幾何学の基礎

公理系について議論する際には、いくつかの特性がしばしば注目されます。^{[ 6 ]}

• 公理系の公理は、そこから論理的な矛盾を導き出せない場合に、無矛盾であると言われる。最も単純な系を除けば、公理系において無矛盾性を確立することは困難である。一方、公理系にモデルが存在する場合、その系で導き出せる矛盾はすべてモデルでも導き出せるため、その公理系は、モデルが属する他のどの系と同程度に無矛盾である。この性質（モデルを持つこと）は、相対的無矛盾性、あるいはモデル無矛盾性と呼ばれる。
• 公理は、その公理系を構成する他の公理から証明も反証もできない場合に、独立であると言われます。公理系は、その各公理が独立である場合に独立であると言われます。ある命題が公理系の論理的帰結である場合、その命題はその公理系のあらゆるモデルにおいて真となります。ある公理が公理系の残りの公理から独立であることを証明するには、残りの公理の2つのモデルを見つけ、一方のモデルではその公理が真であり、もう一方のモデルでは偽となるようにすれば十分です。独立性は、教育的な観点から必ずしも望ましい性質ではありません。
• 公理系は、その系の用語で表現できるすべての命題が証明可能であるか、または証明可能な否定を持つ場合に、完全であると呼ばれる。言い換えれば、完全な公理系には、その系の公理と矛盾しない独立した命題を追加することはできない。
• 公理系は、その系の任意の2つのモデルが同型である場合（つまり、その系には1つのモデルしか存在しない場合）、圏論的である。圏論的系は必ず完全であるが、完全性は圏論性を意味するものではない。圏論的公理系は一般化できないため、圏論性が望ましい性質ではない場合もある。例えば、群論の公理系の価値は、それが圏論的ではないことにある。つまり、群論で結果を証明すれば、その結果は群論のあらゆる異なるモデルで有効であり、同型でない各モデルで結果を再証明する必要がない。

ユークリッドの『原論』は、紀元前300年頃にアレクサンドリアで古代ギリシャの数学者ユークリッドによって書かれた13巻からなる数学と幾何学の論文です。定義、公理（公理）、命題（定理と構成）、および命題の数学的証明の集まりです。13巻はユークリッド幾何学と古代ギリシャ版の初等整数論を扱っています。アウトリュコスの『動く球面について』を除けば、『原論』は現存する最古のギリシャの数学論文の1つであり^{[ 9 ]}、現存する最古の公理的演繹法による数学の扱いです。論理学と現代科学の発展に重要な役割を果たしてきました。

ユークリッドの『原論』は、これまで書かれた中で最も成功した^{[ 10 ] [ 11 ]}、最も影響力のある^{[ 12 ]}教科書として言及されてきた。1482年にヴェネツィアで初めて活字化されて以来、印刷機の発明後に印刷された最初期の数学書の1つであり、カール・ベンジャミン・ボイヤーは、出版された版数において聖書に次ぐ2番目であると推定し^{[ 12 ]} 、その数は1000をはるかに超えていた^{[ 13 ]} 。何世紀にもわたり、四科（クアドリヴィウム）がすべての大学生のカリキュラムに含まれていた時代には、すべての学生に少なくとも『原論』の一部の知識が求められていた。その内容が他の学校教科書を通して普遍的に教えられるようになった20世紀になって初めて、教養のある人なら誰もが読んだことがあるものと見なされるようになった^{[ 14 ] 。}

『原論』は主に、それまでの幾何学の知識を体系化したものである。その優位性が以前の著作よりも認められたため、以前の著作を保存することへの関心は薄れ、現在ではほぼ全て失われてしまっていると考えられている。

第1巻から第4巻と第6巻では平面幾何学について論じている。平面図形に関する多くの結果が証明されている。例えば、三角形に2つの等しい角がある場合、それらの角によって張られる辺は等しい。ピタゴラスの定理が証明されている。^{[ 15 ]}

第5巻と第7巻～第10巻では数論を扱い、数を様々な長さの線分として表現することで幾何学的に扱います。素数、有理数、無理数といった概念が導入され、素数が無限に存在することが証明されます。

