重力赤方偏移

物理学と一般相対性理論において、重力赤方偏移（古い文献ではアインシュタインシフトとして知られている）^{[1] [2]は、}重力の井戸から出る電磁波または光子がエネルギーを失う現象である。このエネルギー損失は、波の周波数の減少と波長の増加に対応し、より一般的には赤方偏移として知られる。反対の効果、つまり光子が重力の井戸に入るときにエネルギーを得る効果は、重力青方偏移（青方偏移の一種）として知られている。この効果は、アインシュタインが1907年に初めて説明し、^{[3] [4]それは彼が}完全な相対性理論を発表する8年前であった。

重力赤方偏移は、等価原理（重力と加速度は等価であり、赤方偏移はドップラー効果によって引き起こされる）^[5]、または質量エネルギー等価性とエネルギー保存則（「落下する」光子はエネルギーを得る）^{[6] [7]}の結果として解釈することができますが、厳密な導出を複雑にする微妙な点が多数あります。^{[5] [8]}重力赤方偏移は、放射源における重力時間の遅れとして同等に解釈することもできます。 ^{[8] [2] 2つの}発振器（電磁放射を生成する送信機に接続されている）が異なる重力ポテンシャルで動作している場合、重力ポテンシャルが高い（吸引体から遠い）発振器は、より速く刻みます。つまり、同じ場所から観測した場合、重力ポテンシャルが低い（吸引体に近い）発振器よりも測定された周波数が高くなります。

第一近似では、重力赤方偏移は重力ポテンシャルの差を光速の二乗で割った値に比例し、その結果、非常に小さな影響しか生じない。太陽の表面から逃げる光は、1911年にアインシュタインによって約2 ppmまたは2 × 10 ⁻⁶だけ赤方偏移すると予測された。^[9]太陽の周回軌道にあるGPS衛星からの航法信号は、${\displaystyle z=\Delta U/c^{2}}$ 高度20000kmの赤方偏移は、約0.5ppbまたは5×10−10 ^{[ 10]}青方偏移していると認識されており、これは1.5GHzのGPS無線信号の周波数の1Hz未満（無視できるほど小さい）の増加に相当します（ただし、衛星の原子時計に影響を与える付随する重力時間の遅れは、正確なナビゲーションに非常に重要です^[11]）。地球の表面では、重力ポテンシャルは高さに比例し、対応する赤方偏移は、標高や高度の変化1メートルあたり約¹⁰⁻¹⁶（0.1兆分の1 ）です。 ${\displaystyle \Delta U=g\Delta h}$

天文学では、重力による赤方偏移の大きさは、相対論的ドップラー効果によって同等のシフトを生じる速度として表現されることが多い。このような単位では、2 ppm の太陽光の赤方偏移は 633 m/s の後退速度に相当し、これは太陽の対流運動とほぼ同じ大きさであるため、測定が複雑になる。^[9] GPS 衛星の重力による青方偏移速度は 0.2 m/s 未満であり、軌道速度から生じる実際のドップラーシフトと比較すると無視できるほど小さい。重力場が強い天体では、赤方偏移ははるかに大きくなることがある。たとえば、白色矮星の表面からの光は、平均して約 (50 km/s)/ c (約 170 ppm)重力によって赤方偏移する。 ^[12]

太陽系の重力赤方偏移を観測することは、一般相対性理論の古典的なテストの1つです。^[13]原子時計を使用して重力赤方偏移を高精度で測定することは、ローレンツ対称性のテストとして役立ち、暗黒物質の探索を導くことができます。

アインシュタインの一般相対性理論には等価原理が組み込まれており、これはさまざまな方法で述べることができます。そのような記述の 1 つは、自由落下する観測者にとって重力の影響は局所的には検出できないというものです。したがって、地球の表面での実験室実験では、すべての重力の影響は、実験室が宇宙空間をgで加速していた場合に観測される影響と同等であるはずです。その結果の 1 つが重力ドップラー効果です。光パルスが実験室の床で放射された場合、自由落下する観測者は、光パルスが天井に到達するまでに天井が自分から離れる方向に加速していると述べ、そのため、天井に固定された検出器で観測すると、スペクトルの赤い端に向かってドップラーシフトしたように観測されます。自由落下する観測者が運動ドップラーシフトと見なすこのシフトは、実験室の観測者からは重力赤方偏移として考えられます。このような効果は1959年のパウンド・レプカ実験で検証された。重力場が均一なこのような場合、波長の変化は次のように表される。

