スピノール束

微分幾何学では、スピン構造が与えられた場合、${\displaystyle n}$次元の向き付け可能なリーマン多様体${\displaystyle (M,g),\,}$スピノル束は複素ベクトル束として定義される。${\displaystyle \pi _{\mathbf {S} }\colon {\mathbf {S} }\to M\,}$対応する主束に関連付けられている${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$スピンフレームの${\displaystyle M}$そしてその構造群のスピン表現${\displaystyle {\mathrm {スピン} }(n)\,}$スピノルの空間において$\displaystyle \Delta _{n}}$。

スピノル束の一部${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$これはスピノル場と呼ばれます。

させて${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })}$リーマン多様体上のスピン構造である${\displaystyle (M,g),\,}$すなわち、向き付けられた正規直交フレーム束の同変リフト${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$二重被覆に関して$\displaystyle \rho \colon {\mathrm {スピン} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)}$スピン群による特殊直交群。

スピノル束${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$は^{[ 1 ]}複素ベクトル束として定義される。$${\displaystyle {\mathbf {S} }={\mathbf {P} }\times _{\kappa }\Delta _{n}\,}$$スピン構造 に関連する${\displaystyle {\mathbf {P} }}$スピン表現を介して${\displaystyle \kappa \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,}$どこ${\displaystyle {\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,}$は、ヒルベルト空間に作用するユニタリ作用素の群を表す。${\displaystyle {\mathbf {W} }.\,}$スピン表現${\displaystyle \kappa }$グループの忠実かつ統一的な表現である${\displaystyle {\mathrm {スピン} }(n).}$^{[ 2 ]}

• クリフォードバンドル
• クリフォードモジュールバンドル
• 直交フレームバンドル
• スピン幾何学
• スピノール
• スピノル表現

• ローソン、H.ブレイン；ミケルソン、マリー＝ルイーズ（ 1989）。スピン幾何学。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-08542-5。
• フリードリヒ、トーマス（2000）、『リーマン幾何学におけるディラック作用素』、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2055-1

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