第11巻から第13巻は立体幾何学に関するものである。典型的な例として、高さと底面が同じ円錐と円柱の体積比が1：3であることが挙げられる。

ユークリッドは『原論』第1巻の冒頭近くで、平面幾何学に関する5つの公理（公理）を、作図の観点から述べている（トーマス・ヒース訳）：^{[ 16 ]}

次のことを仮定する。

1. 任意の点から任意の点へ直線を引く。
2. 有限の直線を連続的に直線上に生成（延長）する。
3. 任意の中心と距離（半径）を持つ円を記述します。
4. すべての直角は互いに等しい。
5. 【平行線公準】2本の直線に交わる直線が、同じ側の内角を2直角より小さくするならば、2本の直線を無限に延長すると、2直角より小さい角が存在する側で交わる。

ユークリッドの公理は作図の存在を明示的に主張しているに過ぎないが、作図によって一意の物体が生み出されることも前提とされている。

『原論』の成功は、主にユークリッドが当時利用できた数学的知識のほとんどを論理的に提示したことによる。多くの内容は彼独自のものではないが、証明の多くは彼によるものとされている。少数の公理から深遠な結果へと体系的に展開したユークリッドの手法と、『原論』全体を通して一貫したアプローチは、約2000年にわたり教科書として用いられた。『原論』は現代の幾何学書にも影響を与え続けている。さらに、その論理的な公理的アプローチと厳密な証明は、数学の礎石であり続けている。

ユークリッドが『原論』を著して以来、数学的厳密性の基準は変化してきた。^{[ 17 ]}公理系に対する現代の態度や見解からすると、ユークリッドは何らかの点でこの主題への取り組みがずさんだったり不注意だったりしたように見えるかもしれないが、これは非歴史的な錯覚である。非ユークリッド幾何学の導入に対応して基礎が綿密に検討されるようになって初めて、現在私たちが欠陥と考えるものが明らかになり始めたのである。数学者で歴史家のWWラウズ・ボールはこれらの批判を、次のように位置づけている。「『原論』が2000年間この主題の一般的な教科書であったという事実は、それがその目的に不適切ではないという強い推測を生む。」^{[ 18 ]}

ユークリッドの表現における主な問題点は以下のとおりです。

• 公理系の開発において定義されないままにしておくべき原始的な用語、対象、概念の概念が認識されていない。 ^{[ 19 ]}
• この方法の公理的正当化がないにもかかわらず、いくつかの証明で重ね合わせが使用されている。^{[ 20 ]}
• ユークリッドが構成したいくつかの点や線の存在を証明するために必要な連続性の概念が欠如している。^{[ 20 ]}
• 第２の公準では、直線が無限であるか境界がないかが明確でない。^{[ 21 ]}
• 中間性の概念の欠如は、とりわけ、さまざまな図形の内部と外部を区別するために用いられる。^{[ 22 ]}

ユークリッドの『原論』における公理のリストは網羅的ではなく、最も重要と思われる原理を表していた。彼の証明では、当初公理のリストには示されていなかった公理的概念がしばしば用いられる。^{[ 23 ]}彼は、このために誤ったことを証明することはない。なぜなら、彼は、証明に付随する図によって妥当性が正当化されているように見える暗黙の仮定を利用しているからである。後世の数学者たちは、ユークリッドの暗黙の公理的仮定を形式的な公理のリストに組み込み、それによってそのリストを大幅に拡張した。^{[ 24 ]}

例えば、第1巻の最初の構成において、ユークリッドは、半径と同じ距離に中心を持つ2つの円は2点で交わるという、仮定も証明もされていない前提を使用しました。^{[ 25 ]}その後、第4の構成において、彼は重ね合わせ（三角形を重ね合わせる）を使用して、2つの辺とその角が等しい場合、それらは合同であることを証明しました。これらの考察において、彼は重ね合わせのいくつかの性質を使用していますが、これらの性質は論文の中で明示的に説明されていません。重ね合わせが有効な幾何学的証明方法であると考えるならば、幾何学全体がそのような証明で満ち溢れることになります。例えば、命題I.1からI.3は、重ね合わせを使用することで自明に証明できます。^{[ 26 ]}

ユークリッドの著作におけるこれらの問題に対処するために、後世の著者は、ユークリッドの説明の欠落部分を埋めようと試みたり（これらの試みの中で最も注目すべきものはD.ヒルベルト によるもの）、G.D.ビルコフが行ったように、§さまざまな概念を中心に公理系を整理したりしてきた。

