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物理学において、双子のパラドックスは、双子に関する特殊相対性理論の思考実験であり、一方の双子が相対論的速度で宇宙旅行をし、地球に戻ってくると、地球に残った双子の方が年を取っていることに気づくというものです。この結果は不可解に思えます。なぜなら、それぞれの双子はもう一方の双子が動いていると認識しているため、時間の遅れと相対性原理の誤った[ 2 ] [ 3 ]、あるいは素朴な[ 4 ] [ 5 ]適用の結果として、それぞれが逆説的に、もう一方の双子の方が年を取っていないことに気づくはずだからです。しかし、このシナリオは、特殊相対性理論の標準的な枠組みの中で解決できます。旅行中の双子の軌道には、往路と復路で異なる2つの慣性系が関わっています。 [ 6 ]このパラドックスを理解するもう1つの方法は、旅行中の双子が加速しているため、非慣性観測者になっていると考えることです。どちらの見方でも、双子の時空経路の間には対称性はありません。したがって、双子のパラドックスは、論理的な矛盾という意味でのパラドックスではない。
1911年のポール・ランジュバン以来、このパラドックスについては様々な説明がなされてきた。これらの説明は、「異なる座標系における同時性の異なる基準の影響に焦点を当てたものと、（移動する双子が経験する）加速を主な原因とするものとに大別できる」[ 7 ] 。マックス・フォン・ラウエは1913年に、移動する双子は行きと帰りで2つの異なる慣性系にいなければならないため、この座標系の切り替えが老化の差の原因であると主張した[ 8 ] 。アルバート・アインシュタインとマックス・ボルンが提唱した説明では、加速の直接的な影響として老化を説明するために重力による時間の遅れが用いられた。 [ 9 ]しかし、一般相対性理論[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]や加速さえも、この効果を説明するのに必要ではないことが証明されている。なぜなら、2 人の宇宙飛行士が折り返し地点ですれ違い、その地点で時計を同期させた場合でも、この効果は依然として適用されるからである。折り返し地点の状況は、出発点から遠ざかる観測者と出発点に向かって進む観測者のペアがすれ違い、最初の観測者の時計の読みが 2 番目の観測者の時計の読みに転送され、両者とも一定の速度を維持し、旅の終わりに両者の旅の時間が加算される状況と考えることができる。[ 15 ]
アルベルト・アインシュタインは、1905年の特殊相対性理論に関する有名な論文で、点Aと点Bに置かれた2つの静止した同期時計について、Aの時計を線ABに沿って移動させてBで停止させると、Aから移動した時計はBの時計より遅れることを推論した。彼は、この結果はAからBへの経路が多角形または円形の場合にも適用されると述べた。[ A 1 ]アインシュタインはこれを特殊相対性理論の自然な帰結であり、一部の人が示唆したようなパラドックスではないと考え、1911年にこの結果を次のように再述し、詳細に説明した（物理学者ロバート・レスニックのコメントはアインシュタインの後に続く）：[ A 2 ] [ 16 ]
アインシュタイン: 生物を箱に入れたとします。任意の長い飛行の後、その生物をほとんど変化しない状態で元の場所に戻すことができます。一方、元の場所に留まっていた対応する生物は、すでにずっと前に新しい世代に取って代わられています。移動する生物にとって、長い旅の時間は、ほぼ光速で移動すれば、ほんの一瞬に過ぎません。 レスニック: 静止している生物が人間で、移動しているのがその双子だとすると、旅人は家に帰ると、双子の兄弟が自分に比べてはるかに年老いていることに気づきます。このパラドックスは、相対性理論では、どちらの双子も相手を旅人と見なすことができ、その場合、それぞれが相手を若く見なすはずであるという主張に集約されます。これは論理的な矛盾です。この主張は、双子の状況が対称的で交換可能であると仮定していますが、これは正しくありません。さらに、実施可能な実験は行われており、アインシュタインの予測を裏付けています。