${\displaystyle z={\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}\approx {\frac {g\Delta y}{c^{2}}},}$

ここで、高さの変化は です。この予測は等価原理から直接生じるため、一般相対性理論の数学的手法は一切必要とせず、その検証は等価原理を組み込んだ他の理論よりも一般相対性理論を特に支持するものではありません。 ${\displaystyle \Delta y}$

地球表面（または1 gで加速する宇宙船内 ）では、重力赤方偏移はおよそ1.1 × 10 ⁻¹⁶、これは高度1mごとに 3.3 × 10 ⁻⁸  m/sのドップラーシフト。

場が均一でない場合、最も単純で有用なケースは球対称場の場合です。バーコフの定理により、そのような場は一般相対性理論ではシュワルツシルト計量、で記述されます。ここで、 は中心から距離Rにいる観測者の時計時間、は無限遠にいる観測者が測定した時間、はシュワルツシルト半径、 「...」 は観測者が静止している場合は消える項、はニュートンの万有引力定数、 は重力体の質量、は光速です。その結果、周波数と波長は比率に従ってシフトします。 ${\displaystyle d\tau ^{2}=\left(1-r_{\text{S}}/R\right)dt^{2}+\ldots }$${\displaystyle d\tau }$${\displaystyle dt}$${\displaystyle r_{\text{S}}}$${\displaystyle 2GM/c^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle 1+z={\frac {\lambda _{\infty }}{\lambda _{\text{e}}}}=\left(1-{\frac {r_{\text{S}}}{R_{\text{e}}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

どこ

• ${\displaystyle \lambda _{\infty }\,}$無限遠の観測者によって測定された光の波長である。
• ${\displaystyle \lambda _{\text{e}}\,}$は放射源で測定された波長であり、
• ${\displaystyle R_{\text{e}}}$光子が放出される半径です。

これは、従来 として定義される赤方偏移パラメータに関連します。 ${\displaystyle z=\lambda _{\infty }/\lambda _{\text{e}}-1}$

放射源も観測者も無限遠にない場合、ドップラーシフトの推移性により、結果を に一般化できます。周波数の赤方偏移の式は です。が小さい場合、これらの結果は等価原理に基づく上記の式と一致します。 ${\displaystyle \lambda _{1}/\lambda _{2}=\left[\left(1-r_{\text{S}}/R_{1}\right)/\left(1-r_{\text{S}}/R_{2}\right)\right]^{1/2}}$${\displaystyle \nu =c/\lambda }$${\displaystyle \nu _{o}/\nu _{\text{e}}=\lambda _{\text{e}}/\lambda _{o}}$${\displaystyle R_{1}-R_{2}}$

赤方偏移比は、における（ニュートンの）脱出速度で表すこともできます。 この場合、対応するローレンツ因子は次のようになります。${\displaystyle v_{\text{e}}}$${\displaystyle R_{\text{e}}=2GM/v_{\text{e}}^{2}}$

${\displaystyle 1+z=\gamma _{\text{e}}={\frac {1}{\sqrt {1-(v_{\text{e}}/c)^{2}}}}}$。

事象の地平線を持つほどコンパクトな物体の場合、シュワルツシルト半径の内側で放出された光子の赤方偏移は定義されません。これは、信号が地平線の内側から逃げることができず、また、上で仮定したように、放出者などの物体が地平線の内側で静止することができないためです。したがって、この式はが大きい場合にのみ適用されます。光子がシュワルツシルト半径に等しい距離で放出されると、赤方偏移は無限に大きくなり、シュワルツシルト球から有限の距離まで逃げることはできません。光子が無限に大きい距離で放出されると、赤方偏移はありません。 ${\displaystyle R_{\text{e}}}$${\displaystyle r_{\text{S}}}$

ニュートン極限、すなわち がシュワルツシルト半径 に比べて十分に大きい場合、赤方偏移は次のように近似できる。 ${\displaystyle R_{\text{e}}}$${\displaystyle r_{\text{S}}}$

${\displaystyle z={\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}\approx {\frac {1}{2}}{\frac {r_{\text{S}}}{R_{\text{e}}}}={\frac {GM}{R_{\text{e}}c^{2}}}={\frac {gR_{\text{e}}}{c^{2}}}}$

