角の三等分

$角度は、$ 目盛りのない定規とコンパス以外の道具を使ったネウシス作図によって三等分することができます。この例では $、$ 円の半径と同じ長さの定規を使って、任意の角度 $θ > 3π / 4$ $を三等分し、三等分された角度φ = θ / 3$ $を得る方法を示してい$ $ます$ 。

角の三等分とは、目盛りのない定規とコンパスという2つの道具だけを使って、与えられた任意の角の3分の1に等しい角を作図する問題である。これは、古代ギリシャ数学における定規とコンパスを用いた作図の古典的な問題である。

1837年、ピエール・ワンツェルは、この問題は、述べられているように、任意の角度に対しては解くことが不可能であることを証明した。しかし、いくつかの特別な角度は三等分できる。例えば、直角を三等分することは自明である。

定規とコンパス以外の道具を使えば、任意の角度を三等分することが可能です。例えば、古代ギリシャ人にも知られていたネウシス作図法では、目盛りの付いた定規を同時にスライドさせながら回転させますが、これは元の道具では実現できません。他にも、数学者たちは数世紀にわたって様々な技法を開発してきました。

角の三等分問題は、定義は単純だが、解けないことを証明するのは難しいため、素朴な愛好家による擬似数学的な解決の試みが頻繁に行われる。これらの「解決策」は、規則の誤った解釈に基づいているか、単に間違っていることが多い。^{[ 1 ]}

背景と問題提起

コンパスと定規を使って角を二等分する方法。まず、コンパスを使って角の頂点を中心とする円弧を描き、次に、最初の円弧が角の辺と交わる点を中心とする、長さが等しい2つの円弧を描きます。そして、定規を使って、後者の2つの円弧が交わる2点を通る直線を引くと、角がきれいに2つに分割されます。 — 任意の角度の二等分問題は、古くから解決されている。

ギリシャの数学者たちは、目盛りのない定規とコンパスだけを使って、線を任意の等しい区間に分割したり、平行線を引いたり、角を二等分したり、多くの多角形を作図したり、与えられた多角形と同じか2倍の面積を持つ正方形を作図したりする方法を発見した。

3つの問題、具体的には、角の三等分、立方体の倍数化、円の正方形化が解けないことが判明した。角の三等分問題は次の通りである。

与えられた任意の角度の3分の1に等しい角度（または3等分した角度）を、2つの道具だけを使って作図する。

目盛りのない定規、そして
コンパス。

不可能性の証明

定規。ここに掲載されている定規には目盛りが付いています。理想的な直線定規は目盛りが付いていません。

ピエール・ワンツェルは1837年に、任意の角を古典的に三等分することは不可能であるという証明を発表した。^{[ 2 ]}ワンツェルの証明は、現代の用語で言い換えると、体拡張の概念を使用しており、これは現在ではガロア理論と組み合わされることが多いトピックである。しかし、ワンツェルはエヴァリスト・ガロア（1830年に書かれた彼の著作は1846年まで出版されなかった）よりも早くこれらの結果を発表しており、ガロアによって導入された概念は使用していない。^{[ 3 ]}

与えられた角度 $θ$ を作図する問題は、長さの比が $cos θ$ となるような 2 つの線分を作図することと同等です。これらの 2 つの問題の 1 つの解から、コンパスと定規による作図によってもう 1 つの問題の解に移行できます。三角公式は、 $元$ の角度とその三等分角の余弦を関連付ける式を与えます。cos $θ$ = $4 cos$ $3$ $⁠$ $θ$ $/$ $3$ $⁠$ $- 3 cos$ $⁠$ $θ$ $/$ $3$ $⁠$ 。

したがって、単位長さを持つ線分が与えられた場合、角の三等分問題は、長さが3次多項式の根である線分を構成する問題と等価である。この等価性により、元の幾何学的問題は純粋に代数的な問題に還元される。

すべての有理数は作図可能です。与えられた数から一段階で作図可能なすべての無理数は、これらの数によって生成される体上の係数を持つ次数 2 の多項式の根です。したがって、一連の手順で作図可能な数は、次数が2 のべき乗である最小多項式の根です。角度 $π$ $/$ $3$ ラジアン(60度、60° と表記) は作図可能です。以下の議論は、20° の角度を作図することは不可能であることを示しています。これは $、$ $60° の角度を$ 三等分できないことを意味し、したがって任意の角度を三等分できないことを意味します。