1911年、ポール・ランジュバンは、ラジウムなどの物質を用いた往復実験で、相対的な老化現象を導き出した。彼は、加速しながら一緒に運動する観測者の固有時間を積分することで、その観測者が経験する時間は等速運動する観測者よりも短いことを示し、したがって運動するラジウムはより遅い速度で崩壊することを証明した。さらに彼は、ローレンツ因子γ = 100（光速の99.995%）で旅をする旅行者の話を紹介し、「印象的な例」を示した。旅行者は自分の時間で1年間、発射体の中に留まり、その後方向を反転する。帰還すると、旅行者は2年歳をとったが、地球では200年が経過していることに気づく。旅の間、旅行者と地球は一定の速度で互いに信号を送り合っており、ランジュバンの話はドップラーシフト版の双子のパラドックスに位置づけられる。信号速度に対する相対論的効果は、異なる老化速度を説明するために用いられる。旅行者だけが加速したために生じた非対称性は、なぜ違いが生じるのかを説明するために用いられます。[ 17 ] [ 18 ]「速度の変化、または加速度には絶対的な意味がある」からです。[ A3 ]ランジュバンの加速の議論はその後、アーノルド・ゾンマーフェルト（1913年） [ A4 ]、アインシュタイン（1918年）[ A5 ]、マックス・ボルン（1921年）[ A6 ]などの他の人々によっても、時計の間に非対称性があることを具体的に指摘するために用いられました。
アインシュタインもランジュバンも、このような結果を問題視しなかった。アインシュタイン（1905年）[ A 1 ]はそれを「特異」と呼んだだけであり、ランジュバンはそれを絶対加速の結果として提示した。[ A 7 ]彼らは、双子の話で示された時間差から自己矛盾は構築できないと主張した。言い換えれば、彼らの誰も、双子の話が相対論的物理学の自己無矛盾性に対する挑戦を構成するとは考えていなかった。マックス・フォン・ラウエ（1911年）は、明らかにこの実験に関連して「パラドックス」という表現を最初に用いた人物であり、次のように書いている。[ A 8 ]
相対性理論の時間変換から生じる一見矛盾した帰結の中で、この問題にまだ馴染みのない人の常識が最も受け入れがたいのは、時計の時刻表示がその運動状態に依存するという帰結だろう。アインシュタインは既にその基礎論文の中で、思考実験によってこの矛盾を極限まで推し進めており、ランジュバンが最近、非常に分かりやすく解説した講演の中で、この思考実験が紹介されている。
ラウエ（1911、1913）はランジュバンの説明をさらに詳しく説明した。[ A 8 ] [ A 9 ]ヘルマン・ミンコフスキーの時空形式論 を用いて、慣性運動する物体の世界線は2つのイベント間の固有経過時間を最大化することを示した。これはヘルマン・ワイル（1918）[ A 10 ]やヴォルフガング・パウリ（1921） [ A 11 ]の教科書でも指摘されている。§加速度 の役割に関して、ラウエは1913年に、非対称な老化は、宇宙飛行士の双子が2つの異なるフレームで移動するのに対し、地球の双子は1つのフレームにとどまり、加速時間は慣性運動の時間に比べて任意に小さくすることができるという事実によって完全に説明できると書いた。[ A 12 ]ラウエより以前にも、エミール・ヴィーヒェルト（1911）は、両方の時計が同じ速度変化や加速を経験している場合でも、再会時に時間差が生じる可能性があることを指摘しており、[ A 13 ] 1921年にヴィーヒェルトは、移動中の双子が反対方向に移動する3番目の双子に自分の時計の読み取り値を転送する「リレー」または「3兄弟」方式を導入することで、加速を一切排除した。[ A 14 ]
ランジュバンのドップラー解析に加えて、旅行者の視点から、折り返し中に時間の遅れの対称性がどのように破れるかを具体的に示すために、いくつかの方法が考案されました。ヘンドリック・アントーン・ローレンツ(1913) は、双方向信号 (レーダー) の観点から、3 つの期間を使用して旅行者の視点を説明しました。最初と最後の期間では、家にいる時計は一定の速度で動くため、時間が遅れますが、中間の期間では、他の期間を補償し、旅行者自身の視点から見ても、再会時に旅行者の時計が家にいる時計に対して遅れる理由を説明するために、明らかに速く刻みます。[ A 15 ] [ 20 ]あるいは、ハンス・ティリング(1921) は、ローレンツ変換を使用して、同時性の相対性が折り返し中にすべての旅行者の時計の同期解除につながることを示しました。これにより、定速運動中の時間の遅れを過剰に補償する、自宅の時計の見かけ上の前方ジャンプが生じ、これらすべてがミンコフスキー図を使用してティリングによって視覚化されました。[ A 16 ]同じ結果は、すでにアインシュタイン (1918) によって得られており、彼は等価原理を使用して、旅行者の静止系でターンアラウンド時に均質な重力場が現れ、重力による時間の遅れを伴うことを示しました。ターンアラウンド中は「自由落下」する自宅の時計はより高いポテンシャルの位置にあるため、定速運動中の遅延を過剰に補償するより速い速度で進みます。[ A 5 ]アインシュタインの説明は、1921 年にヴォルフガング・パウリとマックス・ボルンの教科書に採用されました。[ A 11 ] [ A 6 ]