ドイツの数学者モーリッツ・パッシュ（1843年- 1930年）は、ユークリッド幾何学を確固たる公理的基盤の上に置いた最初の人物である。^{[ 27 ]} 1882年に出版された著書『新幾何学講義』の中で、パッシュは現代の公理的方法の基礎を築いた。彼は原始概念（彼が「Kernbegriffe 」と呼んだもの）の概念を考案し、公理（ Kernsätzen ）とともに、直観的な影響から解放された形式体系を構築した。パッシュによれば、直観が役割を果たすべき唯一の場所は、原始概念と公理が何であるかを決定するときである。したがって、パッシュにとって、点は原始概念であるが、線（直線）はそうではない。なぜなら、私たちは点については良い直観を持っているが、誰も無​​限線を見たことも経験したこともないからである。パッシュがその代わりに用いる原始的な概念は線分である。

パッシュは、直線上の点の順序（あるいは同等に、線分の包含関係）はユークリッドの公理では適切に解決されないことを指摘した。したがって、 2つの線分包含関係が成り立つならば3つ目の包含関係も成り立つというパッシュの定理は、ユークリッドの公理からは証明できない。関連するパッシュの公理は、直線と三角形の交点関係に関するものである。

パッシュの基礎に関する研究は、幾何学だけでなく、より広い数学の文脈においても、厳密さの基準を確立しました。彼の画期的なアイデアは今では非常に一般的であるため、それらが単一の創始者によって生み出されたことを思い出すのは難しいほどです。パッシュの研究は、他の多くの数学者、特にD.ヒルベルトとイタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノ（1858 - 1932）に直接影響を与えました。ペアノの1889年の幾何学に関する研究は、パッシュの論文を記号論理の記法（ペアノが発明したもの）に翻訳したものが大部分を占めており、点と中間性という原始概念を使用しています。^{[ 28 ]}ペアノは、パッシュが必要とした原始概念と公理の選択における経験的な結びつきを断ち切りました。ペアノにとって、システム全体は純粋に形式的であり、いかなる経験的入力からも切り離されています。^{[ 29 ]}

イタリアの数学者マリオ・ピエリ（1860 - 1913）は異なるアプローチを取り、点と運動という2つの基本的な概念のみが存在するシステムを考察した。^{[ 30 ]}パッシュは4つの基本概念を使用し、ペアノはこれを3つに減らしたが、これらのアプローチはいずれもピエリが運動の定式化で置き換えた中間性の概念に依存していた。1905年、ピエリは実射影幾何学の構築から始めない、複素射影幾何学の最初の公理的扱いを与えた。

ピエリは、ペアノがトリノで集めたイタリアの幾何学者と論理学者のグループの一員だった。この助手、若手同僚、その他からなるグループは、ペアノの論理記号に基づいて幾何学の基礎を確固たる公理的基盤に据えるというペアノの論理幾何学プログラムを実行することに専念していた。ピエリの他に、ブラリ＝フォルティ、パドア、ファノもこのグループにいた。1900年にパリで国際哲学会議と第2回国際数学者会議という2つの国際会議が連続して開催された。このイタリアの数学者グループはこれらの会議で非常に目立ち、公理的課題を推進した。^{[ 31 ]}パドアは高く評価された講演を行い、ペアノは、ダヴィッド・ヒルベルトの未解決問題に関する有名な講演後の質疑応答で、同僚たちがすでにヒルベルトの第2問題を解決したと述べた。

ゲッティンゲン大学では、1898年から1899年の冬学期に、著名なドイツの数学者ダフィット・ヒルベルト（1862年- 1943年）が幾何学の基礎に関する講義を行いました。フェリックス・クラインの依頼により、ヒルベルト教授は、1899年夏に大学で行われるC.F.ガウスとヴィルヘルム・ウェーバーの記念碑の除幕式に間に合うように、この講義の講義ノートを執筆するよう依頼されました。再構成された講義は、1899年6月に『幾何学の基礎』（ Grundlagen der Geometrie ）というタイトルで出版されました。この本の影響はすぐに現れました。イーブス（1963年、384 ～ 385ページ）によると、

