古典電磁気学と特殊相対性理論

この方程式は 2 つの慣性系を考慮しています。プライム付きのフレームは、プライムなしのフレームに対して速度vで移動しています。プライム付きのフレームで定義された場はプライムで示され、プライムなしのフレームで定義された場にはプライムがありません。速度vに平行な場の成分はE _∥とB _∥で表され、 vに垂直な場の成分はE _⟂とB _⟂で表されます。相対速度vで移動するこれら 2 つのフレームでは、E場とB場は次のように関係付けられます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E_{\Parallel }} '&=\mathbf {E_{\Parallel }} \\\mathbf {B_{\Parallel }} '&=\mathbf {B_{\Parallel }} \\\mathbf {E_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\\mathbf {B_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \gamma \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

はローレンツ因子と呼ばれ、cは自由空間における光速です。ローレンツ因子 ( γ ) は両方のシステムで同じです。逆変換は、 v → − vの置換を除いて同じです。

同等の別の表現は次のとおりです。^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {B} '&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}}$

どこ$\displaystyle \textstyle \mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} \Vert }}}$は速度単位ベクトルです。以前の表記法では、実際には次のようになります。${\displaystyle (\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {E} _{\Parallel }}$そして${\displaystyle (\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {B} _{\parallel }}$。

x軸に沿った相対運動v = ( v , 0, 0)について、成分ごとに見ていくと、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}E'_{x}&=E_{x}&\qquad B'_{x}&=B_{x}\\E'_{y}&=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}}$

ある座標系においていずれかの場がゼロであっても、他のすべての座標系においても必ずしもゼロになるとは限りません。これは、例えば、プライムなしの電場をプライム付きの電場への変換においてゼロにすることで確認できます。この場合、磁場の向きによっては、プライムなしの系には電場が存在しないにもかかわらず、プライム付きの系では電場が存在するように見えることがあります。

これは、2つのフレームで全く異なる一連の出来事が見られるという意味ではなく、同じ一連の出来事が2つの異なる方法で記述されているという意味です（下記の§ 動く磁石と導体の問題を参照）。

電荷qの粒子がフレームSに対して速度uで運動する場合、フレームSにおけるローレンツ力は次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B} }$

フレームS ′におけるローレンツ力は次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'} }$

u = 0の場合のローレンツ力の変換の導出はここに示されています。^{[ 4 ]}より一般的なものはここに示されています。^{[ 5 ]}

この形式の変換は、共変テンソルである電磁テンソル（以下で定義）を導入することで、よりコンパクトにすることができます。

電束密度Dと磁場強度Hについては、構成関係とc ²の結果を用いて、

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \,,\quad c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,,}$

与える

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}}$

EとBについても同様で、DとHは電磁変位テンソルを形成する。

電磁場のより単純な別の変換では、電磁ポテンシャル、つまり電位φと磁気ポテンシャルAを使用します。^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi '&=\gamma \left(\varphi -vA_{\parallel }\right)\\A_{\parallel }'&=\gamma \left(A_{\parallel }-{\frac {v\varphi }{c^{2}}}\right)\\A_{\bot }'&=A_{\bot }\end{aligned}}}$

ここで、A∥_{はフレーム}v間の相対速度の方向に平行なAの成分であり、A⟂_{は垂直成分である。これらは他のローレンツ変換（時間-位置変換やエネルギー-運動量変換など）の特徴的な形式によく似ているが、上記の}EとBの変換はやや複雑である。これらの成分は次のようにまとめることができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} '&=\mathbf {A} -{\frac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\varphi '&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}}$

電荷密度ρと電流密度Jについても同様で^ある[ ^{6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\parallel }'&=\gamma \left(J_{\parallel }-v\rho \right)\\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{c^{2}}}J_{\parallel }\right)\\J_{\bot }'&=J_{\bot }\end{aligned}}}$

構成要素をまとめて収集する：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} '&=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

速度v ≪ cの場合、相対論的因子γ ≈ 1 となり、次の式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\\mathbf {B} '&\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \\\mathbf {J} '&\approx \mathbf {J} -\rho \mathbf {v} \\\rho '&\approx \rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} \end{aligned}}}$

そのため、マクスウェル方程式において空間座標と時間座標を区別する必要はない。

選択された参照系によって、電磁現象が電気的効果、磁気的効果、またはその両方の組み合わせとして捉えられるかどうかが決まります。著者は通常、特殊相対性理論と電荷不変性を考慮に入れると、静電気学から磁気を導き出します。ファインマン物理学講義（第2巻、第13～16章）では、この方法を用いて、電流が流れる導線の隣で平行に運動する電荷に働く磁力を導出しています。ハスケル^{[ 8 ]}とランダウ^{[ 9 ]も参照してください。}

