ユークリッド幾何学

ユークリッド幾何学は公理系であり、すべての定理（「真の命題」）は少数の単純な公理から導き出されます。非ユークリッド幾何学が登場するまでは、これらの公理は物理世界では当然真であると考えられていたため、すべての定理は等しく真であると考えられていました。しかし、仮定から結論に至るユークリッドの推論は、物理的現実とは無関係に有効です。^{[ 4 ]}

ユークリッドは『原論』第1巻の冒頭近くで、平面幾何学に関する5つの公理（公理）を、作図の観点から述べている（トーマス・ヒース訳）：^{[ 5 ]}

次のことを仮定する。

1. 任意の点から任意の点へ直線を引く。
2. 有限の直線を連続的に直線上に生成（延長）する。
3. 任意の中心と距離（半径）を持つ円を記述する。
4. すべての直角は互いに等しい。
5. 【平行線公準】：2本の直線に交わる直線が、同じ側の内角を2直角より小さくするならば、2本の直線を無限に延長すると、その角度が2直角より小さい側で交わる。

ユークリッドは作図対象の存在を明示的に主張しているに過ぎないが、彼の推論においては、それらが唯一無二のものであることを暗黙のうちに前提としている。

要素には次の5つも含まれます。一般的な概念":

1. 同じものに等しいものは、互いに等しい（ユークリッド関係の推移律）。
2. 等しいものに等しいものを加えると、全体は等しくなる（等式の加法性質）。
3. 等しいものから等しいものを引いた場合、その差は等しくなる（等式の減法性質）。
4. 互いに一致するものは互いに等しい（反射律）。
5. 全体は部分の総和よりも大きい。

現代の学者たちは、ユークリッドの公理は、ユークリッドが提示するために必要とした完全な論理的基礎を提供していないという点で一致している。^{[ 6 ]}現代の扱いでは、より広範で完全な公理の集合が使用されている。

古代人にとって、平行線公準は他の公準ほど自明ではないように思われた。彼らは絶対的に確実な命題の体系を作ろうと努めており、平行線公準はより単純な命題から証明する必要があるように思われた。現在では、平行線公準が真である（他の公理に従う）一貫した幾何学体系と、それが偽である体系を構築できるため、そのような証明は不可能であることがわかっている。^{[ 7 ]}ユークリッド自身も、平行線公準を他の公準とは質的に異なるものと考えていたようで、 『原論』の構成からもそれがうかがえる。彼の最初の28の命題は、平行線公準なしで証明できるものである。

他の公理との関連において、並列公理と論理的に同等な代替公理を多数定式化することができる。例えば、プレイフェアの公理は次の通りである。

平面において、与えられた直線上にない点を通る直線は、与えられた直線と決して交わらない直線が最大で１本しか引けない。

残りの公理から少なくとも1本の平行線が存在することが証明できるため、「最大で」という節だけで十分である。

ユークリッド幾何学は構成的である。公理1、2、3、5は特定の幾何学的図形の存在と一意性を主張しており、これらの主張は構成的な性質を持つ。つまり、特定のものが存在すると告げられるだけでなく、コンパスと目盛りのない定規だけでそれらを作成する方法も与えられる。^{[ 8 ]}この意味で、ユークリッド幾何学は、集合論などの多くの現代の公理系よりも具体的である。集合論は、対象の存在を主張するだけで、それらを構成する方法を述べなかったり、理論内で構成できない対象の存在を主張したりすることが多い。^{[ 9 ]}厳密に言えば、紙上の線は、形式体系内で定義された対象のモデルであり、それらの対象のインスタンスではない。たとえば、ユークリッド直線には幅がないが、実際に描かれた線には幅がある。現代の数学者のほぼ全員が、非構成的証明を構成的証明と同じくらい妥当であると考えているが、非構成的証明は、しばしば優雅さ、直感性、実用性において劣ると考えられている。ユークリッドの構成的証明は、誤った非構成的証明、例えばすべての数が有理数であると仮定したピタゴラスの証明などに取って代わることが多く、通常「…の最大公約数を求めよ」といった記述を必要とした^{[ 10 ]。}

