正定値関数

数学において、正定値関数は、文脈に応じて 2 種類の関数のいずれかになります。

を実数の集合とし、を複素数の集合とします。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

関数が半正定値関数 と呼ばれるのは、任意の^{[説明が必要]}実数x ₁ , …, x _nに対してn  ×  n行列が成り立つときである。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})}$

は半正定値行列である。^[要出典]

定義により、 のような半正定値行列はエルミート行列であるため、f (− x ) はf ( x ) の複素共役です。${\displaystyle A}$

特に、次のことが必要である（ただし十分ではない）。

${\displaystyle f(0)\geq 0~,\quad |f(x)|\leq f(0)}$

（これらの不等式はn = 1, 2 の条件から導かれます。）

不等式を逆にすると、関数は負の半定値になります。弱い不等式を強い不等式 (<, > 0) に置き換えると、 関数は定値になります。

が実内積空間である場合、 は任意 の に対して正定値である。およびに対して、${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$${\displaystyle g_{y}\colon X\to \mathbb {C} }$${\displaystyle x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^ {i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_ {k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1} ^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.}$

正定値関数の非負線形結合は再び正定値であるため、余弦関数は上記の関数の非負線形結合として正定値です。

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).}$

任意のベクトル空間の正定値関数から正定値関数を簡単に作成できます。線形関数を選択して定義します。すると、 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{*}:=f\circ\phi }$

${\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f ^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_ {k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\チルダ {A}}^{(f)}u\geq 0,}$

ここで、は線形であるため、区別できる。^[1]${\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}$${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})}$${\displaystyle \phi}$

正定値はフーリエ変換の理論で自然に生じます。正定値であるためには、 f がg ( y ) ≥ 0 の実数直線上の関数gのフーリエ変換であれば十分であることが直接わかります。

逆の結果はボホナーの定理であり、実数直線上の任意の連続正定値関数は（正の）測度のフーリエ変換であることを述べています。^[2]

統計学、特にベイズ統計学では、定理は通常、実関数に適用されます。通常、内の点で何らかのスカラー値のn 回のスカラー測定が行われ、相互に近い点では、測定値の相関性が高いことが求められます。実際には、結果として得られる共分散行列 ( n  ×  n行列) が常に正定値になるように注意する必要があります。1 つの方法は、相関行列Aを定義し、これにスカラーを乗じて共分散行列を得るというものです。この行列は正定値である必要があります。ボクナーの定理によれば、2 つの点間の相関が (関数fを介して) それらの間の距離のみに依存する場合、共分散行列Aが正定値になるように関数f は正定値である必要があります。クリギングを参照してください。 ${\displaystyle R^{d}}$

この文脈では、フーリエ用語は通常使用されず、代わりにf ( x ) は対称確率密度関数 (PDF)の特性関数であると述べられます。

任意の局所コンパクトアーベル位相群上で正定値関数を定義できます。ボクナーの定理はこの文脈に拡張されます。群上の正定値関数は、ヒルベルト空間上の群の表現論（つまり、ユニタリ表現の理論）で自然に発生します。

あるいは、任意の非ゼロのに対してであるとき、関数は原点の近傍D上で正定値関数と呼ばれる。^{[3] [4]}${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f(x)>0}$${\displaystyle x\in D}$

この定義は上記の定義 1 と矛盾することに注意してください。

物理学では、この要件は時々省略される（例えば、CorneyとOlsen ^[5]を参照）。 ${\displaystyle f(0)=0}$

• 正定値性
• 正定値カーネル

• Christian Berg、Christensen、Paul Ressel。半群の調和解析、GTM、Springer Verlag。
• Z. Sasvári、Positive Definite and Definitizable Functions、Academie Verlag、1994
• ウェルズ、JH。 Williams、LR分析における埋め込みと拡張。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Band 84。Springer-Verlag、ニューヨーク-ハイデルベルク、1975。vii+108 pp。

• 「正定値関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]