基本的な定義 2つの点電荷の電気双極子モーメントを定義する量。 電気双極子の電場 を示すアニメーション。この双極子は、互いに反対の極性を持つ2つの点電荷が近接して配置されている構造をしている。点状の双極子から有限サイズの電気双極子への変化が示されている。
水分子
は 、その電子が「曲がった」構造の中で不均等に共有されているため、極性を持つ。電荷の分離が生じ、中央部（赤色部分）に負電荷、両端（青色部分）に正電荷が集中する。
物理学では、物体の寸法を無視して点状の物体、すなわち点粒子として扱うことができる場合が多い。 電荷 を持つ点粒子は点電荷 と呼ばれる。電荷+ q を持つ点電荷と電荷−q を持つ点電荷が距離 、 電気双極子 （電気多重極子 の単純なケース）を構成する。この場合、電気双極子モーメントの大きさはp = q d {\displaystyle p=qd}
より厳密な数学的定義としてはベクトル代数 を用いる方法がある。なぜなら、2つの点電荷の双極子モーメントのように、大きさと方向を持つ量はベクトル形式で表現できるからである。p = q d {\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} } d 変位ベクトル です。電気双極子モーメントベクトルp 電場 に沿う傾向があります（そして、双極子自体の電荷によって生成される電気束線は正電荷から負電荷に向かっており、外部電場の電気束線とは反対方向になる傾向があることに注意してください）。この符号規約は物理学で使用されていますが、化学では双極子の符号規約が逆で、正電荷から負電荷に向かっています。[ 1 ]
この2電荷系の理想化として、2つの（無限大の）電荷がごくわずかにしか離れていないが、有限のp 分極密度 の定義に用いられる。
エネルギーとトルク 一様な電場E における電気双極子p とそのトルクτ 。 電気双極子モーメントp を持つ物体は、外部電場Eに置かれると トルク τ を受けます。このトルクは双極子を電場に平行に整列させる傾向があります。電場に平行に整列した双極子は、電場とある非ゼロの角度をなす双極子よりもポテンシャルエネルギー が低くなります。双極子が占める小さな領域全体に空間的に均一な電場がある場合、エネルギーU とトルクはτ {\displaystyle {\boldsymbol {\タウ }}} [ 2 ] U = − p ⋅ E 、 τ = p × E 。 {\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} ,\qquad \ {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} .}
スカラードット「⋅ × 」は ベクトル外積 を表します。電場ベクトルと双極子ベクトルは平面を定義し、トルクはその平面に垂直で、右手の法則 で与えられる方向に作用します。このような均一な電場内の双極子はねじれたり振動したりしますが、双極子の線形加速度がなく、全体として正味の力は受けません。双極子は外部電場に沿うようにねじれます。
しかし、不均一な電場においては、双極子の一方の端にかかる力と他方の端にかかる力が釣り合わなくなるため、双極子は正味の力を受ける可能性がある。この正味の力は、一般的に双極子モーメントと平行であることが示される。
より一般的に、体積V に閉じ込められた電荷の連続分布の場合、双極子モーメントの対応する式は次のようになります。 p （ r ） = ∫ V ρ （ r ′ ） （ r ′ − r ） d 3 r ′ 、 {\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\int _{V}\rho (\mathbf {r} ')\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)d^{3}\mathbf {r} ',} r は観測点の位置を示し、d 3 r ′ は V 内の微小体積を表す。点電荷の配列の場合、電荷密度はディラックのデルタ関数 の和となる。 ρ （ r ） = ∑ 私 = 1 N q 私 δ （ r − r 私 ） 、 {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right),} r i は q i へのベクトルである。上記の積分式に代入すると、次のようになる。 p （ r ） = ∑ 私 = 1 N q 私 ∫ V δ （ r 0 − r 私 ） （ r 0 − r ） d 3 r 0 = ∑ 私 = 1 N q 私 （ r 私 − r ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (\mathbf {r} )&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\int _{V}\delta {\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)}\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\,d^{3}\mathbf {r} _{0}\\[1ex]&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right).\end{aligned}}}
この式は、電荷中性でN = 2r + 、負電荷の位置をr − p （ r ） = q 1 （ r 1 − r ） + q 2 （ r 2 − r ） = q （ r + − r ） − q （ r − − r ） = q （ r + − r − ） = q d 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (\mathbf {r} )&=q_{1}\left(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} \right)+q_{2}\left(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} \right)=q\left(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} \right)-q\left(\mathbf {r} _{-}-\mathbf {r} \right)\\&=q\left(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-}\right)=q\mathbf {d} ,\end{aligned}}} 位置ベクトル が原点からその点に向かって外向きに向いている ことから、双極子モーメントベクトルが負電荷から正電荷に向かっていることを示している。
