振動

振動（ラテン語の vibrāre  「揺らす」に由来）は、平衡点を中心に振動が発生する機械的現象です。振動が正確に特徴付けられる場合（振り子の周期運動など）は決定論的である可能性があり、振動が統計的にしか分析できない場合（砂利道でのタイヤの動きなど）はランダムである可能性があります。

振動は望ましい場合があります。たとえば、音叉の動き、木管楽器やハーモニカのリード、携帯電話、スピーカーのコーンの動きなどです。

しかし、多くの場合、振動は望ましくなく、エネルギーを浪費し、不要な音を生み出します。たとえば、エンジン、電気モーター、または動作中の機械装置の振動運動は、通常、望ましくありません。このような振動は、回転部品の不均衡、不均一な摩擦、またはギアの歯のかみ合いによって引き起こされる可能性があります。通常、注意深い設計により、不要な振動は最小限に抑えられます。

音と振動の研究は密接に関連しています（どちらも音響学に分類されます）。音、つまり圧力波は振動する構造物（声帯など）によって生成されます。また、これらの圧力波は構造物（鼓膜など）の振動を引き起こすこともあります。そのため、騒音を低減する試みは、振動の問題と関連していることが多いのです。^[1]

切削振動は切削加工のプロセスではよく発生します。

自由振動または固有振動は、機械システムが初期入力によって動き出し、自由に振動できる場合に発生します。このタイプの振動の例としては、ブランコに乗っている子供を後ろに引っ張って放す、音叉を叩いて鳴らすなどが挙げられます。機械システムは、1 つ以上の固有周波数で振動し、静止状態まで減衰します。

強制振動とは、機械システムに時間とともに変化する外乱（負荷、変位、速度、または加速度）が加えられることです。外乱は、周期的かつ定常的な入力、過渡的入力、またはランダムな入力のいずれかです。周期的入力は、調和的または非調和的な外乱です。これらのタイプの振動の例には、不均衡による洗濯機の揺れ、エンジンや凹凸のある道路による輸送振動、地震時の建物の振動などがあります。線形システムの場合、周期的な調和的入力の適用によって生じる定常振動応答の周波数は、加えられた力または動きの周波数に等しく、応答の大きさは実際の機械システムによって異なります。

減衰振動:振動システムのエネルギーが摩擦やその他の抵抗によって徐々に消散すると、振動は減衰すると言われています。振動は徐々に減少するか、周波数や強度が変化するか、または停止し、システムは平衡位置で静止します。このタイプの振動の例としては、ショックアブソーバーによって減衰される自動車のサスペンションがあります。

振動試験は、通常、何らかのタイプのシェーカーを使用して、構造に強制機能を導入することによって行われます。または、DUT (テスト対象デバイス) をシェーカーの「テーブル」に取り付けます。振動試験は、定義された振動環境に対するテスト対象デバイス (DUT) の応答を調べるために行われます。測定される応答は、振動環境での機能能力、疲労寿命、共振周波数、またはきしみ音とガラガラ音の出力 ( NVH ) です。きしみ音とガラガラ音の試験は、動作中に非常に低い音量を生成する特殊なタイプの静かなシェーカーを使用して行われます。

比較的低周波の強制（通常 100 Hz 未満）には、サーボ油圧式（電気油圧式）シェーカーが使用されます。高周波（通常 5 Hz ～ 2000 Hz）には、電気力学的シェーカーが使用されます。通常、振動固定具の DUT 側にある 1 つ以上の「入力」または「制御」ポイントは、指定された加速度に保たれます。^[1]他の「応答」ポイントは、制御ポイントよりも高い振動レベル（共振）または低い振動レベル（反共振または減衰）を経験する場合があります。システムのノイズが大きくなりすぎないようにするため、または特定の振動周波数によって引き起こされる振動モードによる特定の部品の歪みを軽減するために、反共振を実現することが望ましいことがよくあります。^[3]

