自由粒子

物理学では、自由粒子とは、ある意味では外部の力によって束縛されていない粒子、またはそれと同等に、その位置エネルギーが変化する領域にない粒子です。古典物理学では、これは粒子が「場のない」空間に存在することを意味します。量子力学では、これは粒子が均一な位置の領域にあることを意味します。通常、関心領域では位置はゼロに設定され、これは空間内の任意の点で位置を任意にゼロに設定できるためです。

古典的な自由粒子は、固定速度 vを特徴とします。運動量は で与えられ 、運動エネルギー(全エネルギーに等しい) は で 与えられます。 ここで、 mは粒子の質量、vは粒子のベクトル速度です。 $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$$$${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}}$$

非相対論的量子力学における質量を持つ自由粒子は、自由シュレーディンガー方程式によって記述されます。 ${\displaystyle m}$$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\部分的な t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$$

ここで、ψ は位置rと時間tにおける粒子の波動関数です。運動量pまたは波動ベクトルkを持つ粒子の角周波数ωまたはエネルギーEにおける解は、複素平面波で与えられます。

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \ cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$$

振幅 Aを持ち、質量に応じて 2 つの異なる規則があります。

1. 粒子の質量が: (またはそれと同等の) の場合。${\displaystyle m}$${\textstyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$
2. 粒子が質量を持たない粒子である場合:${\displaystyle \omega =kc}$

固有値スペクトルは無限に退化しており、これは各固有値E >0 に対して、異なる方向に対応する無限の数の固有関数が対応するためです。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$

ド・ブロイの関係式が適用されます。位置エネルギーはゼロ（と宣言されている）なので、全エネルギーE は運動エネルギーに等しく、古典物理学と同じ形式になります。 ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$${\displaystyle E=\hbar \omega }$

$${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$$

自由または束縛されたすべての 量子粒子については、ハイゼンベルクの不確定性原理が適用されます。平面波は一定の運動量（一定のエネルギー）を持っているため、粒子の位置を見つける確率は空間全体にわたって均一で無視できることは明らかです。言い換えれば、波動関数はユークリッド空間で正規化できず、これらの定常状態は物理的に実現可能な状態に対応できません。^{[1] [2]} ${\textstyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

波動関数の正規化条件は、波動関数が量子状態空間^{[3]に属する場合、} 確率密度関数 の積分は$${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{3}),}$$ $${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2},}$$

ここで、* は複素共役を表し、全空間にわたって は全空間で粒子が見つかる確率であり、粒子が存在する場合、この確率は 1 でなければなりません。 平面 波解によって与えられる自由粒子の状態は、任意の 固定時間 に対して正規化できません。ただし、波パケットを使用すると、状態を正規化可能な関数として表現できます。 $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}\mathbf {r} =1.}$$$${\displaystyle Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\notin L^{2}(\mathbb {R} ^{3}),}$$${\displaystyle t}$

フーリエ反転定理を用いると、自由粒子の波動関数は運動量固有関数の重ね合わせ、つまり波束によって表すことができる。^[4] ここで 、およびは「十分に良い」初期波動関数のフーリエ変換である。 $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathrm {all\,\mathbf {k} \,space} }{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega (\mathbf {k} )t)}d^{3}\mathbf {k} ,}$$$${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}},}$$${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)}$

複素平面波の 運動量pの期待値は

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\left\langle \psi \left|-i\hbar \nabla \right|\psi \right\rangle =\hbar \mathbf {k} ,}$$

そして一般の波束の場合は

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\int _{\mathrm {all\,space} }\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)(-i\hbar \nabla )\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathrm {all\,{\textbf {k}}\,space} }\hbar \mathbf {k} |{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )|^{2}d^{3}\mathbf {k} .}$$

エネルギーEの期待値は

$${\displaystyle \langle E\rangle =\left\langle \psi \left|-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right|\psi \right\rangle =\int _{\text{all space}}\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} .}$$

位相速度は平面波の解が伝播する速度として定義され、すなわち

$${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\hbar k}{2m}}={\frac {p}{2m}}.}$$

は運動量を持つ古典的な粒子の速度ではなく、古典的な速度の半分である ことに注意してください。${\displaystyle {\frac {p}{2m}}}$${\displaystyle p}$

