スピン量子数

化学や量子力学において、スピン量子数とは、電子やその他の粒子の固有角運動量（またはスピン角運動量、あるいは単にスピン）を表す量子数（sで表される）のことです。同じ種類の粒子であれば、s の値はすべて同じで、例えばすべての電子ではs = 1/2となります。光子などのボソンでは整数、電子や陽子などのフェルミオンでは半奇数となります。

特定の軸に沿ったスピンの成分は、慣習的にm _sと表記されるスピン磁気量子数で与えられます。^{[ 1 ] [ 2 ]} m _sの値は、特定の方向 (慣習的にz軸と表記される) に平行な、換算プランク定数ħを単位とするスピン角運動量の成分です。整数増分で + sから− sまでの値を取ることができます。電子の場合、m _{s は}⁠ + + 1 / 2 ⁠または⁠ − + 1 / 2 ⁠のいずれかになります。

スピン量子数という用語は、量子化されたスピン角運動量を指します。記号sはスピン量子数に使用され、m _{s は}スピン磁気量子数^{[ 3 ]}またはスピンs _zのz成分として記述されます。^{[ 4 ]}

全スピンとスピンのz成分の両方が量子化され、スピン量子数とスピン磁石量子数の2つの量子数が生じます。^{[ 5 ]} (全)スピン量子数は、すべての素粒子に対して1つの値しか持ちません。一部の入門化学の教科書では、m sをスピン量子数として説明していますが、[6][7] sの値は1/2で_電子の固定値^{であるため、 sについて}は言及されていません。m sの代わり_に変数sを使用するものもあり^ます。^[ 5 ^]

2つのスピン量子数${\displaystyle s}$そして${\displaystyle m_{s}}$これらは、2つの軌道角運動量量子数に対応するスピン角運動量の類似物である。${\displaystyle l}$そして${\displaystyle m_{l}}$[ ^{8 ] : 152​}

スピン量子数は、複数の電子を含む可能性のある原子など、結合したスピンのシステムにも適用されます。大文字の記号が使用されます。Sは全電子スピン、m _SまたはM _Sはz軸成分を表します。スピン一重項状態の電子対はS = 0、三重項状態の電子対はS = 1 で、m _S = −1、0、または +1です。核スピン量子数は慣例的に、スピンはI、z軸成分はm _IまたはM _Iと表記されます。

1916年から1925年の間に、周期表における電子の配置に関して多くの進歩が見られました。ボーアの原子模型におけるゼーマン効果を説明するために、アーノルド・ゾンマーフェルトは、電子は軌道の大きさ、軌道の形状、軌道の向きを表す3つの「量子数」 n、k、mに基づいていると提唱しました。 ^{[ 9 ]}アーヴィング・ラングミュアは、1919年の論文で電子の殻について次のように説明しています。「リュードベリは、これらの数値が次の系列から得られることを指摘している。」${\displaystyle N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})}$因子２は、すべての安定原子に基本的な二回対称性があることを示唆している。」^{[ 10 ]}$2n^2$この構成は、1924年10月にエドマンド・ストーナーが『フィロソフィカル・マガジン』に掲載した論文「原子レベルにおける電子の分布」で採用した。

ゾンマーフェルト量子数スキームの定性的な成功は、弱い磁場強度におけるゼーマン効果、すなわち異常ゼーマン効果を説明するには至らなかった。1924年12月、 ヴォルフガング・パウリは、それまで想定されていたように、コア電子の角運動量がこの効果と関係がないことを示した。^{[ 11 ]： 563}むしろ彼は、外側の「軽い」電子だけが角運動量を決定すると提案し、そのためには2値性を持つ4番目の量子数が必要であると仮説を立てた。^{[ 12 ]}この4番目の量子数はスピン磁気量子数となった。