振動試験ラボで実施される最も一般的な振動試験サービスは、正弦波とランダムです。正弦波 (一度に 1 つの周波数) 試験は、試験対象デバイス (DUT) の構造応答を調査するために実施されます。振動試験の初期の歴史では、振動マシン コントローラは正弦波の動きを制御することしかできなかったため、正弦波試験のみが実施されました。その後、より高度なアナログ コントローラ、さらにデジタル コントローラによって、ランダム制御 (すべての周波数を同時に) が可能になりました。ランダム (すべての周波数を同時に) 試験は、走行中の自動車への道路入力など、現実世界の環境をより厳密に再現するものと一般に考えられています。

実際の振動のほとんどは同時にさまざまな軸で発生しますが、ほとんどの振動テストは一度に「単一の DUT 軸」で実行されます。2008 年後半にリリースされた MIL-STD-810G のテスト方法 527 では、複数の励振器テストが要求されています。DUTをシェーカー テーブルに取り付けるために使用される振動テスト フィクスチャ^[4]は、振動テスト スペクトルの周波数範囲に合わせて設計する必要があります。実際の使用中の取り付けの動的応答 (機械的インピーダンス) ^{[5]を複製する振動テスト フィクスチャを設計することは困難です。このため、振動テスト間の再現性を確保するために、振動フィクスチャはテスト周波数範囲内で共振が発生しないように設計されます[5]}。一般に、フィクスチャが小さく、周波数範囲が低い場合、設計者はテスト周波数範囲内で共振が発生しないフィクスチャ設計を目標にすることができます。これは、DUT が大きくなり、テスト周波数が高くなるにつれて難しくなります。このような場合、マルチポイント制御戦略^[6]によって、将来発生する可能性のある共振の一部を軽減できます。

一部の振動試験方法では、振動試験治具で許容されるクロストーク（試験対象の軸に対して相互に垂直な方向への応答点の移動）の量が制限されています。振動を追跡または記録するために特別に設計された装置は、振動計と呼ばれます。

振動解析（VA）は、産業環境やメンテナンス環境に応用され、機器の故障を検出することでメンテナンスコストと機器のダウンタイムを削減することを目的としています。^{[7] [8] VAは}状態監視（CM）プログラムの重要なコンポーネントであり、予知保全（PdM）と呼ばれることもあります。 ^[9] VAは、回転機器（ファン、モーター、ポンプ、ギアボックスなど）の不均衡、ミスアライメント、転がり軸受の故障、共振状態などの故障を検出するために最もよく使用されます。^[10]

VA では、時間波形(TWF)として表示される変位、速度、加速度の単位を使用できますが、最も一般的に使用されるのは、 TWF の高速フーリエ変換から得られるスペクトルです。振動スペクトルは、障害のあるコンポーネントを正確に特定できる重要な周波数情報を提供します。

振動解析の基礎は、単純な質量-バネ-ダンパーモデルを研究することで理解できます。実際、自動車のボディなどの複雑な構造でも、単純な質量-バネ-ダンパー モデルの「合計」としてモデル化できます。質量-バネ-ダンパー モデルは、単純な調和振動子の一例です。その動作を説明するために使用される数学は、RLC 回路などの他の単純な調和振動子と同じです。

注: この記事には、段階的な数学的導出は含まれておらず、主要な振動解析方程式と概念に焦点を当てています。詳細な導出については、記事の最後にある参考文献を参照してください。

質量-バネ-ダンパーの調査を始めるにあたっては、減衰は無視でき、質量に外力は加えられていない (つまり自由振動) と仮定します。バネによって質量に加えられる力は、バネが伸びる量 "x" に比例します (バネは質量の重さによってすでに圧縮されていると仮定)。比例定数 k はバネの剛性であり、力/距離の単位を持ちます (例: lbf/in または N/m)。負の符号は、力が常にそれに取り付けられた質量の動きに反対であることを示します。