有理数の集合を $Q$ とします。60° を三等分できる場合、 $Q$ 上の $cos 20°$ の最小多項式の次数は2 のべき乗になります。ここで $x$ $= cos 20°$ とします。cos $60°$ = $cos$ $⁠$ $π$ $/$ $3$ $⁠$ = $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ であることに注意してください。次に、三角公式により、 $cos$ $⁠$ $π$ $/$ $3$ $⁠$ $= 4$ $x$ $3$ $- 3$ $x$ となり、したがって $4$ $x$ $3$ $- 3$ $x$ $=$ $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ となります。したがって、 $8$ $x$ $3$ $- 6$ $x$ $- 1 = 0 です$ 。多項式 $p$ $($ $t$ $) = 8$ $t$ $3$ $- 6$ $t$ $- 1を$ $p$ $($ $t$ $)$ と定義します。

$x = cos 20°は$ $p (t)$ の根であるため、 $cos 20°$ の最小多項式は $p (t)$ の因数です。p $($ $t$ $)$ $は3 次であるため、$ $Q$ で既約であれば、有理根を持ちます。有理根定理により、この根は ±1、± 1 / 2、± 1 / 4、または ± 1 / 8 でなければなりません $が$ $、これらはいずれも根ではあり$ ませ $ん。$ $したがって$ $、$ $p$ $($ $t$ $)$ は $Q で既約$ であり $、$ cos 20 $°$ の最小多項式は $3$ 次です。

$したがって、 60°$ の角度は三等分することはできません。

三等分できる角

$しかし、いくつかの角度は$ 三等分できます。たとえば、任意の作図可能な角度 $θ$ に対して、与えられた角度を無視して直接 θ の角度を作図することで、3θ の角度を簡単に三等分できます $。$ $作図$ できないが三等分可能な角度もあります (1/3 の角度自体は作図できませんが)。たとえば、 $3π$ $/$ $7$ $は$ $その$ ような角度です。3π $/$ $7$ $の角度が 5 つ組み合わさって15π$ $/$ $7$ $の$ 角度ができます $。$ $これ$ $は$ $、$ 完全な円と目的の $π$ $/$ $7$ $を加え$ $た$ $もの$ $です$ $。$

正の整数 $N$ に対して、角度 $⁠$ $2$ $π$ $/$ $N$ $⁠$ が三等分可能であるのは、 $3 が$ $N$ を割り切らない場合に限る。^[⁴^]^[⁵^] 対照的に、 $⁠$ $2$ $π$ $/$ $N$ $⁠$ が構成可能であるのは、 $N が$ $2$ のべき乗であるか、 $2$ のべき乗と 1 つ以上の異なるフェルマー素数の積の積である場合に限る。

代数的特徴付け

ここでも、有理数の集合を $Q$ と表す。

定理：角度 $θ$ が三等分できるのは、 $q$ $($ $t$ $) =$ $4t3$ $-$ $3t$ $- cos($ $θ$ $)$ $が$ 体拡大 $Q$ $(cos($ $θ$ $))$ 上で可約である場合に限る。

この証明は、 $60°の$ 角が三等分できないことを示す上記の証明を比較的簡単に一般化したものである。 ^{[ 6 ]}

その他の部品数

任意の非ゼロ整数 $Nに対して、$ $2 π ⁄ N$ ラジアンの角度を定規とコンパスで $n$ 等分できるのは、 $nが$ $2$ のべき乗であるか、または $2$ のべき乗に 1 つ以上の異なるフェルマー素数の積を掛けたもので、そのいずれも $Nを割り切らない場合に限る。三等分 ($ $n = 3$ 、これはフェルマー素数)の場合、この条件は、 $N が$ $3$ で割り切れないという上記の要件となる。^{[ 5 ]}

