間位置でラベル付けできるイベントです。

たとえば、宇宙における地球の軌道はほぼ円で、空間における 3 次元 (閉じた) 曲線です。つまり、地球は太陽を基準として毎年同じ点に戻ります。ただし、そこに到達するのは別の (後の) 時間です。したがって、地球の世界線は時空内で螺旋状(4 次元空間の曲線) になり、同じ点に戻ることはありません。

時空は、イベントの集合であり、イベントを識別する連続的で滑らかな 座標系を伴う。各イベントは、時間座標と 3 つの空間座標の 4 つの数値でラベル付けできるため、時空は 4 次元空間である。時空の数学用語は、4 次元多様体(各点の近くでユークリッド空間に局所的に類似する位相空間) である。この概念は、より高次元の空間にも適用できる。4 次元を簡単に視覚化するために、2 つの空間座標は省略されることが多い。イベントは、ミンコフスキー図 内の点として表される。ミンコフスキー図は、通常、時間座標 (たとえば) を垂直に、空間座標 (たとえば ) を水平にプロットした平面である。FR ハーヴェイによって表現されたように、 ${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$

[時空] 内の曲線 M は、各点で接線が未来時間的である場合、粒子の世界線と呼ばれます。弧長パラメータは固有時間と呼ばれ、通常 τ で表されます。M の長さは粒子の固有時間と呼ばれます。世界線 M が線分である場合、粒子は自由落下していると言われます。^{[1] : 62–63}

世界線は、時空内の 1 点の経路を描きます。世界シートは、時空を通過する 1 次元の線 (弦など) によって描かれる類似の 2 次元面です。開いた弦 (端が緩んでいる) の世界シートはストリップで、閉じた弦 (ループ) の世界シートはチューブに似ています。

オブジェクトが単なる点として近似されずに拡張されたボリュームを持つようになると、オブジェクトは世界線ではなく世界チューブをトレースするようになります。

1 次元の直線または曲線は、1 つのパラメータの関数として座標で表すことができます。パラメータの各値は時空内の点に対応し、パラメータを変更すると線が描かれます。したがって、数学的には、曲線は 1 つのパラメータに依存する 4 つの座標関数(通常は時間座標を表します) によって定義されます。時空内の座標グリッドは、4 つの座標関数のうち 3 つを定数に設定した場合に得られる曲線の集合です。 ${\displaystyle x^{a}(\tau ),\;a=0,1,2,3}$${\displaystyle x^{0}}$${\displaystyle \tau }$

時空内の曲線に対して、非公式に「世界線」という用語が使用されることがあります。この用語は混乱を招きます。より正確には、世界線とは、粒子、観測者、または小さな物体の(時間) 履歴をトレースする時空内の曲線です。通常、物体または観測者の固有時間が、世界線に沿った 曲線パラメータとして使用されます。${\displaystyle \tau }$

水平線分 (一定の座標時間における線) で構成される曲線は、時空内の棒を表す可能性があり、正確な意味での世界線ではありません。パラメーターは、棒の長さをトレースするだけです。

一定の空間座標の線 (上記の規則を使用した垂直線) は、静止している粒子 (または静止した観測者) を表します。傾斜した線は、一定の座標速度 (時間座標の増加に伴う空間座標の一定の変化) を持つ粒子を表します。線が垂直から傾くほど、速度は大きくなります。

別々に始まり、その後交差する 2 つの世界線は、衝突または「遭遇」を意味します。時空内の同じイベントで始まり、その後それぞれ独自の経路をたどる 2 つの世界線は、たとえば、1 つの粒子が他の 2 つの粒子に崩壊したり、1 つの粒子が別の粒子によって放出されたりすることを表します。

粒子と観測者の世界線は、光子の世界線（光の経路）と相互接続され、粒子による光子の放出と、その後の観測者による観測（または別の粒子による吸収）を示す図を形成することがあります。

