適切な時間

相対性理論では、時間的世界線に沿った固有時（ラテン語で「独自の時間」を意味する）は、その線に沿った時計で測定された時間として定義される。世界線上の2つのイベント間の固有時間間隔は、座標に依存しない固有時間の変化であり、ローレンツスカラーである。^[1]間隔が興味深い量であるのは、固有時間自体は任意の加法定数、つまり世界線に沿ったあるイベントでの時計の設定によってのみ固定されているためである。

2 つのイベント間の適切な時間間隔は、イベントだけでなく、それらを結ぶ世界線、つまりイベント間の時計の動きにも依存します。これは、世界線上の積分として表現されます (ユークリッド空間の弧の長さに類似)。加速された時計は、同じ 2 つのイベント間で加速されていない (慣性) 時計によって測定される経過時間よりも、2 つのイベント間の経過時間を短く測定します。双子のパラドックスはこの効果の例です。^[2]

慣例により、固有時間は、 tで表される座標時間と区別するために、通常、ギリシャ文字のτ (タウ) で表されます。座標時間とは、観測者がイベントに時間を割り当てる独自の方法を使用して測定された、2 つのイベント間の時間です。特殊相対性理論における慣性観測者の特別なケースでは、時間は観測者の時計と観測者の同時性の定義を使用して測定されます。

固有時間の概念は1908年にヘルマン・ミンコフスキーによって導入され、^[3]ミンコフスキー図の重要な特徴となっている。

固有時間の正式な定義には、時計、観測者、またはテスト粒子を表す時空を通る経路と、その時空の計量構造を記述することが含まれます。固有時間は、4 次元時空における世界線の擬似リーマン弧の長さです。数学的な観点からは、座標時間は事前に定義されていると想定され、座標時間の関数としての固有時間の表現が必要です。一方、固有時間は実験的に測定され、座標時間は慣性時計の固有時間から計算されます。

固有時間は、物理的な定規や時計のセットを伴った時空を通る時間的経路に対してのみ定義できます。空間的経路に対する同じ形式主義は、固有時間ではなく固有距離の測定につながります。光のような経路の場合、固有時間の概念は存在せず、時空間隔がゼロであるため定義されていません。代わりに、時間とは無関係な任意の物理的に無関係なアフィンパラメータを導入する必要があります。^{[4] [5] [6] [7] [8] [9]}

計量シグネチャの時間的慣例により、ミンコフスキー計量は によって定義され 、任意のローレンツ フレームの座標は によって 定義されます 。 $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)}$$

このようなフレームでは、2つのイベント間の微小間隔（ここでは時間的であると仮定）は次のように表現されます。

は粒子の軌道上の点を区切る（時計{?}を考える）。同じ間隔を座標で表すと、各瞬間に粒子は静止している。このようなフレームは瞬間静止フレームと呼ばれ、ここでは各瞬間の座標で示される。間隔の不変性（異なる時間に取られた瞬間静止フレームはローレンツ変換によって関連付けられる）により 、瞬間静止フレームでは粒子またはフレーム自体が静止しているため、つまり と書くことができる。間隔は時間的（つまり）と仮定されるため、上記の平方根を取ると^[10]または が 得られる。τ のこの微分表現から、適切な時間間隔は次のように定義される。 ${\displaystyle (c\tau ,x_{\tau },y_{\tau },z_{\tau })}$$${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-dx_{\tau }^{2}-dy_{\tau }^{2}-dz_{\tau }^{2 }=c^{2}d\タウ^{2},}$$${\displaystyle dx_{\tau }=dy_{\tau }=dz_{\tau }=0}$${\displaystyle ds^{2}>0}$ $${\displaystyle ds=cd\tau ,}$$$${\displaystyle d\tau ={\frac {ds}{c}}.}$$

ここでP は、ある初期イベントからある最終イベントまでの世界線であり、最終イベントは初期イベントよりも時計に従って遅く発生するという要件によってイベントの順序が固定されます。

（１）と区間不変性を用いると、次のように書ける。 ^[11]

