実閉体

数学において、実閉体とは、実数体と同じ一階の性質を持つ体 Fである。例としては、実数体、実代数体、超実数体などがある。

実閉体とは、以下の同値な条件のいずれかが真となる 体Fです。

1. F は実数と基本的に同値です。言い換えると、実数と同じ第一階の性質を持ちます。つまり、体の第一階言語の任意の文は、実数で真である場合に限り、Fでも真です。
2. Fには全順序があり、これによって F は順序付き体となり、この順序では、Fのすべての正の要素はFに平方根を持ち、Fに係数を持つ奇数次の多項式はいずれもFに少なくとも 1 つの根を持ちます。
3. Fは形式的に実数体であり、 Fに係数を持つ奇数次多項式はすべてFに少なくとも 1 つの根を持ち、Fのすべての元aに対してFにbが存在し、 a  =  b ²またはa  = − b ²となります。
4. Fは代数的に閉じていないが、その代数的閉包は有限拡大である。
5. Fは代数的に閉じていませんが、体の拡大は 代数的に閉じています。${\displaystyle F({\sqrt {-1}}\,)}$
6. F上の順序付けは、 Fのいかなる適切な代数的拡大上の順序付けにも拡張されない。
7. Fは形式的に実な体であり、Fの適切な代数的拡大はどれも形式的に実ではありません。(言い換えると、体は形式的に実であるという性質に関して代数的閉包において最大です。)
8. Fには順序があり、それによって F は順序付き体となり、この順序では、次数≥ 0 のF上のすべての多項式に対して中間値定理が成立します。
9. Fは弱o極小順序体である。^[1]

• 実代数体
• 計算可能な数の体
• 定義可能な数の体
• 実数体
• 実係数のピュイズー級数体
• レヴィ・チヴィタ平原
• 超実数体
• 超実数体
• 超実数体（これは集合ではなく、真のクラスです）

Fが順序付き体の場合、アルティン・シュライアーの定理は、FにはFの実閉包 Kと呼ばれる代数的拡大があり、Kは実閉体で、その順序付けはF上の与えられた順序付けの拡大であり、F上の同一の体の唯一の同型を除いて一意であることを述べています^[2]（実閉体間のすべての環準同型は自動的に順序を保存することに注意してください。なぜなら、x  ≤  yである場合に限り、∃ z  : y  =  x  +  z ²だからです）。たとえば、有理数の順序付き体の実閉包は、実代数的数の体です。この定理は、 1926年に 証明したエミール・アルティンとオットー・シュライアーにちなんで名付けられました。${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$

( F , P ) が順序体で、E がFのガロア拡大である場合、ゾルンの補題により、最大順序体拡大 ( M , Q )が存在し、 MはEの部分体で、 M上の順序はP を拡張する。このM は、その順序Qとともに、 E における ( F , P ) の相対実閉包と呼ばれる。 MがちょうどFである場合、( F , P )はEに対して実閉包であると呼ぶ。 E が F の代数閉包である場合、EにおけるFの相対実閉包は、実際には前述のFの実閉包である。 ^[3]

Fが体の場合（体の演算と互換性のある順序付けは想定されておらず、Fが順序付け可能であるとも想定されていない）、F は依然として実閉包を持ちますが、これはもはや体ではなく、単に 実閉環 である可能性があります。たとえば、体の実閉包は環です（2 つのコピーは の 2 つの順序付けに対応します）。一方、を の順序付き部分体と見なすと、その実閉包は再び体 になります。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$

実閉体の言語には、加算と乗算の演算、定数 0 と 1、順序関係≤ (論理記号と見なされない場合は等号も) を表す記号が含まれます。この言語では、実閉体の (1 次) 理論は、次の公理から導かれるすべての文で構成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

• 順序体の公理;
• すべての正の数には平方根があるという公理。
• あらゆる奇数 に対して、次数 のすべての多項式は少なくとも 1 つの根を持つという公理。${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

これらの公理はすべて、一階述語論理で表現できます(つまり、量化の範囲は体の要素にのみ及びます)。 は、実数体について真であるすべての一階述語の集合にすぎないことに注意してください。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