スピン1/2 の 粒子は、スピンs = 1/2 の 角運動量量子数によって特徴付けられます。シュレーディンガー・パウリ方程式の解では、角運動量はこの数に従って量子化されるため、スピン角運動量の大きさは

$${\displaystyle \|{\mathbf {S}}\|=\hbar {\sqrt {s(s+1)}}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\ \hbar ~.}$$

水素スペクトルの微細構造は、角運動量のz成分の2つの可能性に対応する二重線として観測され、任意の方向zに対して次のようになる。 $${\displaystyle s_{z}=\pm {\tfrac {1}{2}}\hbar ~.}$$

その解には、電子のz成分として可能なものが2つしかない。電子における2つの異なるスピン方向は、「スピンアップ」または「スピンダウン」と呼ばれることがある。

電子のスピン特性は磁気モーメントを生み出し、それは第4の量子数に必要な条件であった。

電子スピンの磁気モーメントベクトルは次のように表される。

$${\displaystyle \ {\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-{\frac {e}{\ 2m\ }}\ g_{\text{s}}\ {\mathbf {S}}\ }$$

どこ${\displaystyle -e}$は電子の電荷です。${\displaystyle m}$は電子の質量であり、${\displaystyle g_{\text{s}}}$は電子スピンg因子であり、約2.0023である。そのz軸への投影はスピン磁気量子数によって与えられる。${\displaystyle m_{\text{s}}}$によると：

$${\displaystyle \mu _{z}=-m_{\text{s}}\ g_{\text{s}}\ \mu _{\mathsf {B}}=\pm {\tfrac {1}{2}}\ g_{\text{s}}\ \mu _{\mathsf {B}}\ }$$

どこ${\displaystyle \ \mu _{\mathsf {B}}\ }$はボーア磁子です。

原子が偶数個の電子を持つ場合、各軌道内の各電子のスピンは、隣接する電子のスピンとは逆の向きになります。しかし、多くの原子は奇数個の電子を持つか、あるいは「スピンアップ」と「スピンダウン」の向きの数が等しくない電子配置を持っています。このような原子または電子は、不対スピンを持つと言われ、電子スピン共鳴によって検出されます。

原子核にもスピンがあります。核スピンIは各原子核の固定値であり、整数または半整数のいずれかになります。z 軸に平行な核スピンの成分m I は、₍ 2 I + 1) 個の値I、I −1、 ...、 − Iを取ることができます。たとえば、¹⁴ N原子核はI = 1 なので、 z軸に対して 3 つの可能な向きがあり、それぞれ状態m _I = +1、0、および −1に対応します。^{[ 14 ]}

異なる原子核のスピンI は、核殻モデルを使用して解釈されます。¹² Cや¹⁶ Oのように、陽子と中性子の数が両方とも偶数である偶偶核は、スピン がゼロです。 奇数質量数の原子核は、7 Li の 3/2、13 C の 1 ^/ 2、17 ^Oの5/2のよう に 、半整数スピンを持ち、通常は最後に追加された核子の角運動量に対応します。 陽子と中性子の数が両方とも奇数である奇奇核は、10 B の 3、14 N の 1 のように、整数スピンを持ちます。^[ 15 ^]特定の 同位 ^体の^{核スピンの}値は、各元素の同位体リストに記載されています。（酸素の同位体、アルミニウムの同位体などを参照）

不対電子を持つ原子や分子の場合、磁場中での遷移において、電子軌道や他の量子数に変化がなく、スピン量子数のみが変化する現象も観測される。これが、フリーラジカルの研究に用いられる電子常磁性共鳴（EPR）または電子スピン共鳴（ESR）法である。スピンの磁気相互作用のみが変化するため、エネルギー変化は軌道間の遷移に比べてはるかに小さく、スペクトルはマイクロ波領域で観測される。

非相対論的パウリ方程式または相対論的ディラック方程式の解の場合、量子化された角運動量（角運動量量子数を参照）は次のように表すことができます。 $${\displaystyle \Vert \mathbf {s} \Vert ={\sqrt {s\,(s+1)\,}}\,\hbar }$$ どこ