ここで、はにおける重力加速度である。地球の表面から無限遠を基準にすると、zはおよそ${\displaystyle g}$${\displaystyle R_{\text{e}}}$7 × 10 ⁻¹⁰（0.2 m/sの放射状ドップラーシフトに相当）；月の場合はおよそ3 × 10 ⁻¹¹（約1 cm/s）。太陽の表面の値は約2 × 10 ⁻⁶、0.64 km/s に相当します。（非相対論的速度の場合、ドップラー等価速度はzに光速を 掛けることで近似できます。）

重力ポテンシャルは脱出速度の2乗の半分に等しいため、 z値はにおける脱出速度で簡潔に表すことができます。 ${\displaystyle R_{\text{e}}}$

${\displaystyle z\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {v_{\text{e}}}{c}}\right)^{2}}$

ここでの脱出速度は です。 ${\displaystyle v_{\text{e}}}$${\displaystyle R_{\text{e}}}$

これはにおける円軌道速度とも関連しており、 に等しいので、 ${\displaystyle v_{\text{o}}}$${\displaystyle R_{\text{e}}}$${\displaystyle v_{\text{e}}/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle z\approx \left({\frac {v_{\text{o}}}{c}}\right)^{2}}$。

たとえば、地球が約 30 km/s で周回している太陽の重力による遠方の星の光の重力青方偏移は、およそ 1 × 10 ⁻⁸または 3 m/s の放射状ドップラーシフトに相当します。

（円）軌道上の物体の場合、重力赤方偏移は横方向ドップラー効果（β = v / c ）と同程度の大きさですが、どちらも動径ドップラー効果（β = v / c ）よりもはるかに小さくなります。 ${\displaystyle z\approx {\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}}$${\displaystyle z\approx \beta }$

ニュートン限界における重力赤方偏移の式は光子の性質を使って導くこともできる: ^[14]

重力場において、質量と速度を持つ 粒子のエネルギーは次のように変化します。 ${\displaystyle {\vec {g}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=m{\vec {g}}\cdot {\vec {v}}={\vec {g}}\cdot {\vec {p}}}$。

エネルギーと運動量 によって記述される質量のない光子の場合、この式はプランク定数で割ると次のようになります。 ${\displaystyle E=h\nu =\hbar \omega }$${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}={\vec {g}}\cdot {\vec {k}}}$

距離内に 質量のある球体の重力場を挿入する${\displaystyle M}$${\displaystyle {\vec {r}}}$

${\displaystyle {\vec {g}}=-GM{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}}$

そして、重力場から放射方向に離れる光子の波動ベクトル

${\displaystyle {\vec {k}}={\frac {\omega }{c}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$

エネルギー方程式は

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {GM}{c}}{\frac {\omega }{r^{2}}}.}$

半径距離のみに依存する常微分方程式を使用すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \mathrm {d} r=c\,\mathrm {d} t}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} r}}=-{\frac {GM}{c^{2}}}{\frac {\omega }{r^{2}}}}$

半径と周波数を持つ球体の表面から始まる光子の場合、解析解は次のようになります。 ${\displaystyle R_{e}}$${\displaystyle \omega _{0}=2\pi \nu _{0}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} r}}=-{\frac {GM}{c^{2}}}{\frac {\omega }{r^{2}}}\quad \Rightarrow \quad \omega (r)=\omega _{0}\exp \left(-{\frac {GM}{c^{2}}}\left({\frac {1}{R_{e}}}-{\frac {1}{r}}\right)\right)}$

物体から遠く離れた場所で観測者が周波数を測定します。 ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \omega _{\text{obs}}=\omega _{0}\exp \left(-{\frac {GM}{c^{2}}}\left({\frac {1}{R_{e}}}\right)\right)\simeq \omega _{0}\left(1-{\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {G^{2}M^{2}}{R_{e}^{2}c^{4}}}-\ldots \right).}$

したがって、赤方偏移は次のようになります。

${\displaystyle z={\frac {\omega _{0}-\omega _{\text{obs}}}{\omega _{\text{obs}}}}={\frac {1-\exp \left(-{\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}\right)}{\exp \left(-{\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}\right)}}={\frac {1-\exp \left(-{\frac {r_{S}}{2R_{e}}}\right)}{\exp \left(-{\frac {r_{S}}{2R_{e}}}\right)}}}$