最終的に、ヘルマン・ワイル（1918）は時計と旅行者を明確に「双子」に置き換え、次のように書いた。[ A 10 ]
双子の兄弟が世界のある地点Aで別れを告げたとしよう。一方は家に留まり（つまり、許容される基準空間内で永久に静止している）、もう一方は旅に出る。旅の途中、彼は（「家」に対して）光速に近い速度で移動する。数年後、旅に出た兄弟が家に帰ってきたとき、彼は家に留まった兄弟よりも明らかに若く見えるだろう。
地球から最も近い恒星系まで、距離d = 4光年、速度v = 0.8c （つまり光速の80%）で移動する宇宙船を考えてみましょう。
計算を簡単にするため、船は出発時に無視できるほどの時間で最高速度に達すると仮定します（実際には、1gで 加速して最高速度に達するまでに約9か月かかります）。同様に、往路の終わりに、復路を開始するために必要な方向転換は無視できるほどの時間で起こると仮定します。これは、実験開始時に船がすでに動いており、復路イベントがディラックのデルタ分布加速度でモデル化されていると仮定することによってもモデル化できます。[ 21 ]
当事者は、状況を次のように観察する。[ 22 ] [ 23 ]
地球上の管制センターは、この旅について次のように推論する。往復には地球時間でt = 2 d / v = 10 年かかる（つまり、地球に残る人は全員、宇宙船が帰還する頃には 10 歳年を取っている）。宇宙船の時計で計測される時間と、旅の途中で旅行者が歳をとる量は、係数によって減少する。これはローレンツ因子（時間の遅れ）の逆数です。この場合、 α = 0.6となり、旅行者は帰還時に0.6 × 10 = 6 歳しか歳をとっていません。
船の乗組員は、自分たちの視点から旅の詳細を計算します。彼らは、遠方の恒星系と地球が、旅の間、船に対して速度vで移動していることを知っています。彼らの静止系では、地球と恒星系の間の距離は、往路と復路の両方でαd = 0.6 × 4 = 2.4光年（長さの収縮）です。旅の各半分はαd / v = 2.4 / 0.8 = 3年かかり、往復はその2倍（6年）かかります。彼らの計算によると、彼らは6 歳年をとって地球に帰還することになります。旅行者の老化に関する最終的な計算は、地球にいる人々の計算と完全に一致していますが、彼らは地球にいる人々とは全く異なる形で旅を経験します。
時計の読みを予測するのにどんな方法を用いようとも、誰もがその結果に同意するだろう。もし双子が宇宙船の出発日に生まれ、一方が旅に出てもう一方が地球に残る場合、旅に出た双子が6 歳、地球に残った双子が10 歳の時に再会するだろう。
双子の状況の逆説的な側面は、どの瞬間においても、移動中の双子の時計が地球にいる双子の慣性系では遅れて進んでいるという事実から生じますが、相対性原理に基づけば、地球にいる双子の時計が移動中の双子の慣性系では遅れて進んでいると等しく主張することもできます。[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]提案されている解決策の 1 つは、地球にいる双子は旅の間ずっと同じ慣性系で静止しているのに対し、移動中の双子はそうではないという事実に基づいています。思考実験の最も単純なバージョンでは、移動中の双子は旅の中間点で、一方向に移動する慣性系 (地球から遠ざかる方向) で静止している状態から、反対方向に移動する慣性系 (地球に向かう方向) で静止している状態に切り替わります。このアプローチでは、どの観測者がフレームを切り替え、どの観測者が切り替えないかを決定することが重要です。双子はどちらも自分の座標系では静止していると正当に主張できるが、宇宙船のエンジンが作動すると加速するのは移動中の双子だけである。この加速は加速度計で測定可能であり、その結果、彼らの静止座標系は一時的に非慣性状態となる。これは双子の視点間の重要な非対称性を示している。つまり、どちらの視点からも老化の差を予測することはできるものの、正確な結果を得るには異なる方法を用いる必要があるということだ。