その他の方法

角の三等分という一般的な問題は、追加の道具を用いることで解決可能であり、それによって、もともとのギリシャのコンパスと定規という枠組みから外れることができる。

一般角を三等分する誤った方法が数多く提案されてきた。これらの方法の中には妥当な近似値を与えるものもあれば、（以下に挙げるものも含め）古典的な問題では許されない道具を用いるものもある。数学者のアンダーウッド・ダドリーは、著書『三等分線』の中で、これらの失敗した試みのいくつかを詳しく述べている。^{[ 1 ]}

逐次二分法による近似

三等分は、コンパスと定規を使って角度を二等分する方法を繰り返すことで近似できます。等比数列⁠ 1 / 3 ⁠ = ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⁠ 1 / 64 ⁠ + ⁠ 1 / 256 ⁠ + ⋯または⁠ 1 / 3 ⁠ = ⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⋯を二等分の基礎として使用できます。任意の精度の近似値は、有限のステップ数で得られます。^[⁷^]

折り紙を使って

定規とコンパスでは不可能な多くの作図と同様に、三等分も紙折り、つまり折り紙の操作によって容易に実現できる。フジタの公理（折り畳み操作の種類）は、与えられた長さの立方体拡張（立方根）を作図できるが、定規とコンパスでは二次拡張（平方根）しか作図できない。

リンク機構を使用する

角度を三等分する器具を作るために使用できる単純なリンク機構はいくつかあり、ケンペの三等分器やシルベスターのリンクファンまたはアイソクリノスタットなどがある。 ^{[ 8 ]}

直角三角定規を使って

1932 年、ルートヴィヒビーバーバッハは、『Journal für die reine und angewandte Mathematik』に著書『Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen』を発表しました。^{[ 9 ]}彼はその中で次のように述べています (意訳)。

「周知のように…あらゆる立方体構成は、角の三等分と立方数の乗算、すなわち3乗根の抽出に遡ることができます。私は、これら2つの古典的な問題を直角フックを用いてどのように解決できるかを示すだけで十分です。」

作図は、三等分する角の頂点 $P$ を通り、その角の辺上の $Aを中心とし、辺との 2 番目の交点を$ $Bとする$ 円を描くことから始まります。P $を$ 中心とし、同じ半径を持つ円が、辺を支える線と $A$ および $O$ で交わります。

ここで、直角定規を次のように図面上に置きます。直角定規の1辺が点 $O$ を通り、直角定規の頂点が直線 $PC上の点$ $S$ に配置され、定規のもう1辺が点 $A$ を中心とする円の点 $E$ で接するようにします。したがって、元の角は直線 $PEと、$ $SE$ に垂直で点 $P$ を通る直線 $PD$ によって3等分されます。この直線は、再び直角定規を使用するか、従来の定規とコンパスによる作図を使用して描くことができます。同様の作図により、点Eが直線 $SEと点$ $A$ を通るその垂線の交点であることを利用して、点 $E$ の位置を改善できます。

証明:角度の等式を証明する必要がある ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}}$ そして ${\widehat {BPE}}={\widehat {EPD}}.$ 3つの直線 $OS$ 、 $PD$ 、 $AE は$ 平行です。線分 $OP$ と $PA は$ 等しいので、これら 3 つの平行線は、他のすべての割線、特に共通の垂線 $SE$ 上で 2 つの等しい線分を区切ります。したがって、 $SD' = D' E$ となります。ここで、 $D'$ は直線 $PD$ と $SE$ の交点です。したがって、直角三角形 $PD' S$ と $PD' E$ は合同であり、したがって、 ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}},$ 最初の望ましい等式。一方、円のすべての半径は等しいので、三角形 $PAEは$ 二等辺三角形です。これは、 ${\widehat {APE}}={\widehat {AEP}}.$ また、 ${\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},$ これらの2つの角は、 2本の平行線に対する横断線の錯角であるため、2番目の等式が証明され、したがって作図の正しさが証明される。

補助曲線付き

アルキメデス螺旋を用いた三分割
マクローリンの三等分線を用いた三等分

平面上に他の方法で描画すると、任意の角度を三等分できる三等分線と呼ばれる特定の曲線が存在する。 ^{[ 10 ]} 例としては、コリン・マクローリンの三等分線があり、これはデカルト座標系では次の暗黙の方程式で表される。