双極子モーメントは、反対の電荷のペアや均一な電場中の電気的に中性の導体など、全体として中性の電荷系において特に有用です。反対の電荷のペアの配列として視覚化されるこのような系の場合、電気双極子モーメントの関係式は次のようになります。 p （ r ） = ∑ 私 = 1 N ∫ V q 私 [ δ （ r 0 − （ r 私 + d 私 ） ） − δ （ r 0 − r 私 ） ] （ r 0 − r ） d 3 r 0 = ∑ 私 = 1 N q 私 [ r 私 + d 私 − r − （ r 私 − r ） ] = ∑ 私 = 1 N q 私 d 私 = ∑ 私 = 1 N p 私 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (\mathbf {r} )&=\sum _{i=1}^{N}\,\int _{V}q_{i}\left[\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\left(\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}\right)\right)-\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\right]\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\ d^{3}\mathbf {r} _{0}\\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\left[\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}-\mathbf {r} -\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right)\right]\\&=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d} _{i}=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {p} _{i}\,,\end{aligned}}} r は観測点であり、d i r ' i r i i は 双極子i 内の負電荷の位置、r ' i は ベクトル和です。（全体の電荷が中性であるため、双極子モーメントは観測者の位置 rに依存しません。）したがって、システム全体の電荷がゼロであれば、 p の値は基準点の選択に依存しません。
陽子 の双極子モーメントなど、中性でない系の双極子モーメントについて議論する場合、基準点の選択に依存する問題が生じます。このような場合、基準点として任意の原点ではなく、系の質量中心を選択するのが慣例です。 [ 3 ] 固有の性質です。
電気双極子の電位と電場 物理的な 電気双極子の電位分布図。負の電位は青色、正の電位は赤色で示されている。理想的な双極子は、微小な距離で隔てられた2つの反対の電荷から構成されます。ここでは、距離d > 0にある2つの反対の電荷から始めて、 d → 0
互いに近接した2つの反対電荷± q は、次の形式の電位を持つ。 V （ r ） = 1 4 π ε 0 （ q | r − r + | − q | r − r − | ） 、 {\displaystyle V(\mathbf {r} )\ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{+}\right|}}-{\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{-}\right|}}\right),} ρ （ r ） = − ε 0 ∇ 2 V = q δ （ r − r + ） − q δ （ r − r − ） {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )\ =\ -\varepsilon _{0}\nabla ^{2}V\ =\ q\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{+}\right)-q\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{-}\right)} クーロンの法則 によれば、電荷分離は次のようになる。 d = r + − r − 、 d = | d | 。 {\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-}\,,\quad d=|\mathbf {d} |\,.}
R を中点に対する位置ベクトルとする。r + + r − 2 {\displaystyle {\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}}} R ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}} R = r − r + + r − 2 、 R ^ = R | R | 。 {\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}},\quad {\hat {\mathbf {R} }}={\frac {\mathbf {R} }{|\mathbf {R} |}}\,.}
