幾何光学

幾何光学の方程式をゼロ波長の極限で得る方法は、 1911年にアーノルド・ゾンマーフェルトとJ.ルンゲによって初めて記述された。 ^{[ 6 ]}彼らの導出は、ピーター・デバイの口頭での発言に基づいていた。^{[ 7 ] [ 8 ]}単色スカラー場を考える${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\phi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$、 どこ${\displaystyle \psi }$電場または磁場のどの成分でもあり得るので、関数${\displaystyle \phi }$波動方程式を満たす$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +k_{o}^{2}n(\mathbf {r} )^{2}\phi =0}$$ どこ${\displaystyle k_{o}=\omega /c=2\pi /\lambda _{o}}$と${\displaystyle c}$真空中の光速である。ここで、${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$は媒質の屈折率です。一般性を失うことなく、${\displaystyle \phi =A(k_{o},\mathbf {r} )e^{ik_{o}S(\mathbf {r} )}}$方程式を変換するには $${\displaystyle -k_{o}^{2}A[(\nabla S)^{2}-n^{2}]+2ik_{o}(\nabla S\cdot \nabla A)+ik_{o}A\nabla ^{2}S+\nabla ^{2}A=0.}$$

幾何光学の根本原理は極限にあるため${\displaystyle \lambda _{o}\sim k_{o}^{-1}\rightarrow 0}$次のような漸近級数が仮定される。 $${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {A_{m}(\mathbf {r} )}{(ik_{o})^{m}}}}$$

大きくても有限な値の場合${\displaystyle k_{o}}$の場合、級数は発散するため、適切な最初の数項のみを残すように注意する必要があります。${\displaystyle k_{o}}$最適な項数を見つけることができ、最適な数よりも多くの項を追加すると、近似精度が低下する可能性があります。^{[ 9 ]}級数を方程式に代入し、異なる次数の項をまとめると、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}O(k_{o}^{2}):&\quad (\nabla S)^{2}=n^{2},\\[1ex]O(k_{o}):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{0}+A_{0}\nabla ^{2}S=0,\\[1ex]O(1):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{1}+A_{1}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{0},\end{aligned}}}$$ 一般的に、 $${\displaystyle O(k_{o}^{1-m}):\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{m}+A_{m}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{m-1}.}$$

最初の式はアイコナール方程式として知られており、アイコナールを決定します。${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$これはハミルトン・ヤコビ方程式であり、例えばデカルト座標で書くと次のようになる。 $${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}=n^{2}.}$$

残りの方程式は関数を決定する${\displaystyle A_{m}(\mathbf {r} )}$。

マクスウェル方程式の解の不連続面を解析することによって幾何光学の方程式を得る方法は、1944年にルドルフ・カール・ルーネブルクによって初めて記述された。 ^{[ 10 ]}この方法は、振幅を仮定するゾンマーフェルト・ルンゲ法で要求されるような特別な形状を電磁場に要求するものではない。${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )}$フェーズ${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$方程式を満たす${\textstyle \lim _{k_{0}\to \infty }{\frac {1}{k_{0}}}\left({\frac {1}{A}}\,\nabla S\cdot \nabla A+{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}S\right)=0}$この条件は、例えば平面波によって満たされますが、加算性はありません。

ルーネブルクのアプローチの主な結論は以下のとおりである。

定理。場が${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$そして${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$（誘電率で記述される線形等方性媒体において）${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$そして${\displaystyle \mu (x,y,z)}$) は、(移動する) 表面に沿って有限の不連続性を持つ。${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$方程式で表される${\displaystyle \psi (x,y,z)-ct=0}$すると、積分形式のマクスウェル方程式は、${\displaystyle \psi }$アイコナール方程式を満たす： $${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=\varepsilon \mu =n^{2},}$$ どこ${\displaystyle n(x,y,z)}$は媒質の屈折率（ガウス単位）です。

このような不連続面の一例として、ある瞬間に放射を開始した光源から発生する初期波面が挙げられる。

したがって、場の不連続面は幾何光学波面となり、対応する幾何光学場は次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {E} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\\[1ex]\mathbf {H} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {H} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\end{aligned}}}$$

これらの場は、ゾンマーフェルト・ルンゲのアプローチにおける輸送方程式と整合する輸送方程式に従います。ルーネブルクの理論における光線は、不連続面に直交する軌跡として定義され、フェルマーの最小時間原理に従うことが示され、それによってこれらの光線が標準光学における光線と同一であることが確立されます。

上記の展開は異方性媒体にも一般化できる。^{[ 11 ]}

ルーネブルグの定理の証明は、マクスウェル方程式が解の不連続性の伝播をどのように支配するかを調べることに基づいている。基本的な技術的補題は以下のとおりである。

技術的な補題。${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=0}$時空における超曲面（3次元多様体）である。${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$以下のいずれか1つ以上に基づいて：${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$、${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$、${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$、${\displaystyle \mu (x,y,z)}$有限の不連続性を持つ。すると、超曲面の各点において、以下の式が成り立つ。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$ どこで${\displaystyle \nabla }$オペレーターは${\displaystyle xyz}$-スペース (固定されたすべてのスペースに対して)${\displaystyle t}$）角括弧は不連続面の両側の値の差を表します（任意だが固定された慣例に従って設定、例えば勾配など）。${\displaystyle \nabla \varphi }$（減算される量の方向を指している）。

