局所隠れ変数理論

1964 年のベルの証明から始まる一連の関連定理は、量子力学が局所隠れ変数と両立しないことを示している。しかし、ベルが指摘したように、局所隠れ変数モデルを使用して、量子現象の限定されたセットを模倣することができる。ベルは、スピン 1/2 粒子、または量子情報理論の用語では単一の量子ビットに対する量子測定のための局所隠れ変数モデルを提供した。 ^{[ 2 ]}ベルのモデルは後にN. David Merminによって簡略化され、密接に関連するモデルがSimon B. KochenとErnst Speckerによって提示された。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}これらのモデルの存在は、グリーソンの定理が単一の量子ビットの場合に適用されないという事実に関連している。 ^{[ 6 ]}

ベルはまた、それまでの量子もつれの議論は、2 つの粒子に対する測定結果が完全に相関しているか、完全に反相関している場合に焦点を当てていたと指摘した。これらの特殊なケースは、局所隠れ変数を使用して説明することもできる。^{[ 2 ] [ 7 ] [ 8 ]}

2つの粒子の分離可能な状態については、2つの粒子に対する任意の測定に対して単純な隠れ変数モデルが存在する。驚くべきことに、すべてのフォン・ノイマン測定を隠れ変数モデルで記述できるエンタングル状態も存在する。 ^{[ 9 ]} このような状態はエンタングルしているが、ベル不等式には違反しない。いわゆるヴェルナー状態は、タイプの任意の変換に対して不変な単一パラメータの状態族である。${\displaystyle U\otimes U,}$どこ${\displaystyle U}$はユニタリ行列である。2つの量子ビットの場合、それらは次のように与えられるノイズのある一重項である。 $${\displaystyle \varrho =p\vert \psi ^{-}\rangle \langle \psi ^{-}\vert +(1-p){\frac {\mathbb {I} }{4}},}$$ ここで一重項は次のように定義される。${\displaystyle \vert \psi ^{-}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\vert 01\rangle -\vert 10\rangle \right)}$。

ラインハルト・F・ヴェルナーは、このような状態が隠れ変数モデルを可能にすることを示した。${\displaystyle p\leq 1/2}$絡み合っている場合${\displaystyle p>1/3}$隠れ変数モデルの上限は、${\displaystyle p=2/3}$^{[ 10 ]}フォン・ノイマン測定だけでなく、正値演算子値測定 ( POVM ) も許容されるヴェルナー状態に対しても隠れ変数モデルが構築されている。[ ^{11 ]ノイズ}のある最大エンタングル状態に対しても隠れ変数モデルが構築され、白色ノイズが混入した任意の純粋状態にも拡張されている。^{[ 12 ]} 2 体システムに加えて、多体システムの場合の結果もある。3 量子ビット量子状態に対して、パーティでの任意のフォン・ノイマン測定に対する隠れ変数モデルが提示されている。^{[ 13 ]}