ユークリッドはしばしば背理法を用いた。^{[ 11 ]}

点は通常、アルファベットの大文字で命名されます。線、三角形、円などのその他の図形は、関連する図形から明確に識別できる十分な数の点を列挙することで命名されます。例えば、三角形ABCは通常、頂点が点A、B、Cにある三角形を表します。

合計が直角になる角を補角と呼びます。補角は、同じ頂点を共有し、直角を形成する2本の光線の中間の方向を向いている光線によって形成されます。2本の光線の間に存在する光線の数は無限です。

和が直線角となる角は補角と呼ばれます。補角は、同じ頂点を共有する光線が、直線角（180度）を形成する2本の光線の中間の方向を向いている場合に形成されます。2本の光線の間に存在する光線の数は無限です。

現代の用語では、角度は通常、度またはラジアンで測定されます。

現代の教科書では、直線（無限）、半直線（半無限）、線分（有限の長さ）といった別々の図形を定義することが多い。ユークリッドは、一方向に無限に伸びる物体として半直線を論じるのではなく、「線が十分な長さに延長された場合」といった表現を通常用いたが、時折「無限の直線」という表現も用いた。ユークリッドにとって「直線」は直線でも曲線でも構わず、必要に応じてより具体的な用語である「直線」を用いた。

ポンス・アシノラム（ロバの橋）は、二等辺三角形では底辺の角が互いに等しく、等しい直線をさらに延長すると底辺の下の角が互いに等しくなると述べている。^{[ 12 ]}その名前は、読者の知性を試す最初の実際のテストとして、また、その後に続くより難しい命題への橋として頻繁に用いられたことに由来するかもしれない。また、この幾何学的図形が、足取りの確かなロバだけが渡れる急な橋に似ていることから、そのように名付けられた可能性もある。^{[ 13 ]}

合同条件には、SAS、ASA、AAS、そして曖昧なSSA（右下）の4種類があり、SSAの場合は2つの異なる三角形が生成される可能性がある。

左側の2つの図形は合同です。3番目の図形はそれらと相似です。最後の図形はどちらでもありません。合同は位置と向きを変えますが、距離と角度は保持します。これらは不変量と呼ばれる性質です。

三角形は、以下のいずれかを満たす場合に合同である（第1巻、命題4、8、および26）。

• SSS — 3辺すべてが等しい
• SAS — 2辺と挟角が等しい
• ASA — 2つの角と挟まれた辺が等しい

3つの角が等しい三角形（AAA）は相似ではあるが、必ずしも合同ではない。同様に、2辺が等しく、1つの角がそれらの角に挟まれていない三角形（SSA）も、合同を保証するものではない。

三角形の内角の和は、直線角に等しい。

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$^{[ 14 ]}

これは、正三角形には60°の内角が3つあり、すべての三角形には少なくとも2つの鋭角と、最大で1つの鈍角または直角があることを意味します。

有名なピタゴラスの定理（第1巻、命題47）は、直角三角形の2辺がa、b、斜辺がcである場合、次の式が成り立つと述べている。

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

斜辺上の正方形の面積は、2本の脚上の正方形の面積の合計に等しい。

ミレトスのタレスにちなんで名付けられたタレスの定理は、A、B、CがACを直径とする円周上にある場合、次のことが成り立つと述べている。

$\displaystyle \angle ABC=90^{\circ }}$

カントールは、タレスがユークリッド第3巻命題31のやり方に倣って、ユークリッド第1巻命題32によってこれを証明したと推測した。^{[ 15 ] [ 16 ]}

プトレマイオスの定理は、円に内接する四角形（円に内接する四角形）の辺と対角線の関係を示しています。円に内接する四角形ABCDの場合：

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA}$

すなわち、対角線の積は、対辺の積の和に等しい。この定理はピタゴラスの定理を一般化したもので、円に内接する四角形が長方形である場合の特殊なケースとして得られる。プトレマイオスは『アルマゲスト』の中で、この結果を用いて弦表を作成した。これは現代の三角関数表の先駆けとなるものである。