${\displaystyle F_{s}=-kx.\!}$

質量によって生成される力は、ニュートンの運動の第二法則によって与えられる質量の加速度に比例します。

${\displaystyle \Sigma \ F=ma=m{\ddot {x}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

質量にかかる力の合計は、次の常微分方程式を生成します。${\displaystyle \ m{\ddot {x}}+kx=0.}$

振動の開始はバネを距離Aだけ伸ばして放すことから始まると仮定すると、質量の運動を記述する上記の式の解は次のようになります。

${\displaystyle x(t)=A\cos(2\pi f_{n}t).\!}$

この解は、振幅Aと周波数f _nの単振動で振動することを示しています。数値f _{n は}減衰のない固有振動数と呼ばれます。単純な質量バネシステムの場合、f n_は次のように定義されます。

${\displaystyle f_{n}={1 \over {2\pi }}{\sqrt {k \over m}}.\!}$

注:角周波数ω (ω=2 π f ) は、単位がラジアン/秒で、方程式を簡略化するため方程式でよく使用されますが、システムの周波数を記述するときには通常、通常の周波数(単位はHz、または同等のサイクル/秒) に変換されます。システムの質量と剛性がわかっている場合、上記の式を使用して、最初の外乱によってシステムが動き出すとすぐに振動する周波数を決定できます。すべての振動システムには、外乱を受けるとすぐに振動する 1 つ以上の固有周波数があります。この単純な関係を使用して、質量または剛性を追加すると、より複雑なシステムに何が起こるかを一般的に理解できます。たとえば、上記の式は、車やトラックに荷物が満載の場合、サスペンションが無荷重の場合よりも「柔らかく」感じる理由を説明しています。つまり、質量が増加し、システムの固有周波数が低下します。

振動運動は、エネルギー保存則の観点から理解することができます。上記の例では、バネは x の値だけ伸びているため、いくらかの位置エネルギー( ) がバネに蓄えられています。バネは解放されると、伸びていない状態 (位置エネルギーが最小の状態) に戻ろうとし、その過程で質量を加速します。バネが伸びていない状態に達した時点で、バネを伸ばすことによって供給したすべての位置エネルギーが運動エネルギー( ) に変換されています。質量はバネを圧縮しているため減速し始め、その過程で運動エネルギーが位置エネルギーに戻ります。したがって、バネの振動は、運動エネルギーを位置エネルギーに変換したり戻したりすることに相当します。この単純なモデルでは、質量は同じ大きさで永遠に振動し続けます。しかし、実際のシステムでは、減衰によって常にエネルギーが消散し、最終的にバネは静止します。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$

モデルに「粘性」ダンパーを追加すると、質量の速度に比例する力が出力されます。減衰は、物体内の流体の影響をモデル化するため、粘性と呼ばれます。比例定数c は減衰係数と呼ばれ、力/速度 (lbf⋅s/in または N⋅s/m) の単位を持ちます。

${\displaystyle F_{\text{d}}=-cv=-c{\dot {x}}=-c{\frac {dx}{dt}}.}$

質量にかかる力を合計すると、次の常微分方程式が得られます。

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0.}$

この方程式の解は、減衰の量によって異なります。減衰が十分に小さい場合、システムは依然として振動しますが、最終的には時間の経過とともに振動を停止します。このケースは、振動解析で重要な、減衰不足と呼ばれます。減衰がシステムが振動しなくなる点まで増加した場合、システムは臨界減衰点に到達しています。減衰が臨界減衰を超えて増加した場合、システムは過剰減衰です。質量-バネ-ダンパー モデルで減衰係数が臨界減衰に達するために必要な値は、次のとおりです。