線形近似では

${\displaystyle z={\frac {{\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {G^{2}M^{2}}{R_{e}^{2}c^{4}}}+\dots }{1-{\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {G^{2}M^{2}}{R_{e}^{2}c^{4}}}-\ldots }}\simeq {\frac {\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}{1-{\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {G^{2}M^{2}}{R_{e}^{2}c^{4}}}-\dots }}\simeq {\frac {GM}{c^{2}R_{e}}}}$

一般相対性理論の重力赤方偏移に対するニュートン限界が得られる。

当初、多くの実験者が天文学的な測定によってこの効果を特定したと主張し、最終的に1925年にWSアダムスによってシリウスBのスペクトル線でこの効果が確認されたと考えられていました。 ^[15]しかし、アダムスの測定値は低すぎると批判されており^{[15] [16]}、これらの観測は現在では主星であるシリウスAからの散乱光のために使用できないスペクトルの測定値であると考えられています。^{[16]白色矮星の重力赤方偏移の最初の正確な測定は、1954年にポッパーによって行われ、} 40エリダヌスBの21 km / sの重力赤方偏移が測定されました。 ^[16]シリウスBの赤方偏移は最終的にグリーンスタインらによって測定されました。 1971年に重力赤方偏移の値は89±16 km/sとなり、ハッブル宇宙望遠鏡によるより正確な測定では80.4±4.8 km/sとなった。^{[17] [要出典]}

プリンストン大学のロバート・ディッケ教授の大学院生だったジェームズ・W・ブロートは、1962年に光学的手法を用いて太陽の重力赤方偏移を測定した。^[18] 2020年に、科学者チームが月が反射した太陽光のFeスペクトル線を分析することで、これまでで最も正確な太陽の重力赤方偏移の測定値を発表した。彼らの測定値である全球平均638±6m/sの線シフトは、理論値の633.1m/sと一致している。^{[19] [20]}太陽の赤方偏移の測定は、太陽表面の動きによって引き起こされるドップラーシフトによって複雑になり、その大きさは重力の影響と同程度である。^[20]

2011年、コペンハーゲン大学ニールス・ボーア研究所のラデック・ヴォイタックのグループは8000個の銀河団からデータを収集し、銀河団の中心から発せられる光は銀河団の端から発せられる光に比べて赤方偏移する傾向があることを発見し、重力によるエネルギー損失を確認した。^[21]

2018年、恒星S2は天の川銀河の中心にある太陽の400万倍の質量を持つ超大質量ブラックホールSgr A*に最も接近し、ブラックホールからわずか120 AU（シュワルツシルト半径の1400倍）の距離を通過しながら、光速の約2.5%にあたる7650 km/sに達した。GRAVITYコラボレーション[ 22 ] [ 23 ] [24] [25] （ラインハルト・ゲンツェル率いる）とKECK/UCLA銀河センターグループ[26] [27] （アンドレア・ゲズ率いる）による独立した分析では、^{横方向のドップラー}効果と重力^による赤方偏移の組み合わせが最大200 km/s/cであることが明らかになり、一般相対性理論の予測と一致した。

2021年、メディアヴィラ（IAC、スペイン）とヒメネス・ビセンテ（UGR 、スペイン）は、クエーサーの重力赤方偏移をz≈3の宇宙赤方偏移まで測定し、アインシュタインの等価原理の予測と13%以内の宇宙進化の欠如を確認することができました。^[28]

2024年、パディラらは、8000個のクエーサーと100個のセイファート型1銀河の超大質量ブラックホール（SMBH）の重力赤方偏移を、それらの輝線の半値全幅（FWHM）から推定し、log z ≈ −4 という値を発見した。これは、約10億太陽質量のSMBHと約1パーセクの半径のブロードライン領域と一致する。この同じ重力赤方偏移は、中心領域と外部領域で放射される線の赤方偏移の差を使用して、これらの著者によってLINER銀河のSAMIサンプルで直接測定された。^[29]