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),

そしてアルキメデスの螺旋。螺旋は、実際には角度を任意の数の等しい部分に分割するために使用できます。アルキメデスは紀元前225年頃の著書『螺旋について』の中で、アルキメデスの螺旋を用いて角度を三等分する方法を説明しています。

目盛りの付いた定規で

ギリシャの枠組みから少し外れた方法で任意の角度を三等分するもう一つの方法は、一定の間隔で2つの目盛りが付いた定規を使うことです。次の作図法は元々アルキメデスによるもので、ネウシス作図法と呼ばれ、目盛りのない定規以外の道具を使用します。ここで使用する図は鋭角に対するこの作図法を示していますが、実際には180度までの任意の角度に適用できます。

これには幾何学の３つの事実（右図）が必要です。

直線上の任意の角度の合計は 180° になります。
任意の三角形の内角の和は 180° であり、
二等辺三角形の等しい2辺は、残りの1辺と等しい角度で交わる。

隣の図の水平線を $l$ とします。角 $a (点$ $B$ の左側) が三等分の対象です。まず、角の半直線上に、 $B$ から 1 単位離れた点 $Aを描きます。$ 半径 $AB$ の円を描きます。次に、定規の目盛りが重要になります。定規の 1 つの目盛りを $A$ に、もう 1 つの目盛りを $B$ に置きます。定規 (目盛りは除く) を $A$ に接触させたまま、定規をスライドさせて回転させ、一方の目盛りが円上に、もう一方の目盛りが直線 $l$ 上に来るようにします。円上の目盛りを $C$ 、直線上の目盛りを $D$ とします。これにより、 $CD$ $=$ $AB$ であることが保証されます。半径 $BCを描き、線分$ $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ がすべて等しい長さであることを示します。さて、三角形 $ABC$ と三角形 $BCD は$ 二等辺三角形なので、(上記の事実 3 により) それぞれ 2 つの等しい角を持ちます。

仮説： $AD$ は直線であり、 $AB$ 、 $BC$ 、 $CDは$ すべて同じ長さであると仮定すると、

結論：角度 $b = a / 3 。 $

証拠：

上記の事実1）より、 $e+c=180$ °。
事実2から三角形BCDを見ると） $e+2b=180$ °。
最後の2つの式から、 $c=2b$ 。
したがって、 $a=c+b=2b+b=3b$ 。

そして定理は証明された。

また、この構造は、目盛りの付いた定規を使用することで、許容される構造の枠組みから逸脱していた。

紐で

トーマス・ハッチソンは、数学教師誌^{[ 11 ]}に、コンパスと定規の代わりに紐を使った論文を発表した。紐は、伸ばすことで定規として、また一点を固定して別の点を特定することでコンパスとして使用できるが、円筒に巻き付けることもできる。これがハッチソンの解法の鍵である。

ハッチソンは、三等分する角度から円弧を描き、それを円として完成させ、その円から円柱を作図し、その円柱に例えば正三角形（360度の角度を3つに分割したもの）を内接させた。そして、これを三等分する角度に「写像」し、相似三角形の簡単な証明を行った。

「トマホーク」で

「トマホーク」とは、半円と2本の直交する線分からなる幾何学的形状で、短い方の線分の長さが円の半径に等しくなります。三等分は、トマホークの短い方の線分の端を一方の線分に、円の縁をもう一方の線分にそれぞれ傾け、長い方の線分（ハンドル）が角の頂点を横切るようにすることで行います。三等分線は、頂点と半円の中心の間を結びます。

トマホークはコンパスと定規で作図できるものの、一般的には任意の位置に作図できるとは限らない。したがって、上記の作図は、定規とコンパスのみでは角度を三等分できないという法則に矛盾しない。

トマホークは三角定規として使用できるので、 § 直角三角定規で説明されている方法で三等分角にも使用できます。

トマホークは、紙折り法と同じ幾何学的効果を生み出します。円の中心と短い方の線分の先端との距離は半径の2倍になり、角度に確実に接触します。これは、建築家が使うL定規（大工の直角定規）を使うのと同等です。

相互接続されたコンパスで

角度を三等分するには、基本的に4本の爪を持つコンパスのような装置を使用することができ、爪間の連結部は隣接する爪間の3つの角度が等しくなるように設計されています。^{[ 12 ]}