${\displaystyle c_{\text{c}}=2{\sqrt {\text{km}}}.}$

システム内の減衰量を特徴付けるために、減衰率（減衰係数、% 臨界減衰とも呼ばれる）と呼ばれる比率が使用されます。この減衰率は、実際の減衰量と臨界減衰に達するために必要な減衰量の比率です。質量-バネ-ダンパー モデルの減衰率 ( ) の式は次のとおりです。 ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \zeta ={c \over 2{\sqrt {\text{km}}}}.}$

たとえば、金属構造物（飛行機の胴体、エンジンのクランクシャフトなど）の減衰係数は 0.05 未満ですが、自動車のサスペンションは 0.2 ～ 0.3 の範囲です。質量-バネ-ダンパー モデルの減衰不足システムの解は次のとおりです。

${\displaystyle x(t)=Xe^{-\zeta \omega _{n}t}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n}t-\phi \right),\qquad \omega _{n}=2\pi f_{n}.}$

Xの値、初期大きさ、および位相シフトは、バネの伸び量によって決まります。これらの値の計算式は参考文献に記載されています。 ${\displaystyle \phi ,}$

解法で注目すべき主な点は、指数項と余弦関数です。指数項は、システムが「減衰」する速さを定義します。減衰率が大きいほど、ゼロに減衰する速さが速くなります。余弦関数は解法の振動部分ですが、振動の周波数は減衰がない場合とは異なります。

この場合の周波数は「減衰固有周波数」と呼ばれ、次の式によって減衰されていない固有周波数と関連しています。 ${\displaystyle f_{\text{d}},}$

${\displaystyle f_{\text{d}}=f_{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}.}$

減衰された固有振動数は減衰されていない固有振動数よりも低くなりますが、多くの実用例では減衰率が比較的小さいため、その差は無視できます。したがって、固有振動数を述べるときは、減衰と減衰なしの記述は省略されることがよくあります (たとえば、減衰率が 0.1 の場合、減衰された固有振動数は減衰されていない固有振動数よりも 1% だけ低くなります)。

横のグラフは、0.1 および 0.3 の減衰率が、時間の経過とともにシステムが「鳴り響く」様子にどのような影響を与えるかを示しています。実際には、衝撃 (たとえばハンマーによる) 後の自由振動を実験的に測定し、振動率を測定することでシステムの固有周波数を決定し、減衰率を測定することで減衰率を決定します。固有周波数と減衰率は、自由振動において重要であるだけでなく、強制振動下でのシステムの動作を特徴付けるものでもあります。

^[11]

スプリング マス ダンパー モデルの動作は、調和力の追加によって変化します。このタイプの力は、たとえば回転の不均衡によって生成される可能性があります。

${\displaystyle F=F_{0}\sin(2\pi ft).\!}$

質量にかかる力を合計すると、次の常微分方程式が得られます。

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F_{0}\sin(2\pi ft).}$

この問題の定常解は次のように記述できます。

${\displaystyle x(t)=X\sin(2\pi ft+\phi ).\!}$

結果は、質量は加えられた力と同じ周波数fで振動するが、位相シフトを伴うことを示しています。${\displaystyle \phi .}$

振動の振幅「X」は次の式で定義されます。

${\displaystyle X={F_{0} \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}}.}$

ここで、「r」は、質量-バネ-ダンパー モデルの減衰されていない固有振動数に対する調和力の周波数の比として定義されます。

${\displaystyle r={\frac {f}{f_{n}}}.}$

位相シフトは次の式で定義されます。 ${\displaystyle \phi ,}$

${\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {-2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

これらの関数のプロットは「システムの周波数応答」と呼ばれ、強制振動における最も重要な特徴の 1 つを示します。軽度減衰システムでは、強制周波数が固有周波数 ( ) に近づくと、振動の振幅が非常に高くなることがあります。この現象は共振と呼ばれます (したがって、システムの固有周波数は共振周波数と呼ばれることがよくあります)。ローター ベアリング システムでは、共振周波数を励起する回転速度は臨界速度と呼ばれます。 ${\displaystyle r\approx 1}$