世界線を定義する4 つの座標関数は 、実変数の実数関数であり、通常の微積分によって簡単に微分できます。メトリックが存在しなくても (これは認識することが重要です)、パラメータ値での曲線上の点と、それより少し (パラメータ ) 離れた曲線上の点との間の差を想像することができます。 の極限では、この差を で割ったものがベクトル、つまり点 でのワールド ラインの接線ベクトルを定義します。 これは、点 で定義される 4 次元ベクトルです。 これは、オブジェクトの通常の 3 次元速度に関連付けられているため (ただし同じではありません)、 4 速度または成分と 呼ばれます。${\displaystyle x^{a}(\tau ),\;a=0,1,2,3}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \tau _{0}}$${\displaystyle \tau _{0}+\Delta \tau }$${\displaystyle \Delta \tau \to 0}$${\displaystyle \Delta \tau }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$$${\displaystyle {\vec {v}}=\left(v^{0},v^{1},v^{2},v^{3}\right)=\left({\frac {dx^{0}}{d\tau }}\;,{\frac {dx^{1}}{d\tau }}\;,{\frac {dx^{2}}{d\tau }}\;,{\frac {dx^{3}}{d\tau }}\right)}$$

導関数は点 でとられるので、 では となります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \tau =\tau _{0}}$

点 p を通るすべての曲線は、世界線だけでなく、接線ベクトルを持ちます。2 つのベクトルの和は、別の曲線への接線ベクトルであり、スカラーを掛けた場合も同様です。したがって、点 p のすべての接線ベクトルは、点 p での接線空間と呼ばれる線形空間を張ります。たとえば、地球の (曲面) のような 2 次元空間の場合、特定の点における接線空間は、曲面空間の平面近似になります。

これまで、世界線（および接ベクトルの概念）は、イベント間の間隔を定量化する手段なしに説明されてきました。基本的な数学は次のとおりです。特殊相対性理論は、可能な世界線にいくつかの制約を課します。特殊相対性理論では、時空の記述は、慣性座標系と呼ばれる加速しない（したがって回転しない）特殊な座標系に限定されます。このような座標系では、光速は定数です。時空の構造は、イベントの各ペアに実数を与える双線型形式ηによって決定されます。双線型形式は時空計量と呼ばれることもありますが、数学の計量空間の計量とは異なり、別個のイベントがゼロ値になることがあるため、双線型形式は時空上の数学的な計量ではありません。

自由落下する粒子/物体の世界線は測地線と呼ばれます。特殊相対性理論では、これらはミンコフスキー空間内の直線です。

多くの場合、時間単位は、光の速度が固定角度（通常は 45 度）の線で表され、垂直（時間）軸と円錐を形成するように選択されます。一般に、時空で有用な曲線には 3 つのタイプがあります（他のタイプは、部分的に 1 つのタイプ、部分的に別のタイプになります）。

• 光のような曲線で、各点で光と同じ速度を持ちます。それらは時空に円錐を形成し、それを 2 つの部分に分割します。円錐は時空では 3 次元であり、2 つの次元が抑制された図では線として、1 つの空間次元が抑制された図では円錐として表示されます。

• 光速よりも遅い時間のような曲線。これらの曲線は、光のような曲線によって定義される円錐内に収まる必要があります。上記の定義では、世界線は時空内の時間のような曲線です。
• 光円錐の外側にある空間的曲線。このような曲線は、たとえば、物理的な物体の長さを表すことができます。円柱の円周や棒の長さは、空間的曲線です。

世界線上の特定のイベントでは、時空（ミンコフスキー空間）は 3 つの部分に分割されます。

• 特定のイベントの未来は、未来光円錐内にある時間のような曲線を通じて到達できるすべてのイベントによって形成されます。
• 特定のイベントの過去は、そのイベントに影響を与える可能性のあるすべてのイベント（つまり、過去の光円錐内の世界線によって特定のイベントに接続できるイベント）によって形成されます。
  • 特定のイベントにおける光円錐は、光線を通じてそのイベントと接続できるすべてのイベントによって形成されます。夜に空を観察すると、基本的に時空全体の中で過去の光円錐だけが見えます。
• どこか別の場所とは、 2 つの光円錐の間の領域です。観測者のどこか別の場所にある点には、観測者はアクセスできません。観測者に信号を送ることができるのは、過去の点だけです。通常の実験室での経験では、一般的な単位と測定方法を使用すると、現在を見ているように見えるかもしれませんが、実際には、光が伝播するまでには常に遅延時間があります。たとえば、私たちが見ている太陽は、約8 分前の太陽であり、「今」の太陽ではありません。ガリレオ/ニュートン理論の現在とは異なり、どこか別の場所は厚く、3 次元の体積ではなく、4 次元の時空領域です。
  • 「他の場所」には同時超平面が含まれます。これは、特定の観測者に対して、その世界線に双曲直交する空間によって定義されます。これは実際には 3 次元ですが、わかりやすい図にするために 1 つの次元を捨てなければならなかったため、図では 2 次元平面になります。特定の時空イベントでは、光円錐はすべての観測者に対して同じですが、異なる速度を持ちながら時空内のイベント (ポイント) で一致する異なる観測者には、相対速度によって決まる角度で互いに交差する世界線があり、したがって、異なる同時超平面があります。
  • 現在とは、多くの場合、検討されている単一の時空イベントを意味します。