この効果は、現在では1959年から1965年にかけて行われたパウンド、レプカ、スナイダーの実験によって決定的に検証されたと考えられています。1959年のパウンド・レプカ実験では、地上の⁵⁷ Fe ガンマ線源を使用して、垂直の高さ22.5メートルでスペクトル線の重力赤方偏移を測定しました。^{[30]この論文は、非常に狭い線幅の放射線を生成する}メスバウアー効果で生成されたガンマ線光子の波長の変化の測定値を使用して重力赤方偏移を決定した最初の論文でした。ガンマ線測定の精度は通常1%でした。

1965年にパウンドとスナイダーによって改良された実験が行われ、精度は1%を超えました。^[31]

1976年に非常に正確な重力赤方偏移実験が行われ^{[32]、ロケットに搭載された}水素 メーザー時計が高度100メートルまで打ち上げられた。10,000  km の距離で測定し、その速度を地上の同一の時計と比較しました。重力赤方偏移を 0.007% までテストしました。

その後のテストは、全地球測位システム(GPS)で行うことができます。GPS は、タイミング システムで重力赤方偏移を考慮する必要があり、物理学者は他のテストを確認するために GPS のタイミング データを分析しました。最初の衛星が打ち上げられたとき、予測されたシフトは 1 日あたり 38 マイクロ秒でした。このずれの速度は、考慮に入れなければ、数時間以内に GPS の機能を大幅に損なうのに十分です。GPS の設計において一般相対性理論が果たした役割についての優れた説明は、Ashby 2003 にあります。^[33]

2010年に行われた実験では、2つのアルミニウムイオン量子時計を互いに近づけて設置したが、2つ目の時計は最初の時計よりも33cm高く設置されており、重力による赤方偏移効果が日常的な実験室規模で可視化されている。^{[34] [35]}

2020年に東京大学の研究グループが2台のストロンチウム87光格子時計の重力赤方偏移を測定した。 ^[36]測定は東京スカイツリーで行われ、時計は約450メートル離れており、通信ファイバーで接続されていた。重力赤方偏移は次のように表される。

${\displaystyle z={\frac {\Delta \nu }{\nu _{1}}}=(1+\alpha ){\frac {\Delta U}{c^{2}}}}$、

ここで、は重力赤方偏移、は光時計遷移周波数、は重力ポテンシャルの差、は一般相対性理論からの逸脱を表す。ストロンチウム87光時計遷移（429 THz、698 nm）のラムゼー分光法により、研究グループは2つの光時計間の重力赤方偏移が21.18 Hzであると決定した。これはz値約5 × 10 ⁻¹⁴に相当する。彼らの測定値、は、楕円軌道の水素メーザーで行われた最近の測定結果と一致する。^{[37] [38]}${\displaystyle \Delta \nu =\nu _{2}-\nu _{1}}$${\displaystyle \nu _{1}}$${\displaystyle \Delta U=U_{2}-U_{1}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (1.4\pm 9.1)\times 10^{-5}}$

2021年10月、物理学者のJun Ye氏が率いるJILAのグループは、サブミリメートルスケールでの重力赤方偏移の測定を報告した。測定は、光格子内の10万個のストロンチウム原子からなるミリメートル高の超低温雲の上部と下部の間の⁸⁷ Sr時計遷移で行われた。^{[39] [40]}

高重力の星からの光の重力による弱まりは、1783年にジョン・ミッシェル、 1796年にピエール＝シモン・ラプラスによって予測された。ニュートンは、光粒子の概念（放射理論を参照）を用いて、一部の星の重力は非常に強いため光は逃れられないと予測した。光に対する重力の影響は、ヨハン・ゲオルク・フォン・ゾルトナー（1801年）によって研究され、ゾルトナーは太陽による光線の偏向量を計算し、一般相対性理論によって予測された値の半分であるニュートンの答えに達した。この初期の研究はすべて、光が減速して落下すると仮定していたが、これは現代の光波の理解とは矛盾している。

光が電磁波であることが認められるようになると、光の周波数は場所によって変化しないことが明らかになった。なぜなら、一定の周波数を持つ光源からの波は、どこでも同じ周波数を保つからである。この結論を回避する方法の 1 つは、時間自体が変化する、つまり、異なる地点の時計の速度が異なる場合である。これは、1911 年にアインシュタインが出した結論とまったく同じである。^{[41]彼は加速する箱を考え、}特殊相対性理論によれば、箱の「底部」（加速の方向から離れた側）の時計速度は、「上部」（加速の方向に向かう側）の時計速度よりも遅いことに気づいた。確かに、静止フレームに対して速度で（方向に）移動するフレームでは、近くの位置の時計は（一次的に）進んでいる。したがって、加速（時間ごとに速度が変化する）により、位置の時計はだけ進み、つまり、速度で刻む ことになる。${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle (dx/c)(v/c)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g/dt}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle (dx/c)(g/c)dt}$