機械システムで共振が発生すると、非常に有害となり、最終的にはシステムの故障につながります。したがって、振動解析の主な目的の 1 つは、この種の共振がいつ発生するかを予測し、発生を防ぐためにどのような手順を踏むべきかを判断することです。振幅のプロットが示すように、減衰を追加すると、振動の振幅を大幅に低減できます。また、システムの剛性または質量を変更して、固有周波数を強制周波数からシフトできれば、振幅を低減できます。システムを変更できない場合は、強制周波数をシフトできる可能性があります (たとえば、力を生成するマシンの速度を変更するなど)。

周波数応答プロットに示される強制振動に関するその他のポイントは次のとおりです。

• 与えられた周波数比では、振動の振幅Xは力の振幅に正比例します（例えば、力が2倍になると、振動も2倍になります）。${\displaystyle F_{0}}$
• 減衰がほとんどないか全くない場合、振動は周波数比r < 1のときに強制周波数と同位相になり、周波数比r  > 1 のときに180度位相がずれます。
• r ≪ 1の場合、 振幅は静的な力によるスプリングのたわみに過ぎません。 このたわみは静的たわみと呼ばれます。したがって、r  ≪ 1 の場合、ダンパーと質量の影響は最小限になります。${\displaystyle F_{0}.}$${\displaystyle \delta _{st}.}$
• r ≫ 1の場合、 振動の振幅は実際には静的たわみよりも小さくなります。 この領域では、質量によって生成される力 ( F  =  ma ) が支配的になります。これは、質量によって見られる加速度が周波数とともに増加するためです。この領域ではバネのたわみXが減少するため、バネによってベースに伝達される力 ( F  =  kx ) が減少します。したがって、質量-バネ-ダンパー システムは、調和力を取り付けベースから分離します。これは振動絶縁と呼ばれます。 r  ≫ 1 の場合、減衰力 ( F  =  cv ) もベースに伝達されるため、減衰が大きくなると振動絶縁の効果は実際に減少します。${\displaystyle \delta _{st}.}$
• 減衰が何であれ、周波数比r  = 1 の場合、振動は強制周波数と 90 度位相がずれており、これはシステムの固有周波数を決定する際に非常に役立ちます。
• 減衰が何であれ、r  ≫ 1のとき、振動は強制周波数と180度位相がずれている。
• 減衰が何であれ、r  ≪ 1のとき、振動は強制周波数と同位相である。

バネと質量をエネルギー貯蔵要素、つまり質量が運動エネルギーを貯蔵し、バネが位置エネルギーを貯蔵する要素と見なせば、共振は簡単に理解できます。前述のように、質量とバネに外力が作用していない場合、それらは固有周波数に等しい速度でエネルギーを前後に転送します。言い換えれば、質量とバネの両方にエネルギーを効率的に送り込むには、エネルギー源が固有周波数に等しい速度でエネルギーを供給する必要があります。質量とバネに力を加えることは、ブランコに乗っている子供を押すことに似ており、ブランコをどんどん高くするには、適切なタイミングで押す必要があります。ブランコの場合と同様に、大きな動きを得るために加える力は高くする必要はありませんが、システムにエネルギーを追加する必要があります。

ダンパーは、エネルギーを蓄えるのではなく、エネルギーを消散させます。減衰力は速度に比例するため、動きが大きいほど、ダンパーはより多くのエネルギーを消散させます。したがって、ダンパーによって消散されるエネルギーが力によって加えられるエネルギーと等しくなるポイントがあります。この時点で、システムは最大振幅に達し、加えられた力が同じである限り、このレベルで振動し続けます。減衰が存在しない場合は、エネルギーを消散させるものがなく、理論的には、動きは無限に大きくなり続けます。