ユークリッド幾何学の公準体系を、ユークリッド自身の精神から大きく逸脱することなく、かつ最小限の記号を用いて構築することで、ヒルベルトはパッシュやペアノよりもはるかに多くの数学者に、幾何学の純粋に仮説演繹的な性質を納得させることに成功した。しかし、ヒルベルトの業績の影響はこれにとどまらず、著者の偉大な数学的権威に支えられ、幾何学の分野だけでなく、他のほぼすべての数学分野に公準法をしっかりと根付かせた。ヒルベルトの小著が数学の基礎の発展に与えた刺激は、過大評価しがたい。パッシュやペアノの著作に見られるような奇妙な記号表現がないため、ヒルベルトの著作は、高校レベルの幾何学を学ぶ聡明な学生であれば、大部分を理解することができる。

ヒルベルトが使用した公理を特定するには、ヒルベルトが何度も変更や修正を加えたため、『基礎論』の出版履歴を参照する必要がある。オリジナルのモノグラフに続いてすぐにフランス語訳が出版され、その中でヒルベルトは完全性公理である第2章を追加した。ヒルベルトの許可を得て、EJタウンゼントが英語訳を作成し、1902年に著作権を取得した。^{[ 32 ]}この翻訳はフランス語訳で行われた変更を取り入れているため、第2版の翻訳とみなされている。ヒルベルトはテキストの変更を続け、ドイツ語でいくつかの版が出版された。第7版はヒルベルトの生前に出版された最後の版である。第7版以降、新しい版が出版されたが、本文は基本的に改訂されなかった。これらの版の変更は付録と補遺で行われている。テキストの変更はオリジナルと比較すると大きかったため、タウンゼント訳を出版したオープンコート出版社が新しい英語訳を依頼した。そこで、第2版の英語版は、1971年にレオ・ウンガーが第10版のドイツ語版から翻訳したものである。 ^{[ 33 ]}この翻訳には、ポール・ベルネイスによる後のドイツ語版のいくつかの改訂と増補が取り入れられている。2つの英語版の違いは、ヒルベルトだけでなく、2人の翻訳者の選択の違いにも起因している。以下では、ウンガー訳に基づいて説明する。

ヒルベルトの公理系は、点、線、平面、中間性、 包含関係、合同という6つの基本概念で構成されている。

特に断りのない限り、以下の公理におけるすべての点、線、平面はそれぞれ異なるものとする。

I. 発生率

1. 任意の2点AとBに対して、両方を含む直線aが存在します。これをAB = aまたはBA = aと表記します。「含む」の代わりに、他の表現を用いることもできます。例えば、「Aはa上にある」、「Aはaの点である」、「aはAとBを通る」、「aはAとBを結ぶ」などです。Aがa上にあり、同時に別の直線b上にある場合は、「直線aとbは点Aを共通に持つ」などの表現も使用します。
2. 任意の2点に対して、それら両方を含む直線は1つしか存在しない。したがって、AB = aかつAC = a（ただしB ≠ C）であれば、 BC = aも成り立つ。
3. 直線上には少なくとも２つの点が存在する。直線上にない点は少なくとも３つ存在する。
4. 同一線上にない任意の3点A、B、Cに対して、それらすべてを含む平面αが存在する。すべての平面には、その平面上にある点が存在する。ABC = αと表記する。また、「 A、B、Cはα上にある」、「A、B、Cはα上の点である」などの表現も用いる。
5. 同一線上にない3点A、B、Cに対して、それらすべてを含む平面はただ1つしか存在しない。
6. 直線 a 上の2 点A、Bが平面 α 上にある場合、直線 a 上のすべての点はα上にある。この場合、「直線a は平面 α 上にある」などと言う。
7. 2つの平面αとβが共通の点Aを持つ場合、それらは少なくとも2つ目の点Bを共通に持つ。
8. 平面上にない点が少なくとも4つ存在する。

II. 順序

1. 点Bが点Aと点Cの間にある場合、B はCとAの間にもあり、異なる点A、B、Cを含む直線が存在する。
2. AとCが直線上の2点である場合、 AとCの間に少なくとも1つの点Bが存在する。
3. 直線上に位置する任意の3点のうち、他の2点の間にある点は1点以下である。
4. パッシュの公理：A、B、C を同一線上にない 3 つの点とし、a を平面ABC上にあり、点A、B、Cのいずれも通らない直線とする。このとき、直線a が線分AB上の点を通るならば、直線 a は線分BC上の点か線分AC上の点の 1つも通る。

