コンプトン散乱

波長λの光子γが、静止しているとみなされる原子内の電子eと衝突する。衝突により電子は反跳し、入射光子の経路から角度θの位置に波長λ ′の新しい光子γ ′が現れる。衝突後の電子をe′とする。コンプトンは、この相互作用によって電子が光速に十分近い速度まで加速され、そのエネルギーと運動量を適切に記述するためにアインシュタインの特殊相対性理論を適用する必要がある場合があることを考慮した。

コンプトンは1923年の論文の最後に、自身の散乱公式の予測を裏付ける実験結果を報告し、光子が量子化されたエネルギーだけでなく運動量も運ぶという仮定を支持した。導出の冒頭で、彼はアインシュタインが既に確立していた質量エネルギー関係E = mc²を、アインシュタインが別途仮定した量子化された光子エネルギーhfと等しくすることで、光子の運動量の式を仮定した。mc² = ^hfの場合、等価光子質量はhf / c²^でなければならない。光子の運動量は、この有効質量に光子のフレーム不変速度cを掛けたものとなる。光子の場合、その運動量は${\displaystyle p=hf/c}$したがって、以下の導出過程で生じるすべての光子運動量項に対して、 pcの代わりにhf を 代入することができる。コンプトンの論文に掲載されている導出はより簡潔であるが、以下の導出と同じ論理と順序に従っている。

エネルギー保存則 Eは、散乱前後のエネルギーの合計が等しいことを示しているにすぎない。

${\displaystyle E_{\gamma }+E_{\text{e}}=E_{\gamma '}+E_{{\text{e}}'}。}$

コンプトンは光子が運動量を持つと仮定した^{[ 8 ]} 。したがって、運動量保存の法則から、粒子の運動量は同様に次のように関係付けられるはずである。

${\displaystyle \mathbf {p} _{\gamma }=\mathbf {p} _{\gamma '}+\mathbf {p} _{{\text{e}}'},}$

ここで、p _eは無視できるほど小さいため省略されている。

光子のエネルギーは周波数と次の関係にある。

${\displaystyle E_{\gamma }=hf}$

${\displaystyle E_{\gamma '}=hf'}$

ここでhはプランク定数である。

散乱イベントの前に、電子は静止状態に十分近いとみなされ、その全エネルギーは静止質量m _eの質量エネルギー等価性のみで構成される。

${\displaystyle E_{\text{e}}=m_{\text{e}}c^{2}.}$

散乱後、電子が光速のかなりの割合まで加速される可能性があるため、その全エネルギーは相対論的なエネルギー・運動量関係を用いて表す必要がある。

${\displaystyle E_{{\text{e}}'}={\sqrt {(p_{{\text{e}}'}c)^{2}+(m_{\text{e}}c^{2})^{2}}}~.}$

これらの量をエネルギー保存の式に代入すると、

${\displaystyle hf+m_{\text{e}}c^{2}=hf'+{\sqrt {(p_{{\text{e}}'}c)^{2}+(m_{\text{e}}c^{2})^{2}}}.}$

この式は、散乱電子の運動量の大きさを求めるために使用できます。

電子が得た運動量の大きさ（以前はゼロ）は、光子が失ったエネルギー/ cを超えることに注意してください。

${\displaystyle {\frac {1}{c}}{\sqrt {(hf-hf'+m_{\text{e}}c^{2})^{2}-m_{\text{e}}^{2}c^{4}}}>{\frac {hf-hf'}{c}}~.}$

式（1）は、衝突に伴う様々なエネルギーの関係を示している。電子の運動量の変化は、電子のエネルギーの相対論的な変化を伴うため、古典物理学で起こるエネルギーの変化とは単純には関係しない。光子の運動量の大きさの変化は、そのエネルギーの変化だけでなく、方向の変化も伴う。

散乱電子の運動量に関する運動量保存の式を解くと、

${\displaystyle \mathbf {p} _{{\text{e}}'}=\mathbf {p} _{\gamma }-\mathbf {p} _{\gamma '}.}$

スカラー積を利用すると、その大きさの二乗が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{{\text{e}}'}^{\,2}&=\mathbf {p} _{{\text{e}}'}\cdot \mathbf {p} _{{\text{e}}'}=(\mathbf {p} _{\gamma }-\mathbf {p} _{\gamma '})\cdot (\mathbf {p} _{\gamma }-\mathbf {p} _{\gamma '})\\&=p_{\gamma }^{\,2}+p_{\gamma '}^{\,2}-2p_{\gamma }\,p_{\gamma '}\cos \theta .\end{aligned}}}$

を期待して${\displaystyle p_{\gamma }c}$hfに置き換えられるので、両辺にc ²を掛けます。

${\displaystyle p_{{\text{e}}'}^{\,2}c^{2}=p_{\gamma }^{\,2}c^{2}+p_{\gamma '}^{\,2}c^{2}-2c^{2}p_{\gamma }\,p_{\gamma '}\cos \theta .}$