${\displaystyle R=1+(g/c^{2})dx}$

等価原理は、このクロックレートの変化は、加速度が重力の影響のない加速フレームの加速度であるか、静止フレームの重力場によって引き起こされる加速度であるかに関係なく同じであることを意味します。重力ポテンシャルによる加速度は なので、 ${\displaystyle g}$${\displaystyle V}$${\displaystyle -dV/dx}$

${\displaystyle {dR \over dx}=g/c^{2}=-{dV/c^{2} \over dx}}$

したがって、弱い磁場では、クロックレートの変化は に等しくなります。 ${\displaystyle \Delta R}$${\displaystyle -\Delta V/c^{2}}$

光は重力による時間の遅れによって減速されるため（外部の観測者から見ると）、重力ポテンシャルの低い領域は屈折率の高い媒体のように動作し、光が偏向する。この推論により、アインシュタインは1911年に光の偏向に関する誤ったニュートン値を再現することができた。^[41]当時、彼は非相対論的な速度で支配的な寄与である重力の時間遅れの現れだけを考慮した。しかし、相対論的な物体は時間を通過するのと同程度空間を移動するため、純粋に空間的な曲率が同じくらい重要になる。一般相対性理論を完全に構築した後、アインシュタインは1915年に^[42]太陽の重力に関する完全なポストニュートン近似を解き、光の偏向の正しい量（ニュートン値の2倍）を計算した。アインシュタインの予測は、アーサー・エディントンの1919年日食探検 から始まり、多くの実験によって確認された。

時計の速度の変化から、アインシュタインは光波は移動すると周波数が変化するという結論に達し、光子の周波数とエネルギーの関係から、これは重力場が光子の質量エネルギーに与える影響として解釈するのが最善であると分かりました。ほぼ静的な重力場における周波数の変化を計算するには、計量テンソルの時間成分のみが重要であり、最低次の近似は、シュワルツシルト半径よりもはるかに大きい通常の恒星や惑星に対しては十分に正確です。

• 一般相対性理論のテスト
• 等価原理
• 重力による時間の遅れ
• 赤方偏移
• 重力波 § 赤方偏移（速度または宇宙膨張による重力波の赤方偏移）

• ミッシェル、ジョン (1784)。「恒星の距離、等級などを発見する方法について」。王立協会哲学論文集。74 : 35–57。Bibcode : 1784RSPT ... 74...35M。doi : 10.1098/rstl.1784.0008。
• ラプラス、ピエール＝シモン（1796）。世界体系。第2巻（1809年英訳版）。ロンドン：リチャード・フィリップス。pp.366-368。
• フォン・ゾルトナー、ヨハン・ゲオルク (1804)。「光線がほぼ通過する天体の引力によって直線運動から逸れる現象について」 ベルリン天文年鑑: 161–172。
• アルバート・アインシュタイン、「相対性理論：特殊理論と一般理論」。 (@Project Gutenberg)。
• Pound, RV; Rebka, GA Jr. (1959). 「核共鳴における重力赤方偏移」. Phys. Rev. Lett . 3 (9): 439–441. Bibcode :1959PhRvL...3..439P. doi : 10.1103/physrevlett.3.439 .
• Pound, RV; Snider, JL (1965). 「重力のガンマ線への影響」. Phys. Rev. B. 140 ( 3B): 788–803. Bibcode :1965PhRv..140..788P. doi :10.1103/physrev.140.b788.
• Pound, RV (2000)。「光子の計量」(2000)。古典重力と量子重力。17 (12): 2303–2311。Bibcode :2000CQGra..17.2303P。doi : 10.1088 /0264-9381/17/12/301。S2CID 250886562  。

• ミスナー、チャールズ W.; ソーン、キップ S.; ウィーラー、ジョン アーチボルド (1973-09-15)。『重力』サンフランシスコ: WH フリーマン。ISBN 978-0-7167-0344-0。