スカラーポテンシャル

数理物理学において、スカラーポテンシャルは、 2 つの異なる位置にある物体の位置エネルギーの差が、物体が 1 つの位置から別の位置へ移動する際にたどる経路ではなく、位置のみに依存する状況を表します。これは3 次元空間のスカラー場、つまり、位置のみに依存する方向性のない値 (スカラー) です。よく知られている例としては、重力による位置エネルギーがあります。

スカラーポテンシャルは、ベクトル解析と物理学における基本的な概念です（ベクトルポテンシャルと混同する危険がない場合、形容詞スカラーは頻繁に省略されます）。スカラーポテンシャルはスカラー場の一例です。ベクトル場Fが与えられた場合、スカラーポテンシャルP は次のように定義されます。^[1] ここで、∇ PはPの勾配であり、式の2番目の部分は、直交座標x、y、zの関数の勾配のマイナスです。^[a]場合によっては、数学者は勾配の前に正の符号を付けてポテンシャルを定義することがあります。^[2]勾配に関するPのこの定義のため、任意の点におけるFの方向はその点におけるPの最も急激な減少の方向であり、その大きさは単位長さあたりの減少率です。 $${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla P=-\left({\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial P}{\partial y}},{\frac {\partial P}{\partial z}}\right),}$$

F をスカラーポテンシャルのみで記述する には、次の同等のステートメントのいずれかが真である必要があります。

1. ${\displaystyle -\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =P(\mathbf {b} )-P(\mathbf {a} ),}$ここで積分は位置aから位置bへ向かうジョルダン弧上で行われ、P ( b )は位置bで評価されたPです。
2. ${\displaystyle \oint \mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =0,}$ここで、積分は任意の単純な閉じた経路、つまりジョルダン曲線上で行われます。
3. ${\displaystyle {\nabla}\times {\mathbf {F} }=0.}$

これらの条件のうち最初のものは勾配の基本定理を表し、微分可能な 単一値のスカラー場Pの勾配である任意のベクトル場に対して当てはまります。2 番目の条件は、スカラー関数の勾配として表現できるようにするためのFの要件です。3 番目の条件は、回転の基本定理を使用して、Fの回転に関して 2 番目の条件を再表現します。これらの条件を満たすベクトル場F は、非回転(保存的) であると言われています。

スカラーポテンシャルは、物理学や工学の多くの分野で重要な役割を果たしています。重力ポテンシャルは、単位質量あたりの重力、つまり位置の関数としての場による加速度に関連付けられたスカラーポテンシャルです。重力ポテンシャルは、単位質量あたりの重力の位置エネルギーです。静電気学では、電位は電場、つまり単位電荷あたりの静電気力に関連付けられたスカラーポテンシャルです。この場合、電位は単位電荷あたりの静電ポテンシャルエネルギーです。流体力学では、回転しないラメラ場は、ラプラシアン場である特別な場合にのみスカラーポテンシャルを持ちます。核力の特定の側面は、湯川ポテンシャルで記述できます。このポテンシャルは、古典力学のラグランジアンおよびハミルトン定式化で重要な役割を果たします。さらに、スカラーポテンシャルは量子力学における基本的な量です。

すべてのベクトル場がスカラーポテンシャルを持つわけではありません。スカラーポテンシャルを持つものは保存力と呼ばれ、物理学における保存力の概念に対応しています。非保存力の例には、摩擦力、磁力、流体力学におけるソレノイド場速度場などがあります。ただし、ヘルムホルツの分解定理により、すべてのベクトル場はスカラーポテンシャルとそれに対応するベクトルポテンシャルで記述できます。電気力学では、電磁スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルは合わせて電磁四元ポテンシャルと呼ばれます。

Fが保存ベクトル場（非回転、回転なし、またはポテンシャルとも呼ばれる）であり、その成分が連続 偏微分を持つ場合、参照点r ₀に対するFのポテンシャルは線積分によって定義される。 ここで、Cはr _0からrへのパラメータ化されたパスである。 $${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =-\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$$$${\displaystyle \mathbf {r} (t),a\leq t\leq b,\mathbf {r} (a)=\mathbf {r_{0}} ,\mathbf {r} (b)=\mathbf {r} .}$$

線積分が経路C の終点r ₀とrのみに依存するという事実は、本質的には、保存ベクトル場の経路独立性の特性です。線積分の基本定理は、 V がこのように定義されると、F = –∇ Vとなり、Vが保存ベクトル場Fのスカラーポテンシャルになることを意味しています。スカラーポテンシャルはベクトル場だけで決まるわけではありません。実際、関数の勾配は定数を追加しても影響を受けません。V が線積分で定義されている場合、Vの曖昧さは、参照点r ₀の選択の自由度を反映しています。