前のセクションでは、単純な調和力のみがモデルに適用されましたが、2 つの強力な数学的ツールを使用して、これを大幅に拡張できます。1 つ目はフーリエ変換で、信号を時間 (時間領域)の関数として受け取り、それを周波数 (周波数領域)の関数として調和成分に分解します。たとえば、質量 - バネ - ダンパー モデルに力を適用すると、次のサイクルが繰り返されます。つまり、0.5 秒間 1ニュートンに等しい力がかかり 、その後 0.5 秒間力がかからないというサイクルです。このタイプの力は、1 Hz の矩形波の形をしています。

方形波のフーリエ変換により、方形波を構成する高調波の振幅を表す周波数スペクトルが生成されます (位相も生成されますが、通常はあまり重要ではないため、プロットされないことがよくあります)。フーリエ変換は、過渡現象 (インパルスなど) やランダム関数などの非周期関数の解析にも使用できます。フーリエ変換は、ほとんどの場合、高速フーリエ変換(FFT) コンピューター アルゴリズムとウィンドウ関数を組み合わせて計算されます。

この方形波の力の場合、最初の成分は実際には 0.5 ニュートンの一定の力であり、周波数スペクトルの 0 Hz の値で表されます。次の成分は、振幅が 0.64 の 1 Hz の正弦波です。これは 1 Hz の線で示されています。残りの成分は奇数周波数であり、完全な方形波を生成するには無限の正弦波が必要です。したがって、フーリエ変換を使用すると、力を、より「複雑な」力 (方形波など) ではなく、適用される正弦波の力の合計として解釈できます。

前のセクションでは、単一の調和力に対する振動解が示されましたが、一般にフーリエ変換では複数の調和力が得られます。2 番目の数学的ツールである重ね合わせ原理により、システムが線形である場合に複数の力からの解の合計が可能になります。スプリング - マス - ダンパー モデルの場合、スプリング力が変位に比例し、減衰が対象の動作範囲の速度に比例する場合、システムは線形です。したがって、矩形波の問題の解は、矩形波の周波数スペクトルにある各調和力から予測される振動を合計することです。

振動問題の解決は、入力/出力関係として考えることができます。つまり、力が入力で、出力が振動です。力と振動を周波数領域 (大きさと位相) で表すと、次の関係が得られます。

${\displaystyle X(i\omega )=H(i\omega )\cdot F(i\omega ){\text{ or }}H(i\omega )={X(i\omega ) \over F(i\omega )}.}$

${\displaystyle H(i\omega )}$は周波数応答関数（伝達関数とも呼ばれるが、技術的にはそれほど正確ではない）と呼ばれ、大きさと位相成分（複素数として表される場合は実数成分と虚数成分）の両方を持ちます。周波数応答関数（FRF）の大きさについては、質量-バネ-ダンパーシステムで前に説明しました。

${\displaystyle |H(i\omega )|=\left|{X(i\omega ) \over F(i\omega )}\right|={1 \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}},{\text{ where }}r={\frac {f}{f_{n}}}={\frac {\omega }{\omega _{n}}}.}$

FRF のフェーズは、以前に次のようにも紹介されました。

${\displaystyle \angle H(i\omega )=-\arctan \left({\frac {2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

たとえば、質量が 1 kg、バネ剛性が 1.93 N/mm、減衰比が 0.1 である質量-バネ-ダンパー システムの FRF を計算します。バネと質量の値から、この特定のシステムの固有周波数は 7 Hz になります。先ほどの 1 Hz の矩形波を適用すると、質量の予測振動を計算できます。図は結果として生じる振動を示しています。この例では、矩形波の 4 次高調波が 7 Hz で低下しています。したがって、入力力に比較的低い 7 Hz の高調波があったとしても、質量-バネ-ダンパーの周波数応答は 7 Hz の高い振動を出力します。この例では、結果として生じる振動は、強制関数と、力が適用されるシステムの両方に依存することが強調されています。