テイラー展開d R {\displaystyle {\tfrac {d}{R}}} 多重極展開 四重極§ 電気四重極 [ 4 ] [ 5 ] V （ R ） = 1 4 π ε 0 q d ⋅ R ^ R 2 + O （ d 3 R 3 ） ≈ 1 4 π ε 0 p ⋅ R ^ | R | 2 = 1 4 π ε 0 p ⋅ R | R | 3 、 {\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&=\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{R^{2}}}+{\mathcal {O}}{\left({\frac {d^{3}}{R^{3}}}\right)}\\[1ex]&\approx \ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{|\mathbf {R} |^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {R} }{|\mathbf {R} |^{3}}}\,,\end{aligned}}} Rが d に比べて大きい場合、消滅します。[ 注 2 ] p は、上記のとおりです。 p = q d 。 {\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} \,.}
双極子電位の結果も次のように表すことができます。[ 7 ] V （ R ） ≈ − p ⋅ ∇ 1 4 π ε 0 R 、 {\displaystyle V(\mathbf {R} )\approx -\mathbf {p} \cdot \mathbf {\nabla } {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\,,} Rに対して速く減衰するということである。
双極子の電場は電位の負の勾配であり、次のようになる。[ 7 ] E （ R ） = 3 （ p ⋅ R ^ ） R ^ − p 4 π ε 0 R 3 。 {\displaystyle \mathbf {E} {\left(\mathbf {R} \right)}={\frac {3\left(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\right){\hat {\mathbf {R} }}-\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}\,.}
したがって、互いに近接した2つの反対電荷は、厳密には理想的な電気双極子ではない ものの（短距離での電位は双極子の電位とは異なるため）、それらの距離よりもはるかに大きい距離では、双極子モーメントp が電位と電場に直接現れる。
2つの電荷を近づける（d を小さくする）と、d / Rの比に基づく多重極展開における双極子項が、距離 R がさらに近づくにつれて唯一の重要な項となり、分離が無限小の極限では、この展開における双極子項だけが重要となる。したがって、 dを無限小にすると、 pを 一定に保つためには双極子電荷を大きくする必要がある。この極限過程の結果、「点双極子」が生じる。
双極子モーメント密度と分極密度 電荷配列の双極子モーメント、 p = ∑ 私 = 1 N q 私 d 私 、 {\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d} _{i}\,,} 密度 p ( r ) には、アレイの位置と双極子モーメントの両方が含まれます。アレイを含む領域の電場を計算する際には、マクスウェル方程式が解かれ、電荷アレイに関する情報は、マクスウェル方程式の分極密度 P ( r ) に含まれています。電場の評価の細かさに応じて、電荷アレイに関する情報はP ( r ) で表現する必要があります。以下で説明するように、 P r ) = p ( r ) とすることで十分な精度が得られる場合もあります。より詳細な記述が必要な場合 (たとえば、双極子モーメント密度に 四 P ( r ) が必要になる場合もあります。
ここでは、マクスウェル方程式 に現れる分極密度P ( r ) が、電荷の全体的な中性配列の双極子モーメントpと、 双極子モーメント密度 p ( r ) (双極子モーメントだけでなく配列の位置も表す) とどのように関係しているかを詳しく調べます。以下では静的な状況のみを考慮するため、P ( r ) は時間依存性を持たず、変位 電流 もありません。まず、分極密度P ( r )について少し説明します。その説明に続いて、いくつかの具体的な例を示します。
電荷と電流を「自由」電荷と「束縛」電荷と電流に分割することに基づくマクスウェル方程式 の定式化は、D場 とP 場の導入につながる。 D = ε 0 E + P 、 {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,,} Pは 分極密度 と呼ばれる。この定式化では、この方程式の発散は次のようになる。 ∇ ⋅ D = ρ f = ε 0 ∇ ⋅ E + ∇ ⋅ P 、 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} +\nabla \cdot \mathbf {P} \,,} E における発散項は全 電荷であり、ρf は 「自由電荷」であるため、次の関係式が得られます。 ∇ ⋅ P = − ρ b 、 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{\text{b}}\,,} ρb は 束縛電荷であり、これは全電荷密度と自由電荷密度の差を意味する。
余談だが、磁気効果がない場合、マクスウェル方程式は次のように規定する。 ∇ × E = 0 、 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ={\boldsymbol {0}}\,,} ∇ × （ D − P ） = 0 、 {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {D} -\mathbf {P} \right)={\boldsymbol {0}}\,,}
ヘルムホルツ分解 の適用：[ 8 ] D − P = − ∇ Φ 、 {\displaystyle \mathbf {D} -\mathbf {P} =-\nabla \Phi \,,} φ に対して、以下のようになる。 ∇ ⋅ （ D − P ） = ε 0 ∇ ⋅ E = ρ f + ρ b = − ∇ 2 Φ 。 {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {D} -\mathbf {P} )=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}=-\nabla ^{2}\Phi \,.}
電荷が自由電荷と束縛電荷に分けられ、電位が分割されると仮定します。 Φ = Φ f + Φ b 。 {\displaystyle \Phi =\Phi _{\text{f}}+\Phi _{\text{b}}\,.}