一例として、地球の表面近くの （ほぼ）均一な重力場が挙げられます。重力 場には位置エネルギーがあり、 Uは重力位置エネルギー、hは表面からの高さです。つまり、等高線図上の重力位置エネルギーは高度に比例します。等高線図上では、高度の 2 次元の負の勾配は 2 次元のベクトル場であり、そのベクトルは常に等高線に垂直で、重力の方向に対しても垂直です。しかし、等高線図で表される丘陵地帯では、Uの 3 次元の負の勾配は常に重力の方向 F に向かって真下を向いています。ただし、丘の表面の法線方向の力により、丘の表面に対して垂直な重力成分が打ち消されるため、丘を転がるボールは真下に移動することはできません。ボールを動かすために残っている重力の成分は、表面に対して平行です。 ここで、θは傾斜角、重力に対して垂直な F _Sの成分は、地面に対して平行な この力F _{P は}、 θが 45 度のときに最大になります。 $${\displaystyle U=mgh}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {S} }=-mg\ \sin \theta }$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {P} }=-mg\ \sin \theta \ \cos \theta =-{1 \over 2}mg\sin 2\theta .}$$

Δ h を等高線図上の等高線間の高度の均一間隔とし、Δ xを2 つの等高線間の距離とします。すると、 次の式が得られ ます 。ただし、等高線図では、勾配はΔ x に反比例し、力F _Pとは似ていません。等高線図上の高度は、厳密には 2 次元の電位場ではありません。等高線図上の力の大きさは異なりますが、力の方向は、等高線図によって表される地球表面の丘陵地帯上と同じです。 $${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\frac {\Delta h}{\Delta x}}}$$$${\displaystyle F_{P}=-mg{\Delta x\,\Delta h \over \Delta x^{2}+\Delta h^{2}}.}$$

流体力学では、平衡状態にある流体は均一な重力場が存在し、均一な浮力が浸透して重力を打ち消します。こうして流体は平衡状態を維持します。この浮力は、負の圧力勾配です。 $${\displaystyle \mathbf {f_{B}} =-\nabla p.}$$

浮力は重力と反対の方向、つまり上向きなので、流体内の圧力は下向きに増加します。静止した水体の圧力は、水面下の深さに比例して増加します。一定圧力の表面は、表面に平行な平面であり、圧力ゼロの平面として特徴付けられます。

液体に垂直渦(回転軸が表面に対して垂直) がある場合、渦は圧力場を低下させます。渦の内部の液体の表面は、液体の表面と平行なままの等圧力の表面と同様に下方に引っ張られます。この効果は渦の内部で最も強く、渦軸からの距離とともに急速に減少します。

流体によってその流体に囲まれた固体物体に働く浮力は、物体の表面に沿った負の圧力勾配を積分することによって得られます。 $${\displaystyle F_{B}=-\oint _{S}\nabla p\cdot \,d\mathbf {S} .}$$

3次元ユークリッド空間⁠ ⁠では、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$非回転ベクトル場 Eのスカラーポテンシャルは次の ように与えられます 。ここで、 dV ( r' )はr'に関する無限小体積要素です。 このとき、 Eが連続しており、無限大に向かって漸近的にゼロに消滅し、1/ rよりも速く減少し、 Eの発散も同様に無限大に向かって消滅し、1/ r ²よりも速く減少する場合に、これは成立します。 $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\,dV(\mathbf {r} ')}$$$${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\mathbf {\nabla } \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\,dV(\mathbf {r} ')}$$

別の言い方をすると、 を ニュートンポテンシャル とします。これはラプラス方程式の基本解であり、 Γのラプラシアンがディラックのデルタ関数の負の値に等しいことを意味します。 すると、スカラーポテンシャルはEとΓの畳み込み の発散です。 $${\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{\|\mathbf {r} \|}}}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\Gamma (\mathbf {r} )+\delta (\mathbf {r} )=0.}$$$${\displaystyle \Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma ).}$$

実際、非回転ベクトル場と回転不変ポテンシャルの畳み込みも非回転です。非回転ベクトル場Gについては、次の式が成り立ちます。 したがって、 必要な式となります。 $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {G} =\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot {}\mathbf {G} ).}$$$${\displaystyle \nabla \operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )=\nabla ^{2}(\mathbf {E} *\Gamma )=\mathbf {E} *\nabla ^{2}\Gamma =-\mathbf {E} *\delta =-\mathbf {E} }$$

より一般的には、この式は n次元ユークリッド空間（n > 2 ） で成り立ち、ニュートンポテンシャルは次のように表される 。 ここでωn_は単位n球の体積である。証明は同一である。あるいは、部分積分（または、より厳密には畳み込みの性質）により、次のように表される 。$${\displaystyle \Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )}$$$${\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{n(n-2)\omega _{n}\|\mathbf {r} \|^{n-2}}}}$$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{n\omega _{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {\mathbf {E} (\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|^{n}}}\,dV(\mathbf {r} ').}$$

• 勾配定理
• ベクトル解析の基本定理
• 等電位線と等電位面

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