保存ベクトル場

ベクトル解析において、保存ベクトル場とは、ある関数の勾配であるベクトル場のことである。^{[ 1 ]}保存ベクトル場は、その線積分が経路に依存しないという性質を持つ。2点間の経路の選択によって線積分の値は変わらない。線積分の経路独立性は、線積分に含まれるベクトル場が保存的であることと同値である。保存ベクトル場は非回転的でもある。3次元では、これは回転がゼロであることを意味する。非回転ベクトル場は、領域が単連結であれば必然的に保存的である。

保存ベクトル場は力学において自然に現れる。これらは、エネルギーが保存される物理システムの力を表すベクトル場である。^{[ 2 ]}保存システムの場合、構成空間内の経路に沿って移動する際に行われる仕事は経路の端点のみに依存するため、実際にたどった経路に依存しない位置エネルギーを定義することができる。

2次元および3次元空間では、2点間の積分を行う際に曖昧さが生じます。なぜなら、2点間には無限に多くの経路が存在するからです。2点間を結ぶ直線以外にも、図に示すように、より長い曲線経路を選択することも可能です。したがって、一般に、積分の値は選択した経路に依存します。しかし、保存ベクトル場の特殊な場合、積分の値は選択した経路に依存しません。これは、すべての要素が大規模に相殺されると考えることができます。$\displaystyle dR$2点間の直線に沿った成分を持たないもの。これを視覚化するために、2人が崖を登っているところを想像してみてください。1人は崖を垂直に登ることにし、もう1人は崖の高さよりも長いが水平面に対してわずかな角度で曲がった曲がりくねった道を歩くことにします。2人の登山者は崖の頂上まで異なるルートを通りましたが、頂上ではどちらも同じ量の重力ポテンシャルエネルギーを得ています。これは、重力場が保存的であるためです。

M.C.エッシャーのリトグラフ作品『昇降』は、非保存的なベクトル場を描いています。これは、階段を上る際に地面からの高さ（重力ポテンシャル）の勾配のように見えるように、あり得ない方法で表現されています。階段を上る人が受ける力場は非保存的です。なぜなら、上昇しながら下降するよりも多く、あるいはその逆の場合でも、出発点に戻ることができ、結果として重力による仕事がゼロにならないからです。実際の階段では、地面からの高さはスカラーポテンシャル場です。同じ場所に戻るには、下降するのと全く同じだけ上昇する必要があり、その場合、重力による仕事は合計でゼロになります。これは、階段で行われる仕事が経路に依存しないことを示唆しています。言い換えれば、受ける力場は保存的です（後のセクション「経路の独立性と保存的なベクトル場」を参照）。この版画に描かれている状況はあり得ません。

ベクトル場$\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}}$、 どこ${\displaystyle U}$は、の開部分集合である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$が存在する場合、保守的であると言われます。${\displaystyle C^{1}}$（連続的に微分可能な）スカラー場${\displaystyle \varphi }$^{[ 3 ]}​${\displaystyle U}$そのため

$${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}$$

ここ、${\displaystyle \nabla \varphi }$の勾配を表す${\displaystyle \varphi }$。 以来${\displaystyle \varphi }$連続的に微分可能であり、${\displaystyle \mathbf {v} }$は連続である。上記の式が成り立つ場合、${\displaystyle \varphi }$これはスカラーポテンシャルと呼ばれます。${\displaystyle \mathbf {v} }$。

ベクトル解析の基本定理は、いくつかの正則条件の下では、任意のベクトル場は保存ベクトル場とソレノイド場の和として表すことができると述べている。

させて${\displaystyle n=3}$（3次元空間）$\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{3}}$になる${\displaystyle C^{1}}$（連続的に微分可能な）ベクトル場、開集合を持つ${\displaystyle U}$の$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。 それから${\displaystyle \mathbf {v} }$カールが​${\displaystyle \mathbf {0} }$あらゆる場所で${\displaystyle U}$つまり、もし $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} .}$$

このため、このようなベクトル場は、回転のないベクトル場、あるいは回転のないベクトル場と呼ばれることがあります。また、縦方向ベクトル場とも呼ばれます。

これはベクトル解析の恒等式であり、任意の${\displaystyle C^{2}}$（2階微分まで連続的に微分可能な）スカラー場${\displaystyle \varphi }$の上${\displaystyle U}$、 我々は持っています $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )\equiv \mathbf {0} .}$$