ここで、は 世界線P の任意の全単射パラメータ化 で、 P の端点と a < b を与えます。v ( t ) は座標時間tにおける座標速度です。x ( t )、y ( t )、z ( t )は空間座標です。最初の式は明らかにローレンツ不変です。固有時間と固有時間間隔は定義により座標に依存しないため、これらはすべてローレンツ不変です。 $${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}):[a,b]\rightarrow P}$$$${\displaystyle (x^{0}(a),x^{1}(a),x^{2}(a),x^{3}(a))\quad {\text{and}}\quad (x^{0}(b),x^{1}(b),x^{2}(b),x^{3}(b))}$$

t、x、y、zがパラメータ λによってパラメータ化されている場合、これは次のように記述できます。 $${\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .}$$

粒子の運動が一定であれば、式は 次のように簡略化されます。ここで、Δ は最初のイベントと最後のイベントの間の座標の変化を意味します。特殊相対性理論の定義は、以下のように一般相対性理論にそのまま一般化されます。 $${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},}$$

固有時間は一般相対論では次のように定義される。局所座標x ^μを持ち計量テンソルg _μνを備えた擬リーマン多様体が与えられたとき、時間的経路Pに沿った2つのイベント間の固有時間間隔Δτは線積分^[12]で与えられる。

この表現は、当然ながら、座標の変更に対して不変です。これは、（適切な座標において）平坦な時空における特殊相対論の表現に簡約されます。

特殊相対論でx ¹ , x ² , x ³ = constとなるように座標を選ぶことができるのと同様に、一般相対論でも同様に行うことができます。すると、これらの座標では、^[13] $${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}$$

この式は定義(2)を一般化したものであり、定義としてとらえることができる。そして、区間の不変性を用いると、式(4)は式(3)が(2)から導かれるのと同様に導かれるが、ここでは任意の座標変更が許される。

双子のパラドックスのシナリオでは、 A座標(0,0,0,0)と(10年,0,0,0)の間を慣性で移動する観測者Aがいるとします。これは、 AがA座標時間で10年間そこに留まることを意味します。2つのイベント間の Aの適切な時間間隔は、${\displaystyle x=y=z=0}$$${\displaystyle \Delta \tau _{A}={\sqrt {(10{\text{ 年}})^{2}}}=10{\text{ 年}}.}$$

したがって、特殊相対性座標系で「静止している」ということは、固有時間と座標時間が同じであることを意味します。

ここで、別の観測者Bがx方向に (0,0,0,0) からA座標時間の 5 年間をかけて 0.866 cで(5 年、4.33 光年、0, 0) まで移動するとします。そこでB は加速し、反対方向にA座標時間の 5 年間をかけて (10 年、0, 0, 0) まで移動します。移動の各区間について、適切な時間間隔はA座標を使用して計算でき、次のように表されます。 $${\displaystyle \Delta \tau _{leg}={\sqrt {({\text{5 years}})^{2}-({\text{4.33 years}})^{2}}}={\sqrt {6.25\;\mathrm {years} ^{2}}}={\text{2.5 years}}.}$$

したがって、観測者Bが(0,0,0,0)から(5年、4.33光年、0,0)へ、そして(10年、0,0,0)へ移動する のに必要な総時間は、$${\displaystyle \Delta \tau _{B}=2\Delta \tau _{leg}={\text{5 years}}.}$$

このように、固有時間方程式には時間の遅れ効果が組み込まれていることが示されています。実際、SR (特殊相対性理論) 時空内の物体が速度で時間 移動する場合に経験される固有時間間隔は であり、 これが SR 時間の遅れの公式です。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle \Delta T}$$${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\Delta T^{2}-\left({\frac {v_{x}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{y}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{z}\Delta T}{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

別の慣性観測者の周りを回転する観測者は、加速参照フレーム内にあります。このような観測者の場合、以下に示すように、進む経路のパラメータ化された記述とともに、増分 ( ) 形式の固有時間方程式が必要です。 ${\displaystyle d\tau }$

円板上に、xy平面で座標角速度 で回転する観測者Cがいて、円板の中心から距離r 、円板の中心がx = y = z = 0にあるとします。観測者Cの経路は で与えられ、 は現在の座標時間です。rと が定数で の場合、増分固有時間式は次のようになります。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle (T,\,r\cos(\omega T),\,r\sin(\omega T),\,0)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle dx=-r\omega \sin(\omega T)\,dT}$${\displaystyle dy=r\omega \cos(\omega T)\,dT}$$${\displaystyle d\tau ={\sqrt {dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.}$$