III. 一致

1. A、Bが直線a上の 2 点であり、A′が同じ直線 a′ または別の直線a′上の点である場合、直線a′上のA′の任意の辺上に、線分ABが線分A′B′と合同となるような点B′を必ず見つけることができます。この関係はAB ≅ A′ B′と表記します。すべての線分はそれ自身と合同です。つまり、常にAB ≅ ABが成り立ちます。上記の公理は、任意の直線上の任意の点の任意の辺上に、少なくとも 1 つの方法で任意の線分を配置できる、と簡潔に述べることができます。
2. 線分AB が線分A′B′と合同であり、かつ線分A″B″とも合同である場合、線分A′B′は線分A″B″と合同です。つまり、AB ≅ A′B′かつAB ≅ A″B″であれば、A′B′ ≅ A″B″となります。
3. 線分aの 2 つのセグメントABとBC は、点B以外に共通点を持たないものとします。さらに、同じ線分 a′ または別の線分a′の 2 つのセグメントA′B′とB′C′は、同様に、点B′以外に共通点を持たないものとします。このとき、 AB ≅ A′B′かつBC ≅ B′C′であれば、 AC ≅ A′C′となります。
4. 平面 α において角 ∠  ( h , k ) が与えられ、平面 α′ において直線a′が与えられているとします。また、平面 α′ において直線a′の特定の辺が指定されているとします。直線 a′ 上の点O′から発する直線a′の半直線をh′とします。すると、平面 α′ において、角∠ ( h , k )または ∠ ( k , h ) が角 ∠ ( h′ , k′ ) と合同であり、かつ角 ∠ ( h′ , k′ ) のすべての内点がa′の指定された辺上にあるような半直線 k′ がただ 1 つだけ存在します。この関係を記号 ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′ , k ′ )で表します。      
5. 角 ∠  ( h , k ) が角 ∠  ( h′ , k′ ) および角 ∠  ( h″ , k″ ) と合同である場合、角 ∠  ( h ′ , k′ ) は角 ∠  ( h″ , k″ ) と合同です。つまり、∠  ( h , k ) ≅ ∠  ( h′ , k′ ) および ∠  ( h , k ) ≅ ∠  ( h″ , k″ ) であれば、∠  ( h′ , k′ ) ≅ ∠  ( h″ , k″ ) となります。

IV. 類似点

1. （ユークリッドの公理）：^{[ 34 ]} a を任意の直線とし、A をその直線上にない点とする。このとき、平面上には、 aとAによって決定される直線で、 Aを通り、 aと交わらない直線が最大で 1 つ存在する。

V. 継続性

1. アルキメデスの公理。ABとCDが任意の線分である場合、AからBを通る光線に沿ってAから連続して構成されたn個の線分CDが点Bを越えるような数nが存在する。
2. 直線の完全性の公理。元の要素間の関係と、公理 I〜III および V-1 から導かれる直線の順序と合同の基本的な性質を保持するような、順序と合同関係を持つ直線上の点の集合の拡張は不可能である。

1932年、G.D.ビルコフは、ビルコフの公理と呼ばれることもあるユークリッド幾何学の4つの公理を考案した。^{[ 38 ]}これらの公理はすべて、スケールと分度器で実験的に検証できる基本的な幾何学に基づいている。ヒルベルトの総合的アプローチとは根本的に異なり、ビルコフは実数体系に基づいて幾何学の基礎を築いた最初の人物である。^{[ 39 ]}この強力な仮定によって、この体系の公理の数が少なくて済むのである。

高校レベルで公理的な観点からユークリッド幾何学を教えることが賢明かどうかは議論の的となってきた。これまで多くの試みがなされてきたが、すべてが成功したわけではない。1904年、ジョージ・ブルース・ハルステッドはヒルベルトの公理系に基づいた高校の幾何学の教科書を出版した。^{[ 41 ]}この教科書に対する論理的な批判により、大幅に改訂された第2版が出版された。^{[ 42 ]}ロシアの人工衛星スプートニクの打ち上げを受けて、米国では学校の数学カリキュラムを改訂するよう求める声が上がった。この取り組みから1960年代のニューマスプログラムが生まれた。こうした背景のもと、多くの個人や団体が公理的なアプローチに基づいた幾何学の授業用の教材を提供しようと試みた。