φ に関する境界条件の充足は、φ f とφ b の間で任意に分割できます。なぜなら、合計φ だけがこれらの条件を満たす必要があるからです。したがって、P は 、境界条件が都合よく機能する、束縛として選択された電荷による電場に単純に比例します。[ 注 3 ] [ 注 4 ] しない 場合、考えられる選択肢の 1 つはP = ε 0 E
次に、媒質のさまざまな双極子モーメントの記述が、マクスウェル方程式に現れる分極とどのように関連しているかについて説明します。
電荷密度と双極子密度を持つ媒体 次に説明するように、分極モーメント密度p ( r )のモデルは分極をもたらします P （ r ） = p （ r ） {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} (\mathbf {r} )} p ( r ) の場合、対応する束縛電荷密度は単純に ∇ ⋅ p （ r ） = − ρ b 、 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=-\rho _{\text{b}},} 後ほど部分積分によって 証明するように、ただし、p ( r ) が 2 つの領域の境界で双極子モーメントに急激な変化を示す場合、∇· p ( r ) は束縛電荷の表面電荷成分をもたらします。この表面電荷は、 面積分 によって、または境界での不連続条件を使用して処理できます。これは、以下のさまざまな例で示されています。
双極子モーメントと分極の関係の最初の例として、連続電荷密度ρ ( r )と連続双極子モーメント分布p ( r )からなる媒質を考えます。[ 注5 ] r における電位は次のようになります。 [ 10 ] [ 11 ] Φ （ r ） = 1 4 π ε 0 ∫ ρ （ r 0 ） | r − r 0 | d 3 r 0 + 1 4 π ε 0 ∫ p （ r 0 ） ⋅ （ r − r 0 ） | r − r 0 | 3 d 3 r 0 、 {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\ +{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0},} ρ ( r )は不対電荷密度、p ( r )は双極子モーメント密度である。[ 注6 ] ∇ r 0 1 | r − r 0 | = r − r 0 | r − r 0 | 3 {\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}} ∫ p （ r 0 ） ⋅ （ r − r 0 ） | r − r 0 | 3 d 3 r 0 = ∫ p （ r 0 ） ⋅ ∇ r 0 1 | r − r 0 | d 3 r 0 、 = ∫ ∇ r 0 ⋅ p （ r 0 ） | r − r 0 | d 3 r 0 − ∫ ∇ r 0 ⋅ p （ r 0 ） | r − r 0 | d 3 r 0 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0}={}&\int \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\\={}&\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}-\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\end{aligned}}} ∇ ⋅ （ A B ） = （ ∇ ⋅ A ） B + A ⋅ （ ∇ B ） ⟹ A ⋅ （ ∇ B ） = ∇ ⋅ （ A B ） − （ ∇ ⋅ A ） B {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\implies \mathbf {A} \cdot (\nabla {B})=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}} Φ （ r ） = 1 4 π ε 0 ∫ ρ （ r 0 ） − ∇ r 0 ⋅ p （ r 0 ） | r − r 0 | d 3 r 0 、 {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho {\left(\mathbf {r} _{0}\right)}-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} {\left(\mathbf {r} _{0}\right)}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},}
電位は総電荷によって決まり、上記のようにそれは以下から構成されます。 ρ 合計 （ r 0 ） = ρ （ r 0 ） − ∇ r 0 ⋅ p （ r 0 ） 、 {\displaystyle \rho _{\text{total}}\left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\,,} − ∇ r 0 ⋅ p （ r 0 ） = ρ b 。 {\displaystyle -\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho _{\text{b}}\,.}
つまり、この媒質においては、双極子モーメント密度p ( r ) が分極密度 P の役割を果たします。なお、 p ( r ) は、束縛電荷密度（この近似でモデル化されている値）に等しい非ゼロの発散を持ちます。
このアプローチは、双極子、四重極子など、すべての多重極子を含むように拡張できることに注意されたい。[ 12 ] [ 13 ] ∇ ⋅ D = ρ f 、 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}\,,} P （ r ） = p 浸漬 − ∇ ⋅ p クワッド + ⋯ 、 {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} _{\text{dip}}-\nabla \cdot \mathbf {p} _{\text{quad}}+\cdots \,,} Pが双極子モーメント密度 p だけでは決定されないことを意味します。たとえば、電荷アレイからの散乱を考えると、異なる多重極は電磁波を異なって独立して散乱するため、双極子近似を超える電荷の表現が必要になります。[ 14 ] [ 15 ]