いくつかの解決策では、方向転換時の移動する双子の加速が重要な役割を果たすとしているが、[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]他の解決策では、1 人の旅行者の「方向転換」に対応する地点で、互いにすれ違い、時計を同期させる 2 人の別々の旅行者 (一方は外向き、もう一方は内向き) を想像した場合にも、同様の効果が生じると指摘している。この「リレー」または「3 兄弟」バージョン (左の図を参照) では、移動する時計の物理的な加速は直接的な役割を果たさない。[ A 1 ] [ 28 ] [ 21 ]「問題は世界線の長さであって、曲がり具合ではない」。[ 29 ]ここで言及されている長さは、ローレンツ不変長さ、つまり軌跡の「固有時間間隔」であり、これはその軌跡をたどる時計によって測定された経過時間に対応します（以下の「双子の時空経路の違いによる経過時間の差」のセクション を参照）。ミンコフスキー時空では、移動する双子は、地球に留まる双子とは異なる加速度の履歴を感じなければなりません。これは、同じ大きさの加速度が異なる時間間隔で発生することを意味するだけです（右の図を参照）。[ 29 ]しかし、「この加速度の役割さえも、双子が会合の間、時空測地線に沿って自由に落下できる曲がった時空における双子のパラドックスの定式化では排除できます」。[ 7 ]
このアニメーションは、双子のパラドックスにおける双子間の時間差を示しています。黒線は静止している（または等速運動している）双子の世界線です。赤線は加速減速している双子の世界線です。瞬間フレームは加速減速している双子の世界線に沿って移動しています。数字は両方の双子の時計を表しています。時計は同時に動き始めます。双子が再び出会うと、赤時計（不等速運動）は黒時計（等速運動）に比べて遅れています。垂直方向は時間、水平方向は距離を表し、破線は観測者の時空です。小さな点は時空における特定の出来事を表しています。
双子の時間差がどのように展開していくかを瞬間ごとに理解するには、特殊相対性理論には絶対的な現在という概念がないことを理解する必要があります。異なる慣性系では、その系で同時に起こる事象の集合が異なります。この同時性の相対性は、ある慣性系から別の慣性系に切り替えるには、時空のどの断面を「現在」とみなすかを調整する必要があることを意味します。右側の時空図は、地球を拠点とする双子の基準系で描かれており、その双子の世界線は垂直軸と一致しています（空間内での位置は一定で、時間のみ移動します）。旅の最初の行程では、2番目の双子は右に移動し（黒い傾斜線）、2番目の行程では左に戻ります。青い線は、旅の最初の行程における移動中の双子の同時性の平面を示し、赤い線は、2番目の行程における同時性の平面を示します。折り返し直前に、移動中の双子は、原点から上の青い線までの垂直軸に沿った間隔を測定することによって、地球を拠点とする双子の年齢を計算します。方向転換直後、再計算時に、移動する双子は原点から下の赤い線までの間隔を測定します。ある意味では、Uターン中に同時性の平面は青から赤にジャンプし、地球を拠点とする双子の世界線の大きなセグメントを非常に速く掃引します。出発慣性系から到着慣性系に移行すると、地球を拠点とする双子の年齢にジャンプ不連続が生じます[ 24 ] [ 25 ] [ 28 ] [ 30 ] [ 31 ] （上記の例では6. 4年）。
前述のように、「往復」の双子のパラドックスの冒険では、「出発」した宇宙飛行士から「帰還」した宇宙飛行士への時計の読み取りの転送が組み込まれ、それによって加速の影響が排除される可能性があります。また、時計の物理的な加速は、特殊相対性理論の運動学的効果には寄与しません。むしろ、特殊相対性理論では、再会した2つの時計間の時間差は、アインシュタインの1905年の相対性理論の最初の論文[ A 1 ]や、その後のすべてのローレンツ変換の運動学的導出で議論されているように、純粋に一様な慣性運動によって生成されます。
時空図はアインシュタインの時計同期（時計格子法）を取り入れているため、異なる慣性系への移行によって規定される新しい時計同期に従って「同時性の新たな意味」を受け継ぐ「突然帰還した宇宙飛行士」による地球時計の読み取りには必然的に飛躍が生じるだろう。[ 30 ]
アインシュタインの時計同期（時計の格子）を採用する代わりに、宇宙飛行士（出発側と帰還側）と地球にいる側が、無線信号（光速で伝わる）を送信することによって互いの時計の状態を定期的に更新する場合、すべての関係者は、「折り返し」地点から始まる時間計測の非対称性の漸進的な増加に気づくでしょう。「折り返し」前は、各関係者は相手の時計が自分の時計とは異なる時間を記録していると考えていますが、その差は両者間で対称的です。「折り返し」後は、その差は対称ではなくなり、両者が再会するまで非対称性が漸進的に増加します。最終的に再会すると、この非対称性は、再会した2つの時計に表示される実際の差で確認できます。[ 32 ]
化学反応、生物反応、計測装置の機能、目と脳が関わる人間の知覚、力の伝達など、すべてのプロセスは光速によって制約されます。あらゆるレベルで時計の機能が働いており、光速と原子レベルでさえ固有の遅延に依存しています。したがって、生物学的老化は時計の時刻保持と何ら変わりません。[ 33 ]これは、生物学的老化が時計と同じように遅くなることを意味します。