世界線は時間的な速度 4 次元ベクトルを決定するので、ミンコフスキー形式は次によって線形関数を決定します。 Nをこの線形関数のヌル空間とします。すると、 N はvに関する同時超平面と呼ばれます。同時性の相対性は、 N がvに依存するという主張です。実際、N はη に関するvの直交補集合です。 2 つの世界線uとw がによって関連付けられている場合、それらは同じ同時超平面を共有します。この超平面は数学的に存在しますが、相対性における物理的関係には光による情報の移動が伴います。たとえば、クーロンの法則によって記述される従来の静電力は同時超平面で表すことができますが、電荷と力の相対論的関係には遅延ポテンシャルが伴います。 ${\displaystyle w(\tau )\in R^{4}}$${\displaystyle v={\frac {dw}{d\tau }}}$${\displaystyle \eta (v,x)}$${\displaystyle R^{4}\rightarrow R}$${\displaystyle x\mapsto \eta (v,x).}$${\displaystyle {\frac {du}{d\tau }}={\frac {dw}{d\tau }},}$

一般相対性理論における世界線の使用は、基本的に特殊相対性理論と同じであるが、時空が曲がる可能性があるという違いがある。計量が存在し、そのダイナミクスはアインシュタイン場の方程式によって決定され、時空における質量エネルギー分布に依存する。この場合も、計量は光のような(ヌル) 曲線、空間のような 曲線、および時間のような曲線を定義する。また、一般相対性理論では、世界線には時間のような曲線と時空におけるヌル曲線が含まれ、時間のような曲線は光円錐内に入る。しかし、光円錐は必ずしも時間軸に対して 45 度傾斜しているわけではない。しかし、これは選択された座標系の産物であり、一般相対性理論の座標の自由度 (微分同相不変性) を反映している。時間のような曲線はどれも、その曲線に対応する「時間軸」を持つ共動観測者を許容し、特権を持つ観測者はいないため、光円錐が時間軸に対して 45 度傾斜している局所座標系を常に見つけることができる。例えば、エディントン-フィンケルシュタイン座標も参照してください。

自由落下する粒子または物体（太陽の周りの惑星や宇宙空間の宇宙飛行士など）の世界線は測地線と呼ばれます。

現代の素粒子物理学のすべてを記述する枠組みである量子場理論は、通常、量子化された場の理論として記述されます。しかし、広く認識されていないものの、多くの量子場理論は世界線で同等に記述できることはファインマン^[2]以来知られていました。これは、後に標準的になった定式化に関する彼の研究^{[3]の多くに先行していました。}量子場理論の世界線定式化は、ゲージ理論^{[4] [5] [6]}のさまざまな計算や、電磁場の非線形効果の記述に特に有益であることが証明されています。 ^{[7] [8]}

1884年にCHヒントンは「第四次元とは何か？」というエッセイを書き、それを科学小説として出版した。彼は次のように書いている。

それでは、なぜ四次元の存在は私たち自身であり、私たちの連続的な状態は、私たちの意識が制限されている三次元空間を通過することではないのでしょうか。^{[9] ：18–19}

人間の世界線に関する一般的な説明は、相対性理論の初期の頃に トロント大学のJC フィールズによってなされました。トロントの弁護士ノーマン ロバートソンは次のように説明しています。

私は、王立カナダ研究所の土曜日の夕方の講義で [フィールズ] が講義していたことを覚えています。それは「数学的ファンタジー」と宣伝されていましたが、まさにその通りでした。その演習の内容は次のとおりでした。彼は、誕生から始まって、すべての人間は長い糸または糸が付いたある種の霊的オーラを持ち、それが生涯を通じて背後を巡っていると仮定しました。そして、彼は想像の中で、すべての個人が他の個人との関係で巻き込まれる複雑な絡み合いを説明し、若い頃の単純な絡み合いを、後の人生で生じる複雑な結び目と比較しました。^[10]