電荷が電流が流れる導線に対して垂直に移動する場合には、静電気学を用いて磁力を導出することはできません。この場合、導線内の電荷の運動による電場の相対論的圧縮を考慮することで磁力を導出することができます。^{[ 10 ]}

上記の変換規則は、ある座標系における電場が別の座標系における磁場に寄与し、その逆もまた同様であることを示している。^{[ 11 ]}これはしばしば、電場と磁場は電磁場と呼ばれる単一の物体の相互に関連する2つの側面であると説明される。実際、電磁場全体は、電磁テンソルと呼ばれる単一のランク2テンソルで表すことができる（下記参照）。

異なる参照系における電気現象と磁気現象の混在を示す有名な例として、「動く磁石と導体の問題」があり、これはアインシュタインが1905年の特殊相対性理論に関する論文で引用したものである。

導体が静止した磁石の磁場を一定速度で通過すると、導体内の電子に磁力が働くため渦電流が発生します。一方、導体の静止系では、磁石は移動し、導体は静止しています。古典電磁気理論では、まったく同じ微視的な渦電流が発生すると予測されますが、それは電気力によるものです。^{[ 12 ]}

上記の相対論的変換は、電場と磁場が結合して、6 つの成分を持つ数学的オブジェクト、すなわち反対称2 階テンソルまたは双ベクトルになることを示唆しています。これは電磁場テンソルと呼ばれ、通常はF ^μνと表記されます。行列形式では次のようになります。 ^{[ 13 ]}

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

ここでc は光速であり、自然単位ではc = 1 です。

電場と磁場を反対称テンソルに統合する別の方法として、E / c → BおよびB → − E / cを置き換えることで、そのホッジ双対G ^{μν を}得ることができます。

${\displaystyle G^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{pmatrix}}}$

特殊相対性理論の文脈では、これら両方ともローレンツ変換に従って変換される。

${\displaystyle F^{\alpha '\beta '}=\Lambda ^{\alpha '}{}_{\mu }\Lambda ^{\beta '}{}_{\nu }F^{\mu \nu }}$、

ここで、Λ ^{α ′} _νは、ある基準系から別の基準系への変換を表すローレンツ変換テンソルである。同じテンソルが総和の中で2回使用されている。

電荷密度と電流密度、すなわち電場の発生源も、4次元ベクトルに組み合わされる。

${\displaystyle J^{\alpha }=\left(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$

4電流と呼ばれる。

これらのテンソルを使用すると、マクスウェル方程式は次のように簡略化されます。^{[ 13 ]}

偏微分はさまざまな方法で記述できます。4-勾配を参照してください。上記の最初の式は、ガウスの法則（β = 0の場合）とアンペール-マクスウェルの法則（β = 1、2、3の場合）の両方に対応します。2 番目の式は、残りの 2 つの式、磁気に関するガウスの法則（ β = 0の場合）とファラデーの法則（β = 1、2、3の場合）に対応します。

これらのテンソル方程式は明らかに共変であり、つまり添え字の位置から共変であることがわかります。このマクスウェル方程式の簡略化された形式は、一部の物理学者の間で共有されている考え方、すなわち物理法則はテンソルを用いて記述するとより単純な形になるという考え方を示しています。

F ^αβの指数を下げることでF _αβを得る:

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\eta _{\alpha \lambda }\eta _{\beta \mu }F^{\lambda \mu }}$

2番目の式は、 F _αβを用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle \varepsilon ^{\delta \alpha \beta \gamma }{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}={\dfrac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}+{\dfrac {\partial F_{\gamma \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}=0}$

ここで、ε ^δαβγは反変レヴィ・チヴィタ記号です。この式では、各項から次の項へ、α → β → γ → αというインデックスの巡回置換が行われていることに注目してください。

もう一つの共変的な電磁気的対象は、電磁応力エネルギーテンソルであり、これはポインティングベクトル、マクスウェル応力テンソル、および電磁エネルギー密度を含む共変的なランク2テンソルである。

電磁場テンソルは次のように記述することもできます^{[ 14 ]}

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}\,,}$

どこ

${\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\varphi }{c}},A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,,}$

4つの潜在能力と

${\displaystyle x_{\alpha }=(ct,-x,-y,-z)}$

は4ポジションです。

ローレンツゲージの4ポテンシャルを使用すると、別の明らかに共変的な定式化が単一の方程式で見出される（ベルンハルト・リーマンによる方程式のアーノルド・ゾンマーフェルトによる一般化、リーマン・ゾンマーフェルト方程式^{[ 15 ]}またはマクスウェル方程式の共変形式^{[ 16 ]}として知られている）。

どこ${\displaystyle \Box }$これはダランベール演算子、または4ラプラシアンです。