空間の異なる場所での出来事の同時性のフレーム依存性を考慮すると、現象論的なアプローチを好む治療法もあり、双子がそれぞれ発信者の時計に従って等間隔で一連の規則的な無線パルスを発信した場合に何を見るかを記述している。[ 28 ]これは、双子がお互いに自分のビデオフィードを送信した場合、画面に何が見えるか、あるいは、双子が常に自分の年齢を示す時計を持ち歩いている場合、遠く離れた双子の時計の画像にそれぞれ何時が見えるかを問うことと同等である。
出発直後、旅をしている双子は、家にいる双子を時間差なく見ることができる。到着時、船のスクリーンに映る映像は、 打ち上げから1年後の地球からの電波が 4年後に別の恒星に到達し 、そこで船と出会うため、家にいる双子が打ち上げから1年後の姿で映る。この旅程の間、旅をしている双子は自分の時計が3 年進み、スクリーンの時計が1 年進むのを見るので、通常の1/3の速度、つまり船の1分あたりわずか20画像秒の 速度で進んでいるように見える。これは、運動による時間の遅れ（係数α = 0.6、地球の5年は船の3 年）と、光の時間遅延の増加（0年から4年まで増加）の影響を組み合わせたものである 。
もちろん、観測される送信周波数も送信機の周波数の 1/3 になります(周波数の低下、「赤方偏移」)。これは相対論的ドップラー効果と呼ばれます。静止周波数f restの光源から観測される時計のティック (または波面) の周波数は、
光源が真遠ざかる方向に移動している場合。これは、v / c = 0.8の場合、f obs = 1 ⁄ 3 f restとなります。
家にいる双子は、送信機の周波数の1/3 の周波数で 、船から 9 年間、遅延信号を受け取ります。この 9年間の間、画面に映る旅をしている双子の時計は 3年進むように見えるため、両方の双子は、自分の兄弟の老化速度が自分の 1/3 の速度でしか進んでいないのを目にします。言い換えれば、お互いの時計が自分の時計の速度の 1/3 で進んでいるように見えるということです。伝送の光の遅延が毎秒 0.8 秒の割合で増加しているという事実を計算から除外すると、もう一方の双子の老化速度が 60% と遅くなっていることが分かります。
そして船は故郷へ向けて引き返します。船のスクリーンには、残された双子船の時計が「打ち上げから1年」と表示され、 帰路の3年間で「 打ち上げから10年」まで進みます。そのため、スクリーン上の時計は 通常よりも3倍速く進んでいるように見えます。
光源が観測者に向かって移動している場合、観測される周波数は高くなり（「青方偏移」し）、次式で表される。
これは、v / c = 0.8の場合のf obs = 3 f restです。
地球上のスクリーンには、 打ち上げから9年後に帰還の旅が始まったことが示されており、スクリーン上の移動時計は 船内で3年が経過したことを示しています。1年後、船は地球に戻り、時計は6 年を示しています。つまり、帰還の旅の間、双子はそれぞれ、兄弟の時計が 自分の時計の3倍の速さで進んでいるのを目にします。光による時間の遅れが 毎秒0.8秒ずつ減少しているという事実を考慮に入れると、それぞれの双子は、もう一方の双子が自分の老化速度の60%で老化していると計算します。
右側のx – t (時空) 図は、地球と宇宙船の間 (1 番目の図) および宇宙船と地球の間 (2 番目の図) を伝わる光信号の経路を示しています。これらの信号は、それぞれの双子の画像と年齢時計をもう一方の双子に伝えます。垂直の黒線は地球の時空における経路であり、三角形の他の 2 辺は宇宙船の時空における経路を示しています (上のミンコフスキー図と同様)。送信者から見ると、これらの信号は自身の時計に従って等間隔 (例えば 1 時間ごと) で送信されますが、これらの信号を受信する双子の時計から見ると、等間隔で受信されているわけではありません。
船が巡航速度 0.8 cに達すると、各双子は、自分の時間の3 秒ごとに、もう一方の双子の受信画像で 1 秒が経過するのを目にする。つまり、それぞれが、相手の時計の画像が遅れて見える。ε 係数 0.6 だけ遅れるのではなく、光の時間遅延が毎秒 0.8 秒増加するため、さらに遅れる。これは図では赤い光路で示されている。ある時点で、各双子が受信する画像が変化し、それぞれが自分の時間の 1 秒ごとに画像で 3 秒が経過するのを目にするようになる。つまり、受信信号の周波数がドップラーシフトによって増加した。これらの高周波画像は図では青い光路で示されている。