カート・ヴォネガットは、小説『スローターハウス5』の中で、星と人間の世界線について次のように描写しています。

「ビリー・ピルグリムは、トラルファマドールの生き物にとって、宇宙はたくさんの明るい小さな点のようには見えないと言います。生き物たちは、それぞれの星がどこにあったか、そしてどこへ向かっているかを見ることができるので、天空は希薄で光り輝くスパゲッティで満たされています。トラルファマドール人は、人間を二本足の生き物とは見ていません。彼らは人間を巨大な千足動物と見ています。「一方の端に赤ちゃんの足があり、もう一方の端に老人の足がある」とビリー・ピルグリムは言います。」

タイムトラベルを可能にするなど、この概念を積極的に使用するほぼすべてのSFストーリーでは、この概念を線形構造に当てはめるために1次元のタイムラインに単純化しすぎており、これは現実のモデルに適合しません。このようなタイムマシンは、その内容物がある時間を出発して別の時間に到着するが、空間内の文字通りの地理的な同じ地点に到着する、瞬間的なものとして描写されることがよくあります。これは、参照フレームに注意せずに実行されるか、参照フレームがローカルであるという暗黙の仮定で実行されることがよくあります。そのため、これには、正確なテレポーテーション（加速されている自転する惑星は慣性フレームではないため）が必要になるか、タイムマシンが同じ場所に留まり、内容物が「凍結」される必要があります。

作家オリバー・フランクリンは2008年に「World Lines」と題したSF作品を出版し、その中でこの仮説を一般の人向けに簡略化した説明を行った。^[11]

ロバート・A・ハインラインは短編小説『ライフライン』の中で、ある人物の世界線について次のように述べている。^[12]

彼は記者の一人に歩み寄った。「あなたを例に考えてみましょう。あなたの名前はロジャースですね? わかりました、ロジャース、あなたは 4 方向に持続する時空イベントです。身長は 6 フィート弱、幅は 20 インチ、厚さはおそらく 10 インチです。時間が経つと、この時空イベントはあなたの後ろに広がり、おそらく 1916 年まで達します。ここでは、時間軸に直角に現在と同じ厚さの断面が見られます。その端には、酸っぱいミルクの匂いを漂わせ、よだれかけに朝食を垂らしている赤ん坊がいます。反対側には、おそらく 1980 年代のどこかにいる老人が横たわっています。

「ロジャースと呼んでいるこの時空イベントを、長いピンク色の虫として想像してください。何年もの間、一方の端は母親の子宮にあり、もう一方の端は墓にあります...」

ハインラインの『メトセラの子供たち』ではこの用語が使われており、ジェイムズ・ブリッシュの『The Quincunx of Time』（『Beep』から拡張）でもこの用語が使われている。

5pb.が制作したビジュアルノベル「シュタインズ・ゲート」は、世界線の変化に基づいた物語を語ります。シュタインズ・ゲートは「科学アドベンチャー」シリーズの一部です。世界線やディラック海などの他の物理的概念もシリーズ全体で使用されています。

ニール・スティーブンソンの小説『アナセム』には、プラトン的実在論と唯名論の間の哲学的論争の真っ只中、夕食を共にしながら世界線について長々と議論する場面が含まれている。

Absolute Choice は、サブプロットと設定装置として、異なる世界線を描写します。

チャールズ・ストロス著「シンギュラリティ・スカイ」では、戦略的作戦として（ほぼ）閉じた時間のような経路を完成しようとする宇宙艦隊が背景と主要なプロット装置を形成している。

• 特定の種類の世界線
  • 測地線
  • 閉じた時間的曲線
  • 因果構造、さまざまなタイプの世界線を表す曲線
  • 等方性線
• ファインマン図
• 時間地理

• ミンコフスキー、ヘルマン (1909)、「Raum und Zeit」 、Physikalische Zeitschrift、10 : 75–88

• ウィキソースのさまざまな英語翻訳: 空間と時間

• ルドヴィク・シルバーシュタイン(1914)相対性理論、p. 130、マクミラン社

• h2g2のワールドラインの記事。

• 世界線と特殊相対性理論に関する詳細なテキスト