タルスキは、が完全であることを示した。つまり、任意の- 文は上記の公理から真か偽かを証明できる。さらに、は決定可能であり、任意のそのような文の真偽を決定するアルゴリズムが存在する。これは、量指定子の除去を示すことによって行われた。つまり、自由変数を含む可能性のある任意の-式が与えられた場合、同じ自由変数で同等の量指定子のない式を生成するアルゴリズムが存在する。ここで同等とは、2 つの式が変数のまったく同じ値に対して真であることを意味する。タルスキの証明は、シュトゥルムの定理の一般化を使用している。自由変数のない量指定子のない式の真偽は簡単に確認できるため、これにより目的の決定手順が得られる。これらの結果は 1930年頃に得られ、1948 年に発表された。^[4]${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$

タルスキ・ザイデンベルグの定理は、この結果を次の射影定理に拡張する。Rが実閉体である場合、n 個の自由変数を持つ式は、式を満たす点の集合であるR ⁿの部分集合を定義する。このような部分集合は半代数集合と呼ばれる。k個の変数の部分集合が与えられた場合、R ⁿからR ^kへの射影は、すべてのn組を変数の部分集合に対応する成分のk組に写像する関数である。射影定理は、半代数集合の射影は半代数集合であり、半代数集合を定義する量指定子のない式が与えられた場合、その射影の量指定子のない式を生成するアルゴリズムが存在することを主張する。

実際、射影定理は量指定子除去と等価であり、式p ( x , y )で定義される半代数集合の射影は次のように定義される。

${\displaystyle (\exists x)P(x,y),}$

ここで、xとy はそれぞれ削除された変数の集合と保持された変数の集合を表します。

実数の第一階理論の決定可能性は、考慮される基本的な演算と関数（ここでは加算と乗算）に大きく依存します。正弦関数や指数関数などの他の関数記号を追加すると、決定不可能な理論が提供される場合があります。リチャードソンの定理と実数の第一階理論の決定可能性を参照してください。

さらに、実数の第一階理論（加算と乗算を使用）の完全性と決定可能性は、自然数の第一階理論（加算と乗算を使用）の不完全性と決定不可能性に関するゲーデルとチューリングの結果とは著しく対照的である。「 xは整数である」という命題は言語の第一階式として定式化することはできないため、矛盾はない。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$

タルスキの元の量指定子除去アルゴリズムは、非基本的な 計算量しかなく、タワーが存在しないことを意味する。

${\displaystyle 2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n}}}}}}$

入力式のサイズがnの場合、アルゴリズムの実行時間を制限することができます。ジョージ・E・コリンズによって導入された円筒代数分解は、複雑さのはるかに実用的なアルゴリズムを提供します 。

${\displaystyle d^{2^{O(n)}}}$

ここで、nは変数（自由変数と束縛変数）の総数、d は式に現れる多項式の次数の積、O ( n )はビッグオー表記です。

Davenport と Heintz (1988) は、長さO ( n )でn 個の量指定子を持ち、定数次数の多項式を含む式の族Φ _{n を}生成することによって、この最悪のケースの計算量が量指定子除去に対してほぼ最適であることを証明しました。これにより、 Φ _nと同等の量指定子のない式は、次数と長さの多項式(は大きなオメガ表記 )を含まなければなりません。これは、量指定子除去の時間計算量と空間計算量の両方が本質的に二重指数関数的であることを示しています。 ${\displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}}}$${\displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}},}$${\displaystyle \Omega (n)}$

決定問題では、ベン=オール、コーゼン、ライフ（1986）は、実閉体の理論が指数空間で決定可能であり、したがって二重指数時間で決定可能であることを証明したと主張したが、彼らの議論（複数の変数の場合）は一般的に欠陥があるとされている。議論についてはレネガー（1992）を参照のこと。

純粋に存在する式、つまり次のような形式の式の場合

∃ x ₁ , ..., ∃ x _k P ₁ ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0 ∧ ... ∧ P _s ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0,

ここで、⋈は<、>、  =のいずれかを表し、複雑度は低くなります。BasuとRoy （1996）は、 sk ⁺ 1dO ^（k）の算術演算と多項式空間の複雑度で、このような存在式の真偽を決定する適切なアルゴリズムを提供し^ました。