マック・レーンの公理

数学者のサンダース・マック・レーン（1909年- 2005年） ^{[ 43 ]}は、1959年に論文を発表し、実数を線分に関連付けるために距離関数を使用するバーコフの扱いに倣って、ユークリッド幾何学の公理系を提案した。^{[ 44 ]}これは、バーコフの体系に基づいて学校レベルの扱いをしようとする最初の試みではなかった。実際、バーコフとラルフ・ビートリーは1940年に高校向けの教科書を執筆しており^{[ 45 ]、}そこでは5つの公理と線分と角度を測定する能力からユークリッド幾何学を展開していた。しかし、高校生向けに扱うために、数学的および論理的な議論の一部は無視されるか、曖昧にされた。^{[ 42 ]}

マックレーンのシステムには、点、距離、線、角度の測定という 4 つの基本的な概念(未定義の用語)があります。また、14 の公理があり、そのうち 4 つは距離関数の性質を示し、4 つは線の性質を記述し、4 つは角度 (この扱いでは方向付き角度) について議論し、1 つの相似公理 (基本的にバーコフの公理と同じ) と、クロスバー定理とその逆を導出するために使用できる連続性公理があります。^{[ 46 ]}公理の数が増えることで、展開の初期段階の証明が理解しやすくなるという教育上の利点があり、馴染みのある計量を使用することで、基本的な内容を迅速に進めることができ、主題のより「興味深い」側面に早く到達することができます。

オズワルド・ヴェブレン（1880年- 1960年）は、1904年にヒルベルトとパッシュが用いた「中間性」の概念を新しい基本概念である「順序」に置き換えることで、新しい公理系を提供した。これにより、ヒルベルトが用いたいくつかの基本用語が定義可能な実体となり、基本概念の数は「点」と「順序」の2つに減った。^{[ 37 ]}

ユークリッド幾何学には、長年にわたって他にも多くの公理系が提案されてきた。これらの多くを比較したものが、ヘンリー・ジョージ・フォーダーによる1927年のモノグラフに掲載されている。^{[ 53 ]}フォーダーはまた、異なる体系の公理を組み合わせることで、点と順序という2つの基本概念に基づいた独自の扱いも提供している。さらに、ピエリの体系（1909年）の1つを、点と合同という基本概念に基づいてより抽象的に扱っている。^{[ 42 ]}

ペアノ以来、論理学者の間ではユークリッド幾何学の公理的基礎に関する関心が並行して存在してきた。これは、公理を記述するために用いられる記法にも部分的に表れている。ピエリは、幾何学の伝統的な言語で記述していたにもかかわらず、常にペアノによって導入された論理記法で考えており、その形式主義を用いて証明方法を検討していたと主張した。この種の記法の典型的な例は、1913年に球と包含（ある球が別の球の中に含まれている）という基本的な概念に基づいて3次元ユークリッド幾何学の公理的扱いを作成したE.V.ハンティントン（1874 - 1952 ^）の著作に見られる。^{[ 54] [42 ]記法以外}にも、幾何学理論の論理構造への関心もある。アルフレッド・タルスキは、彼が初等幾何学と呼んだ幾何学の一部が一階述語論理理論であることを証明した（タルスキの公理を参照）。

ユークリッド幾何学の公理的基礎に関する現代のテキストによる解説は、HG ForderとGilbert de B. Robinson ^{[ 55 ]}のパターンを踏襲しており、異なる体系の公理を組み合わせて異なる強調を生み出している。Venema (2006)はこのアプローチの現代的な例である。

2000年もの間、ユークリッドの最初の4つの公準を用いて平行線公準を証明しようとする試みが数多く行われてきた。このような証明がこれほど切望された理由の一つとして考えられるのは、最初の4つの公準とは異なり、平行線公準は自明ではないということである。もし『原論』に列挙されている公準の順序が重要な意味を持つとすれば、ユークリッドは、この公準を証明できない、あるいはこの公準なしでは先に進めないと悟った時にのみ、この公準を含めたということになるだろう。^{[ 62 ]}他の4つの公準から第5の公準を証明しようとする試みが数多く行われ、その多くは間違いが発見されるまで長期間にわたり証明として受け入れられてきた。間違いは決まって、第5の公準と同等であることが判明した「明白な」性質を仮定していたことであった。最終的に、この公準は他の4つの公準から証明できない可能性があることが認識された。トルドー（1987年、154ページ）によれば、平行線公準（公準5）に関するこの見解は印刷物にも記載されている。