地球と宇宙船の間の非対称性は、この図において、宇宙船がより多くの青方偏移（老化が速い）画像を受信するという事実によって表されます。言い換えれば、宇宙船は、旅の中間地点（出発から3 年後の折り返し地点）で、画像が赤方偏移（画像の老化が遅い）から青方偏移（画像の老化が速い）に変化するのを目にします。地球は、9年後（宇宙船が不在となる期間のほぼ終わり）に、宇宙船の画像が赤方偏移から青方偏移に変化するのを目にします 。次のセクションでは、画像における別の非対称性が明らかになります。地球の双子は、赤方偏移画像と青方偏移画像で宇宙船の双子が同じだけ老化するのを目にしますが、宇宙船の双子は、赤方偏移画像と青方偏移画像で地球の双子が異なるだけ老化するのを目にします。
船に乗っている双子は、3年間低周波（赤色）の画像を見ます。その間、旅をしている双子は、画像の中の地球の双子が3/3 = 1年年を取ったように見えます。次に、旅人は3年間の帰路で高周波（青色）の画像を見ます 。その間、画像の中の地球の双子は3 × 3 = 9年年を取ったように見えます。旅が終わると、地球の双子の画像は1 + 9 = 10年年を取ったことになります。
地球の双子は、宇宙船の双子の9年間の低速（赤色）画像を見ており、その間に宇宙船の双子は（画像上で）9/3 = 3年歳をとります。その後、宇宙船が帰還するまでの残りの1 年間は、地球から高速（青色）画像が観測されます。高速画像では、宇宙船の双子は1 × 3 = 3年歳をとります。地球が受信した画像における宇宙船の双子の合計年齢は3 + 3 = 6年なので、宇宙船の双子は地球上での10歳ではなく、6 歳若返って帰還します 。
混乱を避けるため、双子それぞれが見ているものと、それぞれが計算するものとの違いに注意してください。それぞれが見ているのは、過去に撮影されたものであり、ドップラーシフトがかかっている双子の姿です。彼らは、その姿に映る経過時間を、双子の現在の年齢とは考えていません。
画像が発信されたとき。同様の計算により、彼の双子はすべての低周波画像において、静止時のεfと同じ低い速度で老化していたことが明らかになった。
同時性がドップラーシフトの計算にどのように関わってくるのか理解するのは難しいかもしれませんが、実際、同時性を気にしなくて済むため、この計算方法の方が好まれることが多いのです。上記のように、船の双子は、赤と青の画像の両方について、受信したドップラーシフトされたレートを遠方の時計の遅いレートに変換できます。同時性を無視すると、船の双子は、地球の双子が航海中ずっと遅いレートで老化していたので、自分たちよりも若いはずだと言うかもしれません。船の双子は今、振り出しに戻り、折り返し地点での同時性の概念の変化を考慮に入れなければなりません。画像について計算できるレート（ドップラー効果を補正したもの）は、地球の双子の時計が送信された時点のレートであり、受信された時点のレートではありません。赤色と青色にシフトした画像が不均等な数で受信されるため、地球の双子星では赤色と青色にシフトした放射が同じ時間間隔で放出されたわけではないことを認識し、したがって遠距離での同時性を考慮しなければならない。
折り返し中、移動中の双子は加速参照系にいる。等価原理によれば、移動中の双子は、留まっている双子が重力場を自由落下しているかのように、また移動中の双子が静止しているかのように、折り返し段階を分析することができる。アインシュタインによる 1918 年の論文は、このアイデアの概念的な概略を示している。[ A 5 ]旅行者の視点から、折り返しを無視して各区間ごとに計算すると、地球の時計が旅行者よりも進まないという結果になる。たとえば、 各区間で地球の時計が 1 日進まないとすると、地球の時計が遅れる量は 2 日になる。折り返し時に何が起こるかの物理的な記述は、その 2 倍の逆の効果、つまり 地球の時計が 4 日進む効果を生み出さなければならない。すると、旅行者の時計は地球の時計に対して正味 2 日遅れることになり、留まっている双子のフレームで行われた計算と一致する。
家にいる双子の時計が進むメカニズムは、重力による時間の遅れです。観測者が慣性運動する物体が自身に対して加速していることに気づいた場合、相対性理論の観点から、それらの物体は重力場の中にあります。方向転換する移動中の双子にとって、この重力場は宇宙全体を満たしています。弱い場の近似では、時計はt' = t (1 + Φ / c 2 )の速度で進みます。ここで、 Φは重力ポテンシャルの差です。この場合、Φ = ghとなります。ここで、 gは方向転換中の移動中の観測者の加速度、hは家にいる双子までの距離です。ロケットは家にいる双子に向かって発射されるため、その双子はより高い重力ポテンシャルに置かれます。双子間の距離が大きいため、家にいる双子の時計は、双子が経験する固有時間の差を説明できるほど十分に速く進むように見えます。この加速が上述の同時性シフトを説明するのに十分であることは偶然ではない。静的で均質な重力場に対する一般相対性理論の解と、有限の加速度に対する特殊相対性理論の解は同一の結果をもたらす。[ 34 ]