一方、初期波動関数が、フーリエ変換が特定の波動ベクトルの近傍に集中する波束であると仮定する。この場合、平面波の 群速度は次のように定義される。${\displaystyle \psi _{0}}$${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}}$${\displaystyle \mathbf {k} }$$${\displaystyle v_{g}=\nabla \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}={\frac {\mathbf {p} }{m}},}$$

これは粒子の古典的な速度の式と一致しています。群速度は波束全体が伝播する（おおよその）速度であり、位相速度は波束内の個々のピークが移動する速度です。^[5]図はこの現象を示しており、波束内の個々のピークは全体のパケットの半分の速度で伝播しています。

群速度の概念は、特定の値の付近での分散関係の線形近似に基づいています。^[6]この近似では、波束の振幅は、形状を変えることなく、群速度に等しい速度で動きます。この結果は、自由量子粒子の進化の興味深い側面を捉えていない近似です。特に、位置の不確実性によって測定される波束の幅は、長時間にわたって線形に増加します。この現象は、自由粒子の 波束の広がりと呼ばれます。${\displaystyle \omega (k)}$${\displaystyle k}$

具体的には、不確実性を時間の関数として正確に計算することは難しくありません。ここで は位置演算子です。簡単にするために 1 つの空間次元で作業すると、次の式が得られます。^[7] ここで は時間ゼロの波動関数です。右辺第 2 項の括弧内の式は、およびの量子共変性です。 ${\displaystyle \Delta _{\psi (t)}X}$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle (\Delta _{\psi (t)}X)^{2}={\frac {t^{2}}{m^{2}}}(\Delta _{\psi _{0}}P)^{2}+{\frac {2t}{m}}\left(\left\langle {\tfrac {1}{2}}({XP+PX})\right\rangle _{\psi _{0}}-\left\langle X\right\rangle _{\psi _{0}}\left\langle P\right\rangle _{\psi _{0}}\right)+(\Delta _{\psi _{0}}X)^{2},}$$${\displaystyle \psi _{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$

したがって、大きな正の時間に対して、 の不確実性は線形に増加し、 の係数は に等しくなります。初期波動関数の運動量が高度に局所化されている場合、波束はゆっくりと広がり、群速度近似は長期間にわたって良好なままです。直感的に、この結果は、初期波動関数が非常に明確に定義された運動量を持つ場合、粒子は明確に定義された速度を持ち、（良好な近似で）長期間にわたってこの速度で伝播することを示しています。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (\Delta _{\psi _{0}}P)/m}$${\displaystyle \psi _{0}}$

相対論的粒子を記述する方程式は数多くあります。相対論的波動方程式を参照してください。

• 波束
• 群速度
• 箱の中の粒子
• 有限平方井戸
• デルタ電位

• ブランチャード、フィリップ、ブリューニング、アーウィン (2015)。「物理学における数学的手法」。数理物理学の進歩。Cham: Springer International Publishing。doi : 10.1007 /978-3-319-14045-2。ISBN 978-3-319-14044-5. ISSN  1544-9998。
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• 量子力学、E.アバーズ、ピアソン編集、アディソン・ウェズリー、プレンティス・ホール社、2004年、ISBN 978-0-13-146100-0 
• 原子、分子、固体、核、粒子の量子物理学（第 2 版）、R. アイスバーグ、R. レズニック、John Wiley & Sons、1985 年、ISBN 978-0-471-87373-0 
• 定常状態、A. ホールデン、カレッジ物理学モノグラフ（米国）、オックスフォード大学出版局、1971年、ISBN 0-19-851121-3 
• ホール、ブライアン C. (2013)、「数学者のための量子理論」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 267、Springer、Bibcode :2013qtm..book.....H、ISBN 978-1461471158
• 量子力学の謎を解明、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2006年、ISBN 0-07-145546 9 
• 初等量子力学、NF モット、ワイカムサイエンス、ワイカムプレス（テイラー＆フランシスグループ）、1972年、ISBN 0-85109-270-5 
• 量子力学、E. Zaarur、Y. Peleg、R. Pnini、Schaum's Outlines、Mc Graw Hill（米国）、1998年、ISBN 007-0540187 

• 新しい量子宇宙、T.Hey、P.Walters、ケンブリッジ大学出版局、2009年、ISBN 978-0-521-56457-1。 
• 量子場理論、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2008年、ISBN 978-0-07-154382-8 
• 量子力学、E. Zaarur、Y. Peleg、R. Pnini、Schaum's Easy Outlines Crash Course、Mc Graw Hill (米国)、2006 年、ISBN 978-007-145533-6