光子の運動量項をhf / cに置き換えると、散乱電子の運動量の大きさを表す第 2 の式が得られます。

この運動量の別の表現を等しくすると、

${\displaystyle (hf-hf'+m_{\text{e}}c^{2})^{2}-m_{\text{e}}^{\,2}c^{4}=\left(hf\right)^{2}+\left(hf'\right)^{2}-2h^{2}ff'\cos {\theta },}$

二乗を計算し、項を消去して並べ替えると、さらに次の式が得られます。

${\displaystyle 2hfm_{\text{e}}c^{2}-2hf'm_{\text{e}}c^{2}=2h^{2}ff'\left(1-\cos \theta \right).}$

両辺を2 hff ′ m _e cで割ると、

${\displaystyle {\frac {c}{f'}}-{\frac {c}{f}}={\frac {h}{m_{\text{e}}c}}\left(1-\cos \theta \right).}$

最後に、fλ = f ′ λ ′ = cなので、

さらに、出射電子と入射光子の方向との角度φは次のように指定されることがわかる。

磁気コンプトン散乱は、前述の手法の拡張であり、高エネルギーの円偏光光子を照射した結晶試料の磁化を利用します。散乱光子のエネルギーを測定し、試料の磁化を反転させることで、2つの異なるコンプトンプロファイル（スピンアップ運動量用とスピンダウン運動量用）が生成されます。これら2つのプロファイルの差を取ることで、磁気コンプトンプロファイル（MCP）が得られます。MCPは次の式で表されます。${\displaystyle J_{\text{mag}}(\mathbf {p} _{z})}$―電子スピン密度の一次元投影図。 $${\displaystyle J_{\text{mag}}(\mathbf {p} _{z})={\frac {1}{\mu }}\iint _{-\infty }^{\infty }(n_{\uparrow }(\mathbf {p} )-n_{\downarrow }(\mathbf {p} ))d\mathbf {p} _{x}d\mathbf {p} _{y}}$$ どこ${\displaystyle \mu }$はシステム内のスピン不対電子の数であり、${\displaystyle n_{\uparrow }(\mathbf {p} )}$そして${\displaystyle n_{\downarrow }(\mathbf {p} )}$これらはそれぞれ、多数スピン電子と少数スピン電子の3次元電子運動量分布である。

この散乱過程は非干渉性であるため（散乱光子間に位相関係がない）、MCPは試料のバルク特性を表し、基底状態のプローブとなります。つまり、MCPは密度汎関数理論などの理論的手法との比較に最適です。MCPの下の面積はシステムのスピンモーメントに直接比例するため、全モーメント測定法（SQUID磁力計など）と組み合わせることで、システムの全モーメントに対するスピンと軌道の両方の寄与を分離することができます。MCPの形状は、システムの磁性の起源についての洞察も与えてくれます。^{[ 11 ] [ 12 ]}

逆コンプトン散乱は天体物理学において重要である。X線天文学では、ブラックホールを取り巻く降着円盤は熱スペクトルを生成すると考えられている。このスペクトルから生成された低エネルギー光子は、周囲のコロナにある相対論的電子によって高エネルギーに散乱される。この現象は相対論的反射と呼ばれ、降着ブラックホールのX線スペクトル（0.2～10 keV）のべき乗則成分を引き起こすと推測されている。^{[ 13 ]} 

この効果は、宇宙マイクロ波背景放射（CMB）からの光子が銀河団を取り巻く高温ガスを通過する際にも観測される。CMB光子はこのガス中の電子によって高エネルギーに散乱され、その結果、スニャエフ・ゼルドビッチ効果が生じる。スニャエフ・ゼルドビッチ効果の観測は、赤方偏移にほとんど依存しない銀河団検出手段を提供する。

シンクロトロン放射施設の中には、蓄積された電子ビームからレーザー光を散乱させるものがあります。このコンプトン後方散乱により、MeVからGeVの範囲の高エネルギー光子が生成され^{[ 14 ] [ 15 ]、}その後、原子核物理実験に使用されます。

非線形逆コンプトン散乱（NICS）は、電子などの荷電粒子との相互作用中に、強い電磁場によって生じる複数の低エネルギー光子が、高エネルギー光子（X線またはガンマ線）に散乱される現象です。^{[ 16 ]}これは非線形コンプトン散乱や多光子コンプトン散乱とも呼ばれます。これは逆コンプトン散乱の非線形バージョンであり、荷電粒子による多光子吸収の条件は、例えばレーザーによって生成されるような非常に強い電磁場によって満たされます。^{[ 17 ]}

非線形逆コンプトン散乱は、NICSが荷電粒子の静止エネルギーと同等以上のエネルギーを持つ光子を生成できるため、高エネルギー光子を必要とするすべてのアプリケーションにとって興味深い現象です。^{[ 18 ]}その結果、NICS光子は、対生成、コンプトン散乱、核反応などの他の現象を誘発するために使用でき、非線形量子効果や非線形QEDを調査するために使用できます。^{[ 16 ]}