最初にこの試みを行ったのは、ゲッティンゲン大学の博士課程学生であったGS クリューゲル（1739 - 1812）で、彼の指導教官であるAG ケストナーの支援を受けて、1763年に発表した博士論文『Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio』（平行線理論の証明における最も有名な試みの検証）の中で、公準5の証明を試みた28の試み（サッケリの試みを含む）を検証し、それらはすべて不十分であると結論付け、公準5は証明不可能であり、人間の感覚による判断のみによって支えられているという見解を示した。

19世紀初頭には、非ユークリッド幾何学の創成において決定的な一歩が踏み出された。1813年頃、カール・フリードリヒ・ガウスと、1818年頃、ドイツの法学教授フェルディナント・カール・シュヴァイカート^{[ 63 ]}は、それぞれ独立して非ユークリッド幾何学の萌芽的なアイデアを練り上げたが、どちらも成果を発表しなかった。その後、1830年頃、ハンガリーの数学者ヤーノシュ・ボヤイとロシアの数学者ニコライ・イヴァノヴィチ・ロバチェフスキーは、今日双曲幾何学と呼ばれるものに関する論文をそれぞれ別々に発表した。その結果、双曲幾何学はボヤイ＝ロバチェフスキー幾何学と呼ばれるようになった。なぜなら、この2人の数学者は互いに独立して、非ユークリッド幾何学の基本的な創始者だからである。ガウスは、若いボヤイの研究を見せられた際に、ボヤイの父に、数年前にそのような幾何学を開発したが、発表はしなかったと述べている^{[ 64 ]}。ロバチェフスキーは平行線公準を否定することで非ユークリッド幾何学を創り出したが、ボヤイは、パラメータkに応じてユークリッド幾何学と双曲幾何学の両方が可能な幾何学を考案した。ボヤイは、物理宇宙の幾何学がユークリッド幾何学か非ユークリッド幾何学かを数学的推論だけで決定することは不可能であり、これは物理科学の課題であると述べて研究を終えている。平行線公準がユークリッドの他の公理から独立していることは、 1868年にエウジェニオ・ベルトラーミによって最終的に証明された^{[ 65 ] 。}

平行線公準のさまざまな証明の試みにより、平行線公準と同等の定理の長いリストが生成された。ここでの同等性とは、幾何学の他の公理が存在する場合、これらの定理のそれぞれが真であると仮定でき、平行線公準はこの変更された公理の集合から証明できることを意味する。これは論理的同等性と同じではない。^{[ 66 ]}ユークリッド幾何学の異なる公理の集合では、これらのいずれもユークリッド平行線公準に置き換えることができる。^{[ 67 ]}次の部分的なリストは、歴史的に興味深いこれらの定理の一部を示している。^{[ 68 ]}

1. 平行な直線は等距離である。（ポセイドニオス、紀元前1世紀）
2. ある直線から等距離にある点を、その直線の片側だけ上に集めると、直線が成立する。（クリストフ・クラヴィウス、1574年）
3. プレイフェアの公理。平面において、外部の点を通る直線が与えられたとき、その直線に平行な直線は多くても１本しか存在しない。（プロクロス、5世紀。ジョン・プレイフェアによって18世紀後半に普及）
4. すべての三角形の内角の和は180°である（ジェロラモ・サッケリ、1733年；アドリアン＝マリー・ルジャンドル、19世紀初頭）
5. 内角の和が180°となる三角形が存在する。（ジェロラモ・サッケリ、1733年；アドリアン＝マリー・ルジャンドル、19世紀初頭）
6. 相似ではあるが合同ではない三角形のペアが存在する。（ジェロラモ・サッケリ、1733年）
7. すべての三角形には外接する図形が存在する。（アドリアン＝マリー・ルジャンドル、ファルカス・ボヤイ、19世紀初頭）
8. 四角形の3つの角が直角であれば、4つ目の角も直角である。（アレクシス＝クロード・クレロー、1741年；ヨハン・ハインリヒ・ランベルト、1766年）
9. すべての角が直角である四角形が存在する。（ジェララモ・サッケリ、1733年）
10. ウォリスの公準。与えられた有限直線上には、与えられた三角形と相似な三角形を必ず作図できる。（ジョン・ウォリス、1663年；ラザール＝ニコラ＝マルグリット・カルノー、1803年；アドリアン＝マリー・ルジャンドル、1824年）
11. 三角形の面積には上限はない。（カール・フリードリヒ・ガウス、1799年）
12. サッケリ四角形の頂点の角度は 90°です。 （ゲララモ・サッケリ、1733）
13. プロクロスの公理。ある直線が、同一平面上にある2本の平行線のうち一方と交わるならば、その直線はもう一方の直線とも交わる。（プロクロス、5世紀）