移動する双子（または時々加速する任意の観測者）については、等価原理や重力場を用いない他の計算も行われている。このような計算は、一般相対性理論ではなく、特殊相対性理論のみに基づいている。1つのアプローチでは、ヘルマン・ボンディのk計算の考え方に従って、光パルスを考慮して同時性面を計算する。[ 35 ] 2番目のアプローチでは、単純だが技術的に複雑な積分を計算して、移動する双子が自宅の時計で経過時間をどのように測定するかを決定する。この2番目のアプローチの概要は、以下の別のセクションで説明する。
次の段落では、いくつかのことが示されています。
時計Kを「家にいる双子」に関連付ける。時計K'を旅に出るロケットに関連付ける。出発イベントでは、両方の時計が0に設定される。
時計Kが慣性（静止）状態にあることを考慮すると、時計K'の累積固有時間Δτは座標時間Δtの積分関数で与えられる。
ここで、v ( t )はクロックKによるtの関数としてのクロックK'の座標速度であり、例えばフェーズ1では、次のように表される。
この積分は6つのフェーズについて計算できます: [ 36 ]
ここで、aは加速フェーズ中に時計K'が感じる固有加速度であり、 V、a、T aの間には次の関係が成り立つ。
したがって、移動時計K'は経過時間を表示します。
これは次のように表現できます。
一方、静止時計Kは経過時間を示している。
これは、a、T a、T c、Vのあらゆる可能な値に対して、時計K'の読み取り値よりも大きい値である。
標準固有時間式では
Δτは、慣性（自宅待機）観測者Kの経過時間Δtの関数として、非慣性（移動）観測者K'の時間を表します。観測者K'は時刻tにおいて速度v（t ）を持っています。
慣性観測者Kの経過時間 Δ t を非慣性観測者K'の経過時間 Δ τの関数として計算するには、 K'によって測定された量のみが利用可能である場合、次の式を使用できます。[ 21 ]
ここで、a (τ)は、非慣性観測者K'が往復全体を通して自身で測定した固有加速度（例えば加速度計で測定）である。コーシー・シュワルツの不等式を用いると、前の式から不等式Δt > Δτが導かれることがわかる。
往路と復路で旅行者が一定速度vで移動する標準的なケースにおいて、無限加速段階をモデル化するためにディラックのデルタ関数を使用すると、次の式が得られます。
加速観測者K'がKから初速度ゼロで出発する場合、一般式はより単純な形式に簡略化される。
これは、旅行者が一定の固有加速度位相を順次a、 − a、 − a、aで持つ双子のパラドックスの滑らかなバージョンでは、 [ 21 ]の結果となります。
ここで、上記の式に従い、加速フェーズT a = Δ t /4および慣性（惰性）フェーズT c = 0 で、慣性c = 1 という慣例が使用される。
双子のボブとアリスは、宇宙にある巨大な天体の周りを円軌道で周回する宇宙ステーションに住んでいます。ボブは宇宙服を着てステーションから出ます。アリスはステーションの中に残り、以前と同じようにステーションと共に周回を続けます。一方、ボブはロケット推進システムを使って周回を停止し、自分がいた場所に静止します。ステーションが一周してボブのところに戻ってくると、ボブはアリスと合流します。アリスは今やボブより年下です。[ 37 ]回転加速に加えて、ボブは静止するために減速し、その後再び加速して宇宙ステーションの軌道速度に合わせなければなりません。
アインシュタインが、再会した人々の間で記録された時計の時間（または老化）に実際の差があるという結論を下したことを受けて、ポール・ランジュバンは、実験的には判別できないものの、実際の絶対的な基準系が存在すると提唱した。
1911年、ランジュバンは次のように書いた。「エーテルにおける一様な並進運動は実験的に意味を持たない。しかし、だからといって、時折早まってなされるように、エーテルの概念を放棄しなければならないとか、エーテルは存在せず実験的にアクセスできないと結論付けるべきではない。エーテルに対する一様な速度だけは検出できないが、速度の変化は…絶対的な意味を持つ。」[ A3 ]
1913年にアンリ・ポアンカレの遺作『最後の論文』が出版され、そこで彼は自身の立場を改めて表明した。「今日、一部の物理学者は新しい慣習を採用したいと考えている。彼らはそうせざるを得ないわけではなく、この新しい慣習の方が便利だと考えているだけである。そして、この意見に賛同しない者は、古い慣習を正当に保持することができる。」[ 38 ]