この図には、結果として生じる振動の時間領域表現も示されています。これは、周波数領域データを時間領域に変換する逆フーリエ変換を実行することによって行われます。実際には、周波数スペクトルが必要な情報をすべて提供するため、これが行われることはほとんどありません。

周波数応答関数 (FRF) は、必ずしもシステムの質量、減衰、剛性に関する知識から計算する必要はなく、実験的に測定することができます。たとえば、ある範囲の周波数にわたって既知の力を適用し、関連する振動を測定すると、周波数応答関数を計算してシステムの特性を判定することができます。この手法は、実験モード解析の分野で構造物の振動特性を決定するために使用されます。

シンプルな質量-バネ-ダンパー モデルは、振動解析の基礎です。上記のモデルは、質量が上下にのみ移動すると想定されているため、単一自由度(SDOF) モデルと呼ばれます。より複雑なシステムでは、システムを複数の方向に移動する複数の質量に分割し、自由度を追加する必要があります。多自由度 (MDOF) の主要な概念は、図に示すように、2 つの自由度モデルを見るだけで理解できます。

2DOF システムの運動方程式は次のようになります。

${\displaystyle m_{1}{\ddot {x_{1}}}+(c_{1}+c_{2}){\dot {x_{1}}}-c_{2}{\dot {x_{2}}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=f_{1},}$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {x_{2}}}-c_{2}{\dot {x_{1}}}+(c_{2}+c_{3}){\dot {x_{2}}}-k_{2}x_{1}+(k_{2}+k_{3})x_{2}=f_{2}.\!}$

これは行列形式で書き直すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x_{1}}}\\{\ddot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}+c_{2}&-c_{2}\\-c_{2}&c_{2}+c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x_{1}}}\\{\dot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{Bmatrix}}.}$

この行列方程式をより簡潔に表すと、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f\end{Bmatrix}}}$

ここで、 およびは、それぞれ質量、減衰、剛性行列と呼ばれる対称行列です。行列は NxN の正方行列で、N はシステムの自由度の数です。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}},}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}}$

以下の解析は、減衰がなく、力が加わっていない場合（つまり自由振動）を対象としています。粘性減衰システムの解析は、やや複雑です。^[12]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}=0.}$

この微分方程式は、次のタイプの解を仮定することで解くことができます。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}.}$

注: 指数解法は、線形微分方程式を解くために使用される数学的なトリックです。オイラーの公式を使用して解の実数部のみを取ると、1 DOF システムと同じコサイン解になります。指数解法が使用されるのは、数学的に操作しやすいためです。 ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}}$

すると方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}=0.}$

はゼロにはならないので、式は次のようになります。 ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

これは数学では固有値問題と呼ばれ、方程式に次の式をあらかじめ掛け合わせることで標準的な形式にすることができます。${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0}$

そしてもし:そして${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

この問題の解は N 個の固有値(つまり) になります。ここで N は自由度の数です。固有値はシステムの固有振動数を提供します。これらの固有値を元の方程式に代入すると、各固有値に対応する の値は固有ベクトルと呼ばれます。これらの固有ベクトルはシステムのモード形状を表します。固有値問題の解決は非常に面倒な場合があります (特に自由度が多い問題の場合) が、幸いなことにほとんどの数学分析プログラムには固有値ルーチンがあります。 ${\displaystyle \omega _{1}^{2},\omega _{2}^{2},\cdots \omega _{N}^{2}}$${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}}$

固有値と固有ベクトルは、多くの場合、次の行列形式で記述され、システムのモード モデルを記述します。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{1}^{2}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\omega _{N}^{2}\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\cdots {\begin{Bmatrix}\psi _{N}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}.}$

2 DOF モデルを使用した簡単な例で、概念を説明します。両方の質量が 1 kg で、3 つのスプリングの剛性がすべて 1000 N/m であるとします。この問題の質量と剛性のマトリックスは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$そして${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