表面電荷 同一の双極子が均一に配列したものは、表面電荷に相当する。 上記では、双極子による電位の式における最初の項についての議論は後回しにしました。発散を積分すると、表面電荷が得られます。右の図は、表面電荷が発生する理由を直感的に理解するのに役立ちます。この図は、2つの表面の間に均一に配置された同一の双極子を示しています。内部では、双極子の頭部と尾部は隣接しており、互いに打ち消し合います。しかし、境界となる表面では、打ち消し合いは発生しません。代わりに、一方の表面では双極子の頭部が正の表面電荷を生成し、反対側の表面では双極子の尾部が負の表面電荷を生成します。これら2つの反対の表面電荷は、双極子の方向とは逆の方向に正味の電場を生成します。
この考え方は、上記の電位表現を用いて数学的に表されます。自由電荷を無視すると、電位は次のようになります。 Φ （ r ） = 1 4 π ε 0 ∫ ∇ r 0 ⋅ （ p （ r 0 ） 1 | r − r 0 | ） d 3 r 0 − 1 4 π ε 0 ∫ ∇ r 0 ⋅ p （ r 0 ） | r − r 0 | d 3 r 0 。 {\displaystyle \Phi \left(\mathbf {r} \right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\,.}
発散定理 を用いると、発散項は面積分に変換される。 ∫ ∇ r 0 ⋅ （ p （ r 0 ） 1 | r − r 0 | ） d 3 r 0 = ∫ p （ r 0 ） ⋅ d A 0 | r − r 0 | 、 {\displaystyle \int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}=\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot d\mathbf {A} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\,,} A 0は体積の表面積の要素である。p ( r )が定数の場合、表面項のみが残る。 Φ （ r ） = 1 4 π ε 0 ∫ 1 | r − r 0 | p ⋅ d A 0 、 {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\,,} A 0 は電荷を囲む表面の微小面積である。言い換えれば、表面内部の定数pによる電位は、 表面電荷による電位と等しい。 σ = p ⋅ d A {\displaystyle \sigma =\mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} } これは、 p の方向の成分を持つ表面要素に対しては正の値となり、反対方向の成分を持つ表面要素に対しては負の値となります。（通常、表面要素の方向は、その要素の位置における表面の外向き法線の方向とみなされます。）
境界面が球であり、観測点がこの球の中心にある場合、球の表面積分はゼロになります。正と負の表面電荷による電位への寄与が相殺されるためです。しかし、観測点が中心からずれている場合、正電荷と負電荷が観測点から異なる距離にあるため、（状況によっては）正味の電位が生じる可能性があります。[ 注7 ] E （ r ） = − 1 4 π ε 0 ∇ r ∫ 1 | r − r 0 | p ⋅ d A 0 、 {\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {r} \right)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla _{\mathbf {r} }\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\,,} 電場は 両方の電場が同じ方向を向いているため加算される)、代わりに次のようになります。[ 17 ] E = − p 3 ε 0 。 {\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\mathbf {p} }{3\varepsilon _{0}}}\,.}
双極子の分極が外部電場によって誘起されたと仮定すると、分極電場は印加電場に逆らう方向になり、脱分極電場 と呼ばれることもあります。[ 18 ] [ 19 ] 分極が球状空洞の外側に ある場合、周囲の双極子による空洞内の電場は分極と同じ方向になります。 [ 注8 ]
特に、電気感受率が 近似によって導入される場合： p （ r ） = ε 0 χ （ r ） E （ r ） 、 {\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )\,,} Eは 外部電場を表す。
それから： ∇ ⋅ p （ r ） = ∇ ⋅ （ χ （ r ） ε 0 E （ r ） ） = − ρ b 。 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\nabla \cdot \left(\chi (\mathbf {r} )\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} )\right)=-\rho _{\text{b}}\,.}
χ ( r ) を用いて 2 つの領域の境界における段差不連続性をモデル化すると、段差によって表面電荷層が生成されます。例えば、境界面の内側の点から外側の点まで、境界面に垂直な方向に積分すると次のようになります。 ε 0 n ^ ⋅ [ χ （ r + ） E （ r + ） − χ （ r − ） E （ r − ） ] = 1 A n ∫ d Ω n ρ b = 0 、 {\displaystyle \varepsilon _{0}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \left[\chi \left(\mathbf {r} _{+}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{+}\right)-\chi \left(\mathbf {r} _{-}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{-}\right)\right]={\frac {1}{A_{\text{n}}}}\int d\Omega _{\text{n}}\ \rho _{\text{b}}=0\,,} A n 、Ω n は 、領域間の境界をまたぐ基本領域の面積と体積を示し、n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 表面に垂直な単位。ρbが 有限である限り、体積が縮小するにつれて右側は消滅し、E に 誘電率の段差が含まれる場合、双極子モーメント密度に対応する分極密度は p （ r ） = ε 0 χ （ r ） E （ r ） {\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )} [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]