『原論』第13巻（最終巻）は、プラトン立体（正四面体、正立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体）の構成と分類に捧げられている。これらの立体はそれぞれ凸多面体であり、その面はすべての頂点で同じ配置で交わる合同な正多角形である。命題13～17では、これら5つの立体を順に構成し、それぞれについて外接球の直径と辺の長さの比を求めている。^{[ 17 ]}命題18では、これ以上凸正多面体は存在しないと主張している。^{[ 18 ]}

現代の用語では、平面図形の面積はその線形寸法の2乗に比例し、立体の体積はその3乗の3乗に比例する。

${\displaystyle A\propto L^{2},\qquad V\propto L^{3}}$

ユークリッドは、円の面積^{[ 19 ]}や平行六面体の体積^{[ 20 ]}など、さまざまな特殊なケースでこれらの結果を証明しました。ユークリッドは、関連する比例定数のいくつかを決定しましたが、すべてではありませんでした。たとえば、球の体積が外接円柱の2/3であることを証明したのは、彼の後継者であるアルキメデスでした^{[ 21 ] 。}

• 応力解析：応力解析- ユークリッド幾何学は、機械部品の応力分布を決定する上で極めて重要であり、構造的完全性と耐久性を確保するために不可欠です。

• 歯車の設計：歯車- 多くの機械システムにおいて重要な要素である歯車の設計は、効率的な動力伝達のために適切な歯形とかみ合いを確保するために、ユークリッド幾何学に大きく依存しています。

• 熱交換器の設計：熱交換器-熱工学では、熱交換器の設計にユークリッド幾何学が用いられ、その幾何学的形状は熱効率に大きく影響します。詳細については、シェルアンドチューブ式熱交換器とプレート式熱交換器を参照してください。

• レンズ設計：レンズ- 光学工学において、レンズの設計にはユークリッド幾何学が不可欠であり、正確な幾何学的形状が集束特性を決定します。幾何光学は、レンズや鏡による光の集束を解析します。

• 振動解析：振動- ユークリッド幾何学は、機械システムの振動を解析および理解する上で不可欠であり、これらの振動に耐えたり、効果的に利用したりできるシステムの設計に役立ちます。

• 翼の設計：航空機の翼の設計-空気力学におけるユークリッド幾何学の応用は、航空機の翼の設計、翼型、水中翼に顕著に表れており、幾何学的形状が揚力と抗力の特性に直接影響を与えます。

• 衛星軌道：衛星軌道- ユークリッド幾何学は、宇宙ミッションや衛星運用を成功させるために不可欠な、衛星の軌道の計算と予測に役立ちます。天体力学、天体力学、楕円軌道も参照してください。

• 3Dモデリング：CAD（コンピュータ支援設計）システムでは、ユークリッド幾何学が機械部品の正確な3Dモデルを作成する上で不可欠です。これらのモデルは、製造前に設計を視覚化およびテストするために非常に重要です。

• 設計と製造：CAM（コンピュータ支援製造）の多くはユークリッド幾何学に基づいています。CAD/CAMにおける設計形状は、通常、平面、円柱、円錐、トーラス、その他同様のユークリッド形状で囲まれた図形で構成されます。今日、CAD/CAMは、自動車や航空機から船舶やスマートフォンに至るまで、幅広い製品の設計に不可欠です。

• 製図手法の進化：歴史的に見ると、パスカルの定理やブリアンションの定理といった高度なユークリッド幾何学は、製図手法に不可欠な要素でした。しかし、現代のCADシステムの登場により、これらの定理に関する深い知識は、現代の設計および製造プロセスにおいて、以前ほど必要とされなくなりました。

• PCBレイアウト：プリント基板（PCB）設計では、ユークリッド幾何学を利用して部品の効率的な配置と配線を行い、スペースを最適化しながら機能性を確保します。PCB上の電子部品の効率的なレイアウトは、信号干渉を最小限に抑え、回路性能を最適化するために不可欠です。

• アンテナ設計：アンテナ設計-アンテナのユークリッド幾何学はアンテナの設計に役立ち、空間配置と寸法は電磁波の送受信におけるアンテナとアレイの性能に直接影響します。

• 場理論：複雑なポテンシャル流れ-非粘性流場と電磁場の研究において、ユークリッド幾何学はポテンシャル流れの問題を視覚化および解決するのに役立ちます。これは、3次元空間における流体速度場と電磁場の相互作用を理解するために不可欠です。その関係は、非回転ソレノイド場または保存ベクトル場によって特徴付けられます。

