シュレーディンガーの絵

時間発展演算子U ( t , t _{0 ) は、時刻}t ₀のケットに作用して、別の時刻t のケットを生成する演算子として定義されます。 $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$

ブラジャーの場合、 $${\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}$$

単一性

時間発展演算子はユニタリでなければならない。状態ケットのノルムは時間とともに変化してはならない。つまり、$${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$したがって、$${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I.}$$

身元

t  = t ₀のとき、Uは恒等演算子である。$${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$

閉鎖

t _0からtまでの時間発展は、まずt ₀から中間時間t ₁まで、次にt ₁から最終時間tまでの2 段階の時間発展として見なすことができる。したがって、$${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}).}$$

時間発展演算子の添え字t _0をt ₀ = 0という慣例に従って省略し、 U ( t )と表記します。シュレーディンガー方程式は次のようになります 。$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,}$$ ここで、Hはハミルトニアンである。次に、時間発展演算子Uを用いて次のように書く。${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }$、 $${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle .}$$

以来${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$は定数ケット（t = 0における状態ケット）であり、上記の式はヒルベルト空間内の任意の定数ケットに対して成り立つため、時間発展演算子は次の式に従わなければならない。 $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U(t)=HU(t).}$$

ハミルトニアンが時間に依存しない場合、上記の方程式の解は次のようになります^{[注1 ]}$${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }.}$$

Hは演算子であるため、この指数式はテイラー級数を用いて評価する必要がある。 $${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots .}$$

したがって、 $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$$

ご了承ください${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$は任意のケットです。ただし、初期ケットがハミルトニアンの固有状態であり、固有値Eを持つ場合： $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$$

ハミルトニアンの固有状態は定常状態であり、時間とともに変化するにつれて全体的な位相因子のみを獲得する。

ハミルトニアンが時間に依存するが、異なる時間におけるハミルトニアンが可換である場合、時間発展演算子は次のように書ける。 $${\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$$

ハミルトニアンが時間に依存するが、異なる時刻におけるハミルトニアンが可換でない場合、時間発展演算子は次のように書ける。 $${\displaystyle U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$$ ここで T は時間順序演算子であり、フリーマン・ダイソンにちなんでダイソン級数と呼ばれることもある。

シュレーディンガーの描像に代わるものとして、伝播関数によって回転する回転座標系を用いる方法がある。波動回転は座標系自体によって行われるため、乱されていない状態関数は真に静的であるように見える。これがハイゼンベルクの描像である。