したがって、すべての${\displaystyle C^{1}}$保存ベクトル場${\displaystyle U}$また、回転しないベクトル場でもある。${\displaystyle U}$この結果は、次のように表現することで簡単に証明できます。${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}$シュワルツの定理（混合偏微分の等価性に関するクレローの定理とも呼ばれる）を用いたデカルト座標系において。

ただし、${\displaystyle U}$単連結な開空間（大まかに言えば、内部に穴のない単一の開空間）である場合、その逆もまた真である。単連結な開空間内のすべての非回転ベクトル場は${\displaystyle U}$は${\displaystyle C^{1}}$保存ベクトル場${\displaystyle U}$。

上記の記述は一般的には正しくありません。${\displaystyle U}$単純につながっているわけではない。${\displaystyle U}$なれ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$すべての座標を削除して${\displaystyle z}$-軸（つまり単連結空間ではない）、すなわち、${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$では、ベクトル場を定義します。${\displaystyle \mathbf {v} }$の上${\displaystyle U}$による $${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right).}$$

それから${\displaystyle \mathbf {v} }$どこにもカールがありません${\displaystyle U}$（${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }$あらゆる場所で${\displaystyle U}$)、つまり、${\displaystyle \mathbf {v} }$は非回転です。しかし、${\displaystyle \mathbf {v} }$単位円の周り${\displaystyle xy}$-飛行機は${\displaystyle 2\pi }$;極座標では、${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{\phi }/r}$単位円上の積分は次のようになります。 $${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{\phi }~d{\phi }=2\pi .}$$

したがって、${\displaystyle \mathbf {v} }$上記で説明した経路独立性を持たないため、たとえ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }$以来${\displaystyle U}$どこ${\displaystyle \mathbf {v} }$定義されるのは、単純に連結された開放空間ではない。

もう一度言うと、単連結な開領域では、非回転ベクトル場${\displaystyle \mathbf {v} }$パス独立性を持つ（したがって${\displaystyle \mathbf {v} }$これはストークスの定理を用いて直接証明できる。$${\displaystyle \oint _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{A}(\nabla \times \mathbf {v} )\cdot d\mathbf {a} =0}$$滑らかな向きの任意の表面に対して${\displaystyle A}$どの境界が単純な閉じた経路であるか${\displaystyle P_{c}}$したがって、単純連結な開領域では、${\displaystyle C^{1}}$経路独立性を持つベクトル場（つまり保存ベクトル場）は、必ず非回転性も持ち、その逆もまた然りである。

力に関連付けられたベクトル場${\displaystyle \mathbf {F} }$が保存的である場合、その力は保存力であると言われる。

保存力の最も顕著な例は、重力（重力場に関連する力）と電気力（静電場に関連する力）です。ニュートンの万有引力の法則によれば、重力は${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$質量に作用する${\displaystyle m}$質量による${\displaystyle M}$遠く離れた場所に位置する${\displaystyle r}$から${\displaystyle m}$、次の式に従う

$${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-{\frac {GmM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$

どこ${\displaystyle G}$は重力定数であり、${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$は、からを指す単位ベクトルです。${\displaystyle M}$向かって${\displaystyle m}$重力は保存力である。${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-\nabla \Phi _{G}}$、 どこ

$${\displaystyle \Phi _{G}~{\stackrel {\text{def}}{=}}-{\frac {GmM}{r}}}$$

は重力ポテンシャルエネルギーです。言い換えれば、重力場です。${\displaystyle {\frac {\mathbf {F} _{G}}{m}}}$重力に関連する${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$は重力ポテンシャルの勾配である${\displaystyle {\frac {\Phi _{G}}{m}}}$重力ポテンシャルエネルギーに関連する${\displaystyle \Phi _{G}}$形式の任意のベクトル場は、${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$保守的であるが、${\displaystyle F(r)}$積分可能である。

保存力の場合、経路独立性は、ある地点から別の地点へ移動する際に行われる仕事が、${\displaystyle A}$ある程度まで${\displaystyle B}$選択された移動経路とは無関係です（ポイントのみに依存します）${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$）そしてその作品${\displaystyle W}$単純な閉ループを一周することで完了します${\displaystyle C}$は${\displaystyle 0}$:

$${\displaystyle W=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d{\mathbf {r} }=0.}$$

保存力の影響下で運動する粒子の全力学的エネルギーは保存される。つまり、位置エネルギーの損失は同量の運動エネルギーに変換されるか、あるいはその逆が成り立つ。

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• アチソン、DJ（1990）。初等流体力学。オックスフォード大学出版局。ISBN 0198596790。