ポアンカレとヘンドリック・ローレンツの相対性理論では、絶対的な（ただし実験的には判別できない）基準系を前提としているため、時計の減速（長さの収縮と速度とともに）が現実の現象とみなされ、再結合した時計間の実際の時間差が生じることから、パラドックスは生じない。
この解釈では、宇宙全体と静止している存在（宇宙の重心と静止している存在、あるいはエーテルと静止している存在）は、最大の時間計測速度を持ち、長さは収縮しないことになる。アインシュタインの特殊相対性理論のすべての効果（一貫した光速測定、慣性系全体にわたる対称的な時計の減速と長さの収縮）が、この解釈に合致する。
ジョン・A・ホイーラーが「エーテル理論B（長さ収縮＋時間収縮）」と呼ぶ相対性理論の解釈は、慣性系間の対称的な測定の背後にあるより深い現実を単純に無視したアインシュタインの解釈ほど支持を得られなかった。どちらの解釈も物理的に区別できるテストはない。[ 39 ]
2005年、ロバート・B・ラフリン（物理学ノーベル賞受賞者、スタンフォード大学）は、空間の本質について次のように書いています。「アインシュタインの最も創造的な業績である一般相対性理論が、空間を媒体として概念化することに帰着するのは皮肉なことです。なぜなら、彼の当初の前提（特殊相対性理論）は、そのような媒体は存在しないというものだったからです。...「エーテル」という言葉は、過去に相対性理論への反対と結びついていたため、理論物理学では非常に否定的な意味合いを持っています。これは残念なことです。なぜなら、これらの意味合いを取り除けば、エーテルはほとんどの物理学者が真空について実際に考えている方法をかなりうまく捉えているからです。...相対性理論は、宇宙に遍在する物質の存在または非存在については何も述べておらず、そのような物質は（測定されたように）相対論的対称性を持たなければならないということだけを述べています。」[ 40 ]
AP Frenchは『特殊相対性理論』（1968年）の中で次のように述べている。「ただし、我々はAの加速の現実と、それに伴う慣性力の観測可能性に依拠していることに注意すべきである。恒星や遠方の銀河の枠組みが存在しない場合、双子のパラドックス（特に、再結合した時計間の時間差）のような効果は存在するだろうか？ほとんどの物理学者は存在しないと言うだろう。慣性系の究極的な定義は、宇宙全体の物質に対して加速度がゼロであるフレームであると言えるかもしれない。」[ 41 ]
![{\displaystyle \Delta t^{2}=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\,\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right],\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1deae869123523e92745871332b8c8117b6077b1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t^{2}&=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\,\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\\&>\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')\,d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]^{2}=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }d{\bar {\tau }}\right]^{2}=\Delta \tau ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35d533392d395fd71134ddd34beb1ef7449dea1)
{{citation}}: CS1 maint: 出版社の場所 (リンク) ; H. Brose (1921)による第 4 版の英語翻訳: Space—Time—Matter、pp. 278f。{{cite web}}: CS1メンテナンス: アーカイブサービスは非推奨になりました (リンク){{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク) 227ページの演習9.25を参照してください。理想的な時計とは、その動作が瞬間速度のみに依存し、時計の加速度には一切影響されない時計のことである。