したがって、座標時間と時間の間で、時空内の特定の点から一定の距離rで一定の​​角速度ωで回転する観測者の場合、回転する観測者にとって経験される固有時間は v = rω になります。この結果は直線運動の例と同じであり、固有時間公式の積分形式の一般的な適用を示しています。 ${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$$${\displaystyle \int _{T_{1}}^{T_{2}}d\tau =(T_{2}-T_{1}){\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$$

SR と一般相対性理論 (GR) の違いは、GR ではミンコフスキー計量だけでなく、アインシュタイン場方程式の解である任意の計量を使用できることです。曲がった時空における慣性運動は SR にあるような単純な表現がないため、固有時間方程式の線積分形式を常に使用する必要があります。

ミンコフスキー計量に対して適切な座標変換を行うと、回転する円盤上の物体が同じ空間座標位置に留まる座標が生成される。新しい座標は 、 $${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$$${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\omega t.}$$

tとz座標は変更されません。この新しい座標系では、増分固有時間方程式は次のようになります 。$${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{c^{2}}}-{\frac {r^{2}\,d\theta ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {dz^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {r^{2}\omega \,dt\,d\theta }{c^{2}}}}}.}$$

r、θ、z は時間に対して一定である ため、これは 次のように簡略化され、例 2 と同じになります。 $${\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}},}$$

ここで、回転する円盤から外れ、円盤の中心に対して慣性静止し、そこからRの距離にある物体があるとします。この物体はdθ = − ω dtで表わされる座標運動をしており、これは回転する観測者から見ると慣性静止物体が逆回転していることを表しています。ここで、固有時間方程式は次のようになります。 $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}+2\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}}}=dt.}$$

したがって、慣性静止観測者にとって、座標時間と固有時間は、相対性理論の内部自己一貫性のために予想され、要求されているように、再び同じ速度で経過することがわかります。^[14]

シュワルツシルト解は増分固有時間方程式を持ち 、 $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},}$$

• tは地球から遠く離れた慣性静止状態の時計で測定された時間であり、
• rは半径座標（実質的には地球の中心からの距離）である。
• ɸ は緯度座標であり、北極からの角度をラジアンで表したものです。
• θは経度座標で、地球表面の経度に似ていますが、地球の自転とは関係ありません。これもラジアンで表されます。
• mは地球の幾何化された質量、 m = GM / c ²、
  • Mは地球の質量であり、
  • G は重力定数です。

固有時間関係の使用法を説明するために、ここでは地球に関するいくつかのサブ例を使用します。

地球の場合、M =5.9742 × 10 ²⁴  kgであり、 m =4.4354 × 10 ⁻³  mです。北極に立っているときは、（つまり、地球の表面に沿って上下に移動していない）と仮定できます。この場合、シュワルツシルト解の固有時間方程式は になります。次に、地球の極半径を半径座標（または）として使用すると、次の式が得られ ${\displaystyle dr=d\theta =d\phi =0}$${\textstyle d\tau =dt\,{\sqrt {1-2m/r}}}$${\displaystyle r={\text{6,356,752 metres}}}$$${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)\;dt^{2}}}=\left(1-6.9540\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

赤道における地球の半径はr =6 378 137  m。さらに、地球の自転も考慮する必要があります。これにより、観測者には2 πを地球の自転の恒星周期86162.4 秒で割った、固有時間方程式は次式を生成します。 ${\displaystyle d\theta /dt}$${\displaystyle d\theta =7.2923\times 10^{-5}\,dt}$$${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)dt^{2}-2.4069\times 10^{-12}\,dt^{2}}}=\left(1-6.9660\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

非相対論的観点からは、これは前の結果と同じであるはずです。この例は、地球が自転しており、したがってシュワルツシルト解で想定されているように球対称ではない場合でも、固有時間方程式がどのように使用されるかを示しています。回転の影響をより正確に記述するには、カー計量を使用することができます。

• ローレンツ変換
• ミンコフスキー空間
• 適切な長さ
• 適切な加速
• 適切な質量
• 適切な速度
• 時計仮説
• ペレスメトリック

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