それから${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

この問題の固有値は、固有値ルーチンによって次のように与えられます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1000&0\\0&3000\end{bmatrix}}.}$

ヘルツ単位の固有振動数は（覚えておいてください ）そして${\displaystyle \scriptstyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle \scriptstyle f_{1}=5.033\mathrm {\ Hz} }$${\displaystyle \scriptstyle f_{2}=8.717{\text{ Hz}}.}$

それぞれの固有振動数の 2 つのモード形状は次のように与えられます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}-0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{1}{\begin{Bmatrix}0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}.}$

このシステムは 2 DOF システムなので、それぞれ固有の周波数と形状を持つ 2 つのモードがあります。モード形状ベクトルは絶対的な動きではなく、自由度の相対的な動きを記述するだけです。この場合、最初のモード形状ベクトルは、質量が同じ値と符号を持っているため、質量が同位相で一緒に動いていることを示しています。2 番目のモード形状ベクトルの場合、各質量は同じ速度で反対方向に動いています。

自由度が多い場合、モード形状を視覚化する 1 つの方法は、Femap、ANSYS 、またはESI Groupの VA Oneなどの構造解析ソフトウェアを使用してモード形状をアニメーション化することです。 ANSYS のモーダル解析を使用して実証された片持ち梁のモード 形状のアニメーションの例を次の図に示します。 この場合、離散固有値問題を解くために、有限要素法を使用して対象オブジェクトをメッシュ化し、質量マトリックスと剛性マトリックスの近似値を生成します。 この場合、有限要素法はメッシュ化された表面 (無限の数の振動モードと周波数が存在) の近似値を提供することに注意してください。 したがって、100 を超える自由度を持ち、したがって同じ数の固有周波数とモード形状を持つこの比較的単純なモデルは、最初の固有周波数とモードの良い近似値を提供します^†。 一般に、実際のアプリケーションでは最初のいくつかのモードだけが重要です。

^ 数学モデルの数値近似を実行するときは、対象となるパラメータの収束を確認する必要があることに注意してください。

固有ベクトルには、直交性と呼ばれる非常に重要な特性があります。これらの特性は、多自由度モデルの解法を大幅に簡素化するために使用できます。固有ベクトルには次の特性があることがわかります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$は、各モードのモード質量と剛性値を含む対角行列です。(注: 固有ベクトル (モード形状) は任意にスケーリングできるため、各モードのモード質量値が 1 になるように、直交性プロパティを使用して固有ベクトルをスケーリングすることがよくあります。したがって、モード質量行列は単位行列です) ${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$

これらの特性を利用すると、次の座標変換を行うことで、多自由度モデルの解析を大幅に簡素化できます。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}.}$

この座標変換を元の自由振動微分方程式に適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

この式に次の式を乗じることで直交性の性質を利用して、${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

直交性の性質により、この方程式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

この方程式は、多自由度システムの振動解析の基礎となるものです。減衰システムについても同様の結果を導き出すことができます。^[12]重要なのは、モード質量行列と剛性行列が対角行列であるため、方程式が「分離」されていることです。言い換えれば、問題は、扱いにくい大きな多自由度問題から、上記と同じ方法を使用して解決できる多くの単一自由度問題に変換されています。

xを解くことはqを解くことに置き換えられ、これはモード座標またはモード関与係数と呼ばれます。

次のように書く と、よりわかりやすくなるかもしれません 。${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}}=q_{1}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{1}+q_{2}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{2}+q_{3}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{3}+\cdots +q_{N}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{N}.}$

この形式で記述すると、各自由度における振動は、モード形状の単なる線形和であることがわかります。さらに、各モードが最終的な振動にどの程度「参加」するかは、モード参加係数 q によって定義されます。

拘束されていない多自由度システムでは、剛体の並進および/または回転と振動の両方が発生します。剛体モードが存在すると、固有振動数はゼロになります。対応するモード形状は、剛体モードと呼ばれます。

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