• 制御システム解析：制御システム-制御理論におけるユークリッド幾何学の応用は、制御システムの解析と設計、特にシステムの安定性と応答の理解と最適化に役立ちます。

• 計算ツール：ヤコビアン- ユークリッド幾何学は、機械工学と電気工学の両分野における変換および制御システムのためのヤコビアン行列の使用に不可欠であり、システムの挙動と特性に関する洞察を提供します。ヤコビアン行列は、統計的回帰および曲線フィッティングにおける線形化設計行列として機能します（非線形最小二乗法を参照）。ヤコビアン行列は、ランダム行列、モーメント、統計、および診断にも使用されます。

アルキメデス（紀元前287年頃- 紀元前212年頃）は、多くの歴史的な逸話が記録されている個性豊かな人物であり、ユークリッドと並んで古代の最も偉大な数学者の一人として記憶されている。彼の研究の基礎はユークリッドによって築かれたものの、彼の研究はユークリッドとは異なり、完全に独創的であったと考えられている。^{[ 25 ]}彼は2次元および3次元のさまざまな図形の体積と面積の方程式を証明し、有限数のアルキメデスの性質を提唱した。 

ペルガのアポロニウス（紀元前240年頃- 紀元前190年頃）は、主に円錐曲線の研究で知られている。 

ルネ・デカルト（1596年～1650年）は、幾何学を代数に変換することに焦点を当てた、幾何学を形式化する別の方法である解析幾何学を開発した。^{[ 26 ]}

このアプローチでは、平面上の点はデカルト座標（x、y）で表され、直線はその方程式で表される、といった具合です。

ユークリッドの本来の考え方では、ピタゴラスの定理はユークリッドの公理から導き出される。一方、デカルト的な考え方では、公理は代数学の公理であり、ピタゴラスの定理を表す方程式は、ユークリッドの公理に含まれる用語の定義となり、それらの用語は現在では定理とみなされている。

方程式

${\displaystyle |PQ|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}\,}$

2点P = ( p _x , p _y ) とQ = ( q _x , q _y )の間の距離を定義することは、ユークリッド距離として知られており、他の距離は非ユークリッド幾何学を定義します。

解析幾何学の観点から言えば、古典幾何学がコンパスと定規による作図に限定されるということは、例えばy = 2 x + 1 (直線) やx ² + y ² = 7 (円) のような、1 次および 2 次の方程式に限定されることを意味します。

また17世紀には、ジラール・デザルグが透視図法の理論に触発されて、無限遠における理想化された点、線、平面の概念を導入した。この結果は、一般化された幾何学の一種である射影幾何学とみなすことができるが、通常のユークリッド幾何学において、特殊な場合の数を減らした証明を作成するためにも使用できる。^{[ 27 ]}

18世紀の幾何学者たちは、ユークリッド幾何学の境界を定義するのに苦労した。多くの者が最初の4つの公準から5番目の公準を証明しようと試みたが、徒労に終わった。1763年までに少なくとも28種類の証明が発表されたが、すべて誤りであることが判明した。^{[ 28 ]}

この時期に至るまで、幾何学者たちはユークリッド幾何学でどのような作図が可能かを解明しようと試みました。例えば、コンパスと定規で角を三等分する問題は、公理がこれらの道具で実行できる作図操作に言及しているため、理論の中で自然に発生する問題です。しかし、何世紀にもわたる努力にもかかわらず、この問題の解決策は見つからず、 1837年にピエール・ワンツェルがそのような作図は不可能であることを証明しました。不可能であることが証明された他の作図には、立方体の倍数化と円の正方形化があります。立方体の倍数化の場合、作図の不可能性は、コンパスと定規の方法では次数が2の整数乗である方程式が関係しているのに対し、立方体の倍数化には3次方程式の解が必要であるという事実から生じます^{[ 29 ] 。}