• ${\displaystyle \mathbf {s} }$は量子化されたスピンベクトルまたはスピノルです
• ${\displaystyle \Vert \mathbf {s} \Vert }$はスピンベクトルのノルムである。
• sはスピン角運動量に関連付けられたスピン量子数である。
• ${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数です。

任意の方向z（通常は外部磁場によって決定される）が与えられた場合、スピンz射影は次のように与えられる。

${\displaystyle s_{z}=m_{s}\,\hbar }$

ここで、m _sは磁気スピン量子数であり、−s から +s まで 1 刻みで変化します。これにより、2s + 1 個の異なるm _sの値が生成されます。

sの許容値は非負の整数または半整数です。フェルミオンは半整数値を持ち、これには電子、陽子、中性子が含まれ、これらはすべてs = ⁠ + + 1 / 2 ⁠です。光子やすべてのメソンなどのボソンは整数スピン値を持ちます。

スピンの代数理論は、量子力学理論における角運動量の完全なコピーである。^{[ 16 ]} まず、スピンは基本的な交換関係を満たす。 $${\displaystyle \ [S_{i},S_{j}]=i\ \hbar \ \epsilon _{ijk}\ S_{k}\ ,}$$$${\displaystyle \ \left[S_{i},S^{2}\right]=0\ }$$ どこ${\displaystyle \ \epsilon _{ijk}\ }$は（反対称）レヴィ＝チヴィタ記号です。これは、不確定性原理の制約により、スピンの2つの座標を同時に知ることは不可能であることを意味します。

次に、​${\displaystyle \ S^{2}\ }$そして${\displaystyle \ S_{z}\ }$満足する： $${\displaystyle \ S^{2}\ |s,m_{s}\rangle ={\hbar }^{2}\ s(s+1)\ |s,m_{s}\rangle \ }$$$${\displaystyle \ S_{z}\ |s,m_{s}\rangle =\hbar \ m_{s}\ |s,m_{s}\rangle \ }$$$${\displaystyle \ S_{\pm }\ |s,m_{s}\rangle =\hbar \ {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)\ }}\;|s,m_{s}\pm 1\rangle \ }$$ どこ${\displaystyle \ S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}\ }$はしご（または「昇降」操作員）です。

一部の原子では、複数の不対電子のスピン（s ₁、s ₂、…）が結合して、全スピン量子数Sを形成します。^{[ 17 ] [ 18 ]}これは特に軽い原子（または軽い原子のみで構成される分子）で、スピン軌道結合がスピン間の結合または軌道角運動量間の結合に比べて弱い場合に発生します。この状況は、LとS が運動の保存量であるため、L S結合として知られています。ここで、Lは全軌道角運動量量子数です。^{[ 18 ]}

明確に定義されたSを持つ原子の場合、状態の多重度は2 S + 1と定義されます。これは、 S ≤ L (典型的なケース) の場合、特定の ( L、S ) の組み合わせに対する全 (軌道角運動量とスピン角運動量の合計) Jの可能な異なる値の数に等しくなります。たとえば、S = 1 の場合、3 つの状態が三重項を形成します。これらの 3 つの状態のS _zの固有値は、+1ħ、0、および−1ħです。^{[ 17 ]}原子状態の用語記号は、そのL 、S、およびJの値を示します。

例えば、酸素原子と二酸素分子の基底状態はどちらも不対電子を2つ持つため、三重項状態である。原子状態は記号^3Pで表され、分子状態は記号^{3Σ −} _gで表される。ここで上付き文字「3」は多重度を示す。

• 全角運動量量子数
• 回転分光法
• 基本的な量子力学

• ワイス、マイケル（2001）。「スピンの完全な扱い ― 起源、スピン理論の発展、スピン方程式の詳細を含む」。カリフォルニア大学リバーサイド校数学科。