p ( r )をより物理的に現実的にモデル化すると、双極子モーメント密度は、突然ゼロ密度になるのではなく、閉じ込め領域の境界で急速に、しかし滑らかにゼロまで減少します。そうすると、表面電荷は無限に薄い表面に集中するのではなく、滑らかに変化する双極子モーメント密度の発散であるため、薄いが有限な遷移層全体に分布することになります。
D 電場電界線。 [ 注 9 ] E 電場 の電界線 （図示せず）は、どこでもD電場の電界線と一致しますが、球の内部ではその密度が低く、これは球の内部では外部よりも E 電場が弱いという事実に対応しています。外部のE 電場線の多くは、束縛電荷が存在する球の表面で終端します。表面電荷に関する上記の一般的な考察は、均一な電場中の誘電体球の例を考えることでより具体的になる。[ 25 ] [ 26 ]
一様な外部電場はz 方向を向いていると仮定し、球面極座標を導入すると、この電場によって生成される電位は次のようになる。 Φ ∞ = − E ∞ z = − E ∞ r コス θ 。 {\displaystyle \Phi _{\infty }=-E_{\infty }z=-E_{\infty }r\cos \theta \,.}
球体は誘電率 κ で記述されると仮定する。すなわち、 D = κ ε 0 E 、 {\displaystyle \mathbf {D} =\kappa \varepsilon _{0}\mathbf {E} \,,} Φ < = A r コス θ 、 {\displaystyle \Phi _{<}=Ar\cos \theta \,,} Φ > = （ B r + C r 2 ） コス θ 。 {\displaystyle \Phi _{>}=\left(Br+{\frac {C}{r^{2}}}\right)\cos \theta \,.}
遠距離では、φ > → φ ∞ B = − E ∞ D κε 0 E R とすると、 A = − 3 κ + 2 E ∞ ; C = κ − 1 κ + 2 E ∞ R 3 、 {\displaystyle A=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }\ ;\ C={\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }R^{3}\,,}
その結果、可能性は以下のとおりです。 Φ > = （ − r + κ − 1 κ + 2 R 3 r 2 ） E ∞ コス θ 、 {\displaystyle \Phi _{>}=\left(-r+{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}{\frac {R^{3}}{r^{2}}}\right)E_{\infty }\cos \theta \,,} z 方向）における双極子モーメントによる双極子モーメントです。 p = 4 π ε 0 （ κ − 1 κ + 2 R 3 ） E ∞ 、 {\displaystyle \mathbf {p} =4\pi \varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}R^{3}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,,} p V = 3 ε 0 （ κ − 1 κ + 2 ） E ∞ 。 {\displaystyle {\frac {\mathbf {p} }{V}}=3\varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,.}
係数( κ − 1)/( κ + 2)は クラウジウス・モソッティ係数 と呼ばれ、 κ < 1κ は内側領域と外側領域の誘電率の比に置き換えられ、この比は 1 より大きい場合も小さい場合もあります。球内部の電位は次のようになります。 Φ < = − 3 κ + 2 E ∞ r コス θ 、 {\displaystyle \Phi _{<}=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }r\cos \theta \,,} − ∇ Φ < = 3 κ + 2 E ∞ = （ 1 − κ − 1 κ + 2 ） E ∞ 、 {\displaystyle -\nabla \Phi _{<}={\frac {3}{\kappa +2}}\mathbf {E} _{\infty }=\left(1-{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,,} 均一で 、印加電場と平行であることに注目してください。双極子モーメントは球内部全体で均一です。球の表面電荷密度は、半径方向の電場成分の差です。 σ = 3 ε 0 κ − 1 κ + 2 E ∞ コス θ = 1 V p ⋅ R ^ 。 {\displaystyle \sigma =3\varepsilon _{0}{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }\cos \theta ={\frac {1}{V}}\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\,.}
この線形誘電体の例は、誘電率の扱いが均一な双極子モーメントモデルと同等であり、球の境界における表面電荷を除いて、あらゆる場所で電荷がゼロになることを示している。