オイラーは、ユークリッド幾何学の一般化であるアフィン幾何学について論じた。アフィン幾何学は、第5公準はそのまま保持しつつ、第3公準と第4公準を弱めることで、角度の概念（直角三角形が意味をなさなくなる）と線分の長さの等しさの概念（円が意味をなさなくなる）を排除する一方で、平行性の概念を線間の同値関係として保持し、平行線分の長さの等しさの概念（線分には中点が存在する）を保持する。

19世紀初頭、カルノーとメビウスは、結果を単純化および統一する方法として、符号付き角度と線分の使用を体系的に発展させた。^{[ 30 ]}

アインシュタインの特殊相対性理論は、非ユークリッド空間である4次元時空、すなわちミンコフスキー空間を扱っている。これは、数年前に平行線公準が証明できないことを示すために導入された非ユークリッド幾何学が、物理世界を記述する上でも有用であることを示している。

しかし、ミンコフスキー空間の3次元「空間部分」は、ユークリッド幾何学の空間のままです。これは一般相対性理論の場合とは異なり、一般相対性理論では時空の空間部分の幾何学はユークリッド幾何学ではありません。^{[ 37 ]}例えば、3本の光線で三角形を構成する場合、一般に重力によって内角の合計は180度になりません。地球や太陽のような比較的弱い重力場は、厳密にはユークリッドではないものの、近似的にユークリッド的な計量で表されます。20世紀まで、光線のユークリッド幾何学からのこれらのずれを検出できる技術はありませんでしたが、アインシュタインはそのようなずれが存在すると予測していました。これらは後に、1919年の日食の際に太陽によって星の光がわずかに曲がるなどの観測によって検証され、現在ではそのような考察はGPSシステムを実行するソフトウェアの不可欠な部分となっています。^{[ 38 ]}

ユークリッドは時折、「有限線」（例えば公準2）と「無限線」（第1巻命題12）を明示的に区別した。しかし、通常は必要でない限りそのような区別はしなかった。公準は無限線を明示的に言及していないが、例えば、任意の半径を持つ円の存在という公準3は、空間が無限であることを示唆していると解釈する注釈者もいる。^{[ 42 ]}

微小量の概念は以前からエレア派によって広く議論されてきたが、誰もそれを確固たる論理的根拠に基づかせることができず、ゼノンのパラドックスのような普遍的に満足のいく形で解決されていないパラドックスが生じていた。ユークリッドは微小量ではなく、除去法を用いた。 ^{[ 44 ]}

後世の古代の注釈者、例えばプロクロス（410～485年）は、無限に関する多くの問題を証明を必要とする問題として扱い、例えばプロクロスは、直線を構成する点の数が偶数の場合と奇数の場合を考察する背理法に基づいて、直線の無限分割可能性を証明したと主張した。^{[ 45 ]}

20世紀初頭、オットー・シュトルツ、ポール・デュ・ボワ＝レイモン、ジュゼッペ・ヴェロネーゼらは、ニュートン＝ライプニッツの意味で2点間の距離が無限大または無限小になり得る非アルキメデス的ユークリッド幾何学モデルに関する論争を呼ぶ研究を発表した。^{[ 46 ]} 50年後、アブラハム・ロビンソンはヴェロネーゼの研究に厳密な論理的基礎を与えた。^{[ 47 ]}

古代の幾何学者は、平行線は決して交わらないという平行線公準を、無限に遠い空間領域に関する記述であるため物理的に検証できないことから、他の公準よりも確実性が低いと考えていた可能性がある。^{[ 48 ]}

帰納法による証明の現代的な定式化は17世紀まで発展しなかったが、後世の解説者の中には、素数の無限性の証明など、ユークリッドの証明の一部にそれが暗黙のうちに含まれていると考える者もいる。^{[ 49 ]}

ゼノンのパラドックスなど、無限級数に関するいわゆるパラドックスは、ユークリッド以前から存在していた。ユークリッドはそのような議論を避け、例えば、第9巻35章で等比級数の部分和の式を示したが、項の数が無限になる可能性については言及しなかった。

