循環（物理学）

物理学において、循環とは、場の中に埋め込まれた閉曲線に沿ったベクトル場の線積分である。流体力学においては、場とは流体速度場のことである。電気力学においては、場とは電場または磁場のことである。

循環という用語は、特定の用途とは無関係に、流体中の回転運動の運動学的尺度として、閉曲線に沿った速度の線積分を表すために、1869 年にウィリアム・トムソン (後のケルビン卿) によって導入されました。 ^{[ 1 ]}空気力学 では、循環は揚力の計算に関連してより専門的な文脈で現れ、追加の流れの仮定の下で物体を囲む輪郭上で評価されます。この文脈で循環は、フレデリック・ランチェスター^{[ 2 ]} 、ルートヴィヒ・プラントル^{[ 3 ]} 、マルティン・クッタ、ニコライ・ジュコフスキー^{[ 4 ]}によって初めて独立して使用されました。通常はΓ (大文字のガンマ)で表されます。

Vがベクトル場であり、d lが定義された曲線の微小要素の微分長さを表すベクトルである場合、その微分長さの循環への寄与はdΓである。 $${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma =\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\left|\mathbf {V} \right|\left|\mathrm {d} \mathbf {l} \right|\cos \theta }$$

ここで、θはベクトルVとd lの間の角度です。

閉曲線Cの 周りのベクトル場Vの循環Γは線積分である: ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}$$

保存的なベクトル場では、この積分はすべての閉曲線に対してゼロになります。つまり、場内の任意の2点間の線積分は、経路に依存しないということです。また、ベクトル場はスカラー関数の勾配として表現でき、これをポテンシャルと呼びます。^{[ 6 ]}

循環はベクトル場Vの回転と関連付けられ、より具体的には、場が流体速度場である場合は 渦度と関連付けられる。$$\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {V} .}$$

ストークスの定理によれば、表面Sを通過する回転ベクトルまたは渦度ベクトルのフラックスは、その周囲を回る循環に等しい。^{[ 6 ]}$${\displaystyle \Gamma =\oint _{\partial S}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{S}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$$

ここで、閉じた積分経路∂Sは、開曲面Sの境界または周長であり、その微小要素法線dS = ndSは右手の法則に従って方向付けられています。したがって、回転と渦度は、局所的な微小ループの周囲における単位面積あたりの循環を表します。

渦度領域を持つ流体のポテンシャル流れでは、渦度を囲むすべての閉曲線は循環に関して同じ値を持つ。^{[ 7 ]}

• マクスウェル方程式
• 空気力学におけるビオ・サバールの法則
• ケルビンの循環定理