証明の概略。まず、ソースから離れたマクスウェル方程式（ガウス単位）から始めます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =0\\[1ex]\nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {E} +{\tfrac {\mu }{c}}\,\mathbf {H} _{t}=0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} -{\tfrac {\varepsilon }{c}}\,\mathbf {E} _{t}=0\end{aligned}}}$$

ストークスの定理を用いて${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$上記の式のうち最初の式から、任意の領域に対して次のことが結論付けられる。${\displaystyle D}$で${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$区分的に滑らかな（3次元）境界を持つ${\displaystyle \Gamma }$以下のことは真実です。 $${\displaystyle \oint _{\Gamma }(\mathbf {M} \cdot \varepsilon \mathbf {E} )\,dS=0}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {M} =(x_{N},y_{N},z_{N})}$は外向き単位法線の投影である${\displaystyle (x_{N},y_{N},z_{N},t_{N})}$の${\displaystyle \Gamma }$3Dスライス上に${\displaystyle t={\rm {const}}}$、 そして${\displaystyle dS}$ボリューム3形式は${\displaystyle \Gamma }$同様に、残りのマクスウェル方程式から以下のことが証明される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \cdot \mu \mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {E} +{\frac {\mu }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} -{\frac {\varepsilon }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {E} \right)dS&=0\end{aligned}}}$$

ここで、任意の小さなサブサーフェスを考慮すると、${\displaystyle \Gamma _{0}}$の${\displaystyle \Gamma }$そして周囲に小さな近隣地区を設ける${\displaystyle \Gamma _{0}}$で${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$そして、上記の積分をそれぞれ差し引くと、次の式が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \nabla ^{4D}}$4Dにおける勾配を表す${\displaystyle xyzt}$-スペース。そして、${\displaystyle \Gamma _{0}}$は任意であり、被積分関数は 0 に等しくなければならず、これにより補題が証明される。

連続媒体を伝播するにつれて、不連続面がアイコナール方程式に従うことを示すのは容易である。具体的には、${\displaystyle \varepsilon }$そして${\displaystyle \mu }$連続である場合、不連続性は${\displaystyle \mathbf {E} }$そして${\displaystyle \mathbf {H} }$満足する：${\displaystyle [\varepsilon \mathbf {E} ]=\varepsilon [\mathbf {E} ]}$そして${\displaystyle [\mu \mathbf {H} ]=\mu [\mathbf {H} ]}$この場合、補題の最後の2つの式は次のように書くことができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\mu \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$

2番目の式と${\displaystyle \nabla \varphi }$そして最初の式を代入すると次のようになる。 $${\displaystyle \nabla \varphi \times (\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ])-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ])=(\nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ])\,\nabla \varphi -\|\nabla \varphi \|^{2}\,[\mathbf {H} ]+{\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}\,[\mathbf {H} ]=0}$$

継続性${\displaystyle \mu }$そして、補題の2番目の式は以下を意味する。${\displaystyle \nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ]=0}$したがって、表面上にある点については${\displaystyle \varphi =0}$のみ： $${\displaystyle \|\nabla \varphi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}}$$

（このステップでは不連続点の存在が不可欠であることに注意してください。そうでなければ、ゼロ除算になってしまうからです。）

物理的な考察から、一般性を失うことなく、${\displaystyle \varphi }$形式は以下のとおりです。 ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)-ct}$つまり、空間を移動する2D表面は、${\displaystyle \psi }$（数学的に）${\displaystyle \psi }$存在する場合${\displaystyle \varphi _{t}\neq 0}$（陰関数定理により）上記の式は、${\displaystyle \psi }$になる: $${\displaystyle \|\nabla \psi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\,(-c)^{2}=\varepsilon \mu =n^{2}}$$ つまり、 $${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=n^{2}}$$ これはアイコナール方程式であり、すべての場合に成り立つ。${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$変数${\displaystyle t}$は存在しない。スネルの法則やフレネルの公式などの他の光学法則は、不連続性を考慮することによって同様に得られる。${\displaystyle \varepsilon }$そして${\displaystyle \mu }$。

特殊相対性理論で用いられる4ベクトル表記では、波動方程式は次のように書ける。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0}$$

そしてその代替${\displaystyle \psi =Ae^{iS/\varepsilon }}$^{[ 12 ]}につながる$${\displaystyle -{\frac {A}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {2i}{\varepsilon }}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {iA}{\varepsilon }}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0.}$$

したがって、アイコナール方程式は次のように表される。 $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}=0.}$$

上記の式を解いてアイコナールが求められたら、波動4ベクトルは次のように求められる。 $${\displaystyle k_{i}=-{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}.}$$

• H. ブルンス著『アイコナール』
• M. マリュス著『オプティーク』
• J. プラッカー著「光波の一般形式に関する考察」
• E. クンマー著「直線光線系の一般理論」
• E. クンマーによる、光学的に実現可能な直線光線システムに関するプレゼンテーション
• R. マイバウアー著「光線の直線系理論」
• M. パッシュ、「光線系の焦点面と複体の特異点面について」
• A. レヴィスタル著「幾何光学の研究」
• F.クライン「ブルンスの英雄について」
• R. ドントット著「積分不変量と幾何光学のいくつかの点について」
• T. ド・ドンダー著「光学の積分不変量について」