ユークリッドは背理法を頻繁に用いたため、ユークリッド幾何学の伝統的な説明では、すべての命題が真か偽かのどちらかである古典論理を前提としている。つまり、任意の命題 P に対して、「P または P でない」という命題は自動的に真となる。 ^{[ 50 ]}背理法（または背理法）は、古典論理の 2 つの基本原理、すなわち矛盾律と排中律に基づいている。簡単に言えば、矛盾律とは、S が任意の命題である場合、S と S の矛盾（つまり、S の否定）の両方が成り立つことはない、ということである。また、排中律とは、S または S の否定のいずれかが成り立つ（つまり、第三の可能性、つまり中間の可能性はない）ということである。したがって、この方法は、（仮説として）証明すべき命題が偽であると仮定することから成り立っている。もし不合理な結論が導き出されるならば、その仮説は維持不可能であり、元の命題が真でなければならないと結論づけられる。^{[ 51 ]}

ユークリッド幾何学を確固たる公理的基盤の上に置こうとすることは、何世紀にもわたって数学者たちの関心事であった。^{[ 52 ]}原始概念、つまり未定義の概念の役割は、 1900年のパリ会議でペアノ代表団のアレッサンドロ・パドアによって明確に提示された。 ^{[ 52 ] [ 53 ]}

理論を構築し始めるとき、未定義の記号は全く意味を持たず、未証明の命題は単に未定義の記号に課せられた条件であると考えることができる。

つまり、私たちが最初に選んだ観念体系は、定義されていない記号の単なる一つの解釈にすぎません。しかし、読者はこの解釈を無視して、条件を満たす別の解釈を自由に心の中で採用することができます。

論理的な問いは、経験的あるいは心理学的な問いとは完全に独立したものとなる。

未定義記号体系は、未定義記号体系がそれぞれの解釈によって順次置き換えられるときに生じる、専門的な理論から得られる抽象化とみなすことができる。

つまり、数学は階層的な枠組みの中で文脈に依存しない知識である。バートランド・ラッセルが述べたように：^{[ 54 ]}

もし私たちの仮説が、特定の事物ではなく、何らかの事柄に関するものであれば、私たちの推論は数学を構成する。したがって、数学とは、私たちが何について話しているのか、また、私たちが言っていることが真実であるかどうかさえ決して分からない学問であると定義できるだろう。

幾何学とは、誤った図形に基づいて正しい推論を行う科学である。

• ユークリッドの公理: バートランド・ラッセルは、ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジへの学位論文で、それまでの哲学者たちの心の中でユークリッド幾何学が果たしてきた役割の変化を要約した。^{[ 55 ]}それは、実験とは無関係な確かな知識と、実験的入力を必要とする経験主義との間の対立であった。この問題は、平行線公準が必ずしも有効ではなく、その適用可能性は経験的な問題であり、適用可能な幾何学がユークリッド幾何学か非ユークリッド幾何学かを決定することが発見されたときに明らかになった。
• ヒルベルトの公理：ヒルベルトの公理は、最も重要な幾何学的定理を導き出すことができる、単純かつ完全な独立した公理の集合を特定することを目的としていました。特に重要なのは、ユークリッド幾何学を厳密なものにすること（隠れた仮定を避けること）と、平行線公準の帰結を明確にすることでした。
• ビルコフの公理：ビルコフは、スケールと分度器で実験的に確認できるユークリッド幾何学の4つの公準を提案した。このシステムは実数の性質に大きく依存している。^{[ 56 ] [ 57 ] [ 58 ]}角度と距離の概念は原始概念となる。^{[ 59 ]}
• タルスキの公理：アルフレッド・タルスキ（1902–1983）とその弟子たちは、初等ユークリッド幾何学を、一階述語論理で表現でき、論理的基礎として集合論に依存しない幾何学として定義した^{[ 60 ]} 。これは、点集合を含むヒルベルトの公理とは対照的である^{[ 61 ]} 。タルスキは、初等ユークリッド幾何学の公理的定式化がある意味で一貫性があり完全であることを証明した。すなわち、すべての命題に対して、真または偽のいずれかを示すことができるアルゴリズムが存在する^{[ 36 ]} 。（これはゲーデルの定理に違反しない。なぜなら、ユークリッド幾何学は、定理を適用するのに十分な量の算術を記述できないからである^{[ 62 ]} ）。これは、初等ユークリッド幾何学がモデルとなっている実閉体の決定可能性と同等である。