観測が電荷系から十分に離れた領域に限定されている場合、正確な分極密度の多重極展開を行うことができます。この展開を切り捨てる（例えば、双極子項のみを残す、双極子項と四重極子項のみを残すなど）こと で、前のセクションの結果が再現されます。特に、展開を双極子項で切り捨てると、結果は電荷領域に限定された均一な双極子モーメントによって生成される分極密度と区別できません。前のセクションで示したように、この双極子近似の精度では、双極子モーメント密度 p ( r ) ( pだけでなく p の位置も含む) がP ( r ) として機能します。
電荷アレイ内部の 位置では、双極子モーメント密度p ( r )のみを含む近似にペア電荷アレイを接続するには、追加の考慮が必要です。最も単純な近似は、電荷アレイを理想的な（無限小間隔の）双極子のモデルに置き換えることです。特に、有限領域に限定された一定の双極子モーメント密度を使用する上記の例のように、表面電荷と脱分極場が生じます。このモデルのより一般的なバージョン（位置によって分極が変化することを許容する）は、電気感受率 または電気誘電率 を使用する慣習的なアプローチです。
点電荷アレイのより複雑なモデルでは、微視的な電荷を平均化することで有効媒質を導入します。 [ 19 ] [ 27 ] [ 28 ] 局所的な場効果 を生み出します。[ 17 ] [ 29 ] [ 30 ] 点双極子 近似、離散双極子近似 双極子近似 と呼ばれることがあります。[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]
分子の電気双極子モーメント 分子内の双極子モーメント は、外部電場が存在する場合の物質の挙動を決定づける要因である。双極子は、一定の場合も時間依存の場合もある外部電場に沿って整列する傾向がある。この効果は、誘電分光法 と呼ばれる現代的な実験手法の基礎となっている。
双極子モーメントは、水などの一般的な分子や、タンパク質などの生体分子にも見られます。これは、さまざまな原子上の正電荷と負電荷の不均一な分布によるものです。[ 37 ]
物理化学者のピーター・J・W・デバイは 、電気分子双極子を広範に研究した最初の科学者であり、その結果、双極子モーメントは彼の功績を称えてデバイ という非SI 単位で測定されるようになった。
分子には3種類の双極子が存在する。
永久双極子 これは、分子内の2つの原子の電気陰性度 が大きく異なる場合に発生します。一方の原子は他方の原子よりも電子を引き付けやすく、より負に帯電し、他方の原子はより正に帯電します。永久双極子モーメントを持つ分子は極性 分子と呼ばれます。分子間力 § 双極子-双極子相互作用を 瞬間双極子 これらは、分子内で 電子が 偶然ある場所に他の場所よりも集中することで一時的な双極子が形成されることによって発生します。これらの双極子は永久双極子よりも大きさは小さいですが、その普遍性から化学や生化学において重要な役割を果たしています。瞬間双極子も 参照してください。誘導双極子 これは、永久双極子を持つ分子が別の分子の電子を反発し、その分子に双極子モーメントを誘起する ときに起こります。分子は、誘起双極子を持つときに分極します。 誘起双極子引力を 参照してください。
分子電気双極子モーメントの理論的計算 電子構造理論 から双極子モーメントを計算することは可能であり、これは一定の電場に対する応答として、または密度行列から行うことができる。[ 38 ] [ 39 ] 結合クラスター理論 （特にCCSD(T) [ 40 ] [ 41 ] 特にハイブリッド またはダブルハイブリッド汎関数が使用される場合、密度汎関数理論 から妥当な推定値（約5%以内）を得ることは可能である。[ 42 ] [ 43 ] より一般的には、任意 の分極可能な電荷分布ρ （分子には電荷分布があることを思い出す） の誘起双極子は、ρ の外部の電場によって引き起こされる。この電場は、例えば、 ρ の近傍にあるイオンや極性分子に由来する場合もあれば、巨視的な大きさ（例えば、帯電したコンデンサ の極板間の分子）である場合もある。誘起される双極子モーメントの大きさは、外部電場の強さとρ の双極子分極率 の積に等しい。
誘電率との関係 ある物質の全双極子モーメントを用いることで、より直感的な概念である導電率に関連する誘電率を計算することができる。 M T o t {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\rm {Tot}}}
ε = 1 + k ⟨ M 合計 2 ⟩ {\displaystyle \varepsilon =1+k\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle } k は定数であり、⟨ M 合計 2 ⟩ = ⟨ M 合計 （ t = 0 ） M 合計 （ t = 0 ） ⟩ {\displaystyle \left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle =\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0){\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0)\right\rangle } M 合計 = M トランス + M 腐敗 。 {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}={\mathcal {M}}_{\text{Trans}}+{\mathcal {M}}_{\text{Rot}}.}
したがって、誘電率（および導電率）は両方の項からの寄与を受ける。このアプローチは、周波数依存誘電関数を計算するために一般化することができる。[ 44 ]
電気双極子モーメントの実験的決定 双極子モーメントの値は誘電率 の測定から得られます。デバイ 単位で表された典型的な気相の値は次のとおりです。[ 45 ]
直線状の分子であるCO₂は、 2つの結合双極子が相殺されるため、双極子モーメントがゼロである。 臭化カリウム（KBr）は、気相では分子として存在するイオン化合物 であるため、最も高い双極子モーメントを持つ化合物の1つである。
曲がった分子H₂Oは 正味の双極子モーメントを持つ。2つの結合双極子モーメントは相殺されない。 分子全体の双極子モーメントは、結合双極子モーメント のベクトル和 として近似できる。ベクトル和であるため、結合の相対的な向きに依存する。したがって、双極子モーメントから分子の幾何学的構造 に関する情報を推測することができる。