実数の非常に重要な性質は、それがアルキメデス体であるということです。つまり、任意の実数に対して、絶対値でそれよりも大きい整数が存在するというアルキメデスの性質を持ちます。この記述は、順序体の第 1 階言語では表現できないことに注意してください。その言語では整数を量化できないためです。

実閉体でありながら非アルキメデス的であるものがあります。たとえば、超実数の体はどれも実閉体であり、非アルキメデス的です。これらの体には、無限大 (任意の整数より大きい) および無限小 (正だが任意の正の有理数より小さい) の要素が含まれます。

アルキメデスの性質は共終性の概念に関連しています。順序付き集合Fに含まれる集合XがFにおいて共終的であるとは、 Fのすべてのyに対して、 y < xとなるようなxがXに存在することを意味します。言い換えると、XはFにおける無限シーケンスです。 Fの共終性は最小の共終集合の濃度、つまり無限シーケンスを与える最小の濃度のサイズです。たとえば、自然数は実数において共終的であるため、実数の共終性は です。 ${\displaystyle \aleph _{0}}$

したがって、実閉体Fの性質を定義する次の不変量が得られます。

• Fの基数。
• Fの共終性。

これに付け加えて

• Fの重み。これはFの密なサブセットの最小サイズです。

これら 3 つの基数は、実閉体の順序特性について多くのことを教えてくれますが、特に一般化連続体仮説を適用しない場合は、それが何であるかを発見するのは難しいかもしれません。また、保持されるか保持されないか分からない特定の特性もあります。

• 体Fが完全であるとは、FがKにおいて稠密となるような順序付き体Kが存在しないことを意味します。 Fの共終性が κ である場合、これはκでインデックス付けされたコーシー列がFにおいて収束するということに相当します。
• 順序体F は、順序数α_に対して、Fの任意の 2 つの部分集合LとUで濃度が より小さく、 Lのすべての要素がUのすべての要素より小さいものに対して、 Fに、Lのすべての要素より大きくUのすべての要素より小さい要素xが存在する場合、イータ集合特性 η αを持ちます。これは、飽和モデルであるというモデル理論的特性と密接に関連しています。任意の 2 つの実閉体は、それらが -飽和である場合に限り、 η _αであり、さらに、濃度が両方ともである 2 つの η _α実閉体は順序同型です。 ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

一般化された連続体仮説を仮定すれば、実閉体の特性はずっと簡単になります。連続体仮説が成り立つ場合、連続体の濃度を持ち、η ₁特性を持つすべての実閉体は、順序同型です。この一意の体Ϝ は、超冪によって として定義できます。ここで、M は、と順序同型の体につながらない最大イデアルです。これは、非標準解析で最も一般的に使用される超実数体であり、その一意性は連続体仮説と同等です。(連続体仮説がなくても、連続体の濃度が である場合、 サイズ の一意のη _β体が得られます。) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \aleph _{\beta }}$${\displaystyle \aleph _{\beta }}$

さらに、 Ϝ を構成するために超冪は必要なく、濃度η ₁群である全順序アーベル可分群G上の形式冪級数の体の可算個の非ゼロ項を持つ級数の部分体として、より構成的に行うことができます(Alling 1962)。 ${\displaystyle \mathbb {R} [[G]]}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

しかし、 Ϝ は完備体ではありません。その完備化を取ると、より大きな濃度の体Κになります。Ϝは連続体の濃度を持ち、これは仮定により であり、Κ は濃度 を持ち、稠密な部分体としてϜ を含みます。これは超冪ではありませんが、超実数体であるため、非標準解析の用途に適した体です。これは、の代わりに濃度、の代わりに共終性、の代わりに重みを持ち、η ₀プロパティ (任意の 2 つの実数の間に別の実数を見つけることができることを意味するだけ)の代わりにη ₁プロパティを持つ、実数の高次元類似体と見ることができます。 ${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

タルスキの公理は、ユークリッド幾何学の第一段階（「初等」）部分の公理体系である。これらの公理を使用すると、直線上の点が実閉体 R を形成することを示すことができ、ユークリッド平面が R ²と同一視されるように座標を導入することができる。実閉体理論の決定可能性を用いて、タルスキはユークリッド幾何学の初等理論が完全かつ決定可能であることを証明した。^[4]

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