例えば、CO₂の双極子モーメントがゼロということ は、2つのC=O結合双極子モーメントが相殺されるため、分子は直線状でなければならないことを意味します。H₂Oの場合、分子 が曲がっているため、O-H結合モーメントは相殺されません。オゾン（O₃ ） も曲がった分子ですが、O-O結合が同じ原子間にあるにもかかわらず、結合双極子モーメントはゼロではありません。これは、中心の酸素原子に正電荷があることを示すオゾンの共鳴構造のルイス構造と一致します。
オゾン分子の共鳴ルイス構造 有機化学において、双極子モーメントを決定する上で幾何構造が果たす役割の一例として、1,2-ジクロロエテン のシス 異性体とトランス 異性体シス異性体では、2つの極性C-Cl結合がC=C 二重結合 の同じ側に位置し、分子双極子モーメントは1.90 Dです。トランス 異性体では、2つのC-Cl結合がC=Cの反対側に位置して相殺されるため（そして、はるかに極性の低いC-H結合の2つの結合モーメントも相殺されるため）、双極子モーメントはゼロになります。
分子構造の役割を示すもう一つの例は三フッ化ホウ素である。三フッ化ホウ素は、 イオン結合 の閾値として従来から挙げられている1.7を超える電気陰性度 の差を持つ3つの極性結合を有する。しかし、フッ化物イオンがホウ素陽イオンを中心として同一平面上に正三角形に配置されていることにより、分子の対称性から双極子モーメントはゼロとなる。
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さらに読む メルビン・シュワルツ（1987）。 「電気双極子 モーメント」。電気力学の原理 （1972年 版の復刻版）。クーリエ・ドーバー出版。49ページ 以降。ISBN 978-0-486-65493-5 。
外部リンク 電気双極子モーメント – エリック・ワインスタインの物理学の世界より 静電双極子マルチフィジックスモデル
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (\mathbf {r} )&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\int _{V}\delta {\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)}\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\,d^{3}\mathbf {r} _{0}\\[1ex]&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ae2bef62dfa58432cea20c85f5ff30134cc0cb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (\mathbf {r} )&=\sum _{i=1}^{N}\,\int _{V}q_{i}\left[\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\left(\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}\right)\right)-\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\right]\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\ d^{3}\mathbf {r} _{0}\\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\left[\mathbf \begin{aligned} \left\{\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}-\mathbf {r} -\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right)\right]\\&=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d} _{i}=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {p} _{i}\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a487dfdbee7710044a8c94293f97b3ff24c4ad21)
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&=\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{R^{2}}}+{\mathcal {O}}{\left({\frac {d^{3}}{R^{3}}}\right)}\\[1ex]&\およそ \ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{|\mathbf {R} |^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {R} }{|\mathbf {R} |^{3}}}\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738ddb6ba2358412572a58ddcdf39df867318c21)
![{\displaystyle \varepsilon _{0}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \left[\chi \left(\mathbf {r} _{+}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{+}\right)-\chi \left(\mathbf {r} _{-}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{-}\right)\right]={\frac {1}{A_{\text{n}}}}\int d\Omega _{\text{n}}\ \rho _{\text{b}}=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b7dd67148aefaa656a13b3d45d17a3d20bbefc)