絶対幾何学は、平行線公準またはその代替公準を除く、ユークリッド幾何学を与えるすべての公理からなる公理系に基づく幾何学である。^{[ 69 ]}この用語は、1832 年にヤーノシュ・ボヤイによって導入された。^{[ 70 ]}平行線公準に関して中立であるため、中立幾何学と呼ばれることもある。 ^{[ 71 ]}

双曲幾何学の公理的アプローチ（ロバチェフスキー幾何学またはボヤイ・ロバチェフスキー幾何学とも呼ばれる）では、絶対幾何学を与える公理に1つの追加の公理が追加されます。新しい公理はロバチェフスキーの平行線公準（双曲幾何学の特性公準としても知られる）です。^{[ 75 ]}

与えられた直線上にない点を通る直線は、（その点と直線によって決定される平面上に）少なくとも２本存在し、それらの直線は与えられた直線と交わらない。

この追加により、公理系は完成した。

新しい公理は2本の直線の存在のみを主張しているが、与えられた点を通る直線で、与えられた直線と交わらない直線は無数に存在することが容易に証明できる。このような無数の直線が存在するため、この文脈では用語に注意する必要がある。なぜなら、「平行線」という用語は、ユークリッド幾何学におけるような一意的な意味を持たなくなったからである。具体的には、Pを与えられた直線上にない点とする。${\displaystyle \ell }$PA をPから引いた垂線とする。${\displaystyle \ell }$（点Aで交わる）。点Pを通る直線は2つのクラスに分類され、${\displaystyle \ell }$そして、そうでないものもあります。双曲幾何学の特徴的な公準によれば、後者のタイプの直線は少なくとも２つ存在します。交わらない直線のうち、${\displaystyle \ell }$すると、（ PAの両側に） PAと最小の角度をなす直線が存在する。これらの直線は、Pを通ってPAと交わらない最初の直線と呼ばれることもある。${\displaystyle \ell }$これらは極限線、漸近線、または平行線などと呼ばれます（最後の用語が使用される場合、これらは唯一の平行線です）。点Pを通る他のすべての直線は、${\displaystyle \ell }$これらは交差しない線、または超平行線と呼ばれます。

双曲幾何学とユークリッド幾何学はどちらも絶対幾何学の公理に基づいて構築されているため、多くの性質と命題を共有しています。しかし、ユークリッド幾何学の平行線公準を双曲幾何学の特性公準に置き換えると、劇的な結果が生じる可能性があります。そのいくつか例を挙げると、次のようになります。

• ランベルト四角形とは、3つの直角を持つ四角形のことです。ランベルト四角形の4つ目の角は、双曲幾何学の場合は鋭角、ユークリッド幾何学の場合は直角になります。さらに、長方形はユークリッド幾何学においてのみ存在できます（これは平行線公準と同等の命題です）。
• サッケリ四角形とは、底辺と呼ばれる辺に垂直な2辺の長さが等しい四角形のことです。サッケリ四角形の他の2つの角は頂角と呼ばれ、その大きさは等しくなります。双曲幾何学の場合、頂角は鋭角となり、ユークリッド幾何学の場合は直角となります。
• 双曲幾何学の場合、任意の三角形の内角の和は180°未満であり、ユークリッド幾何学の場合は180°に等しくなります。三角形の欠損値は、(180° - 三角形の内角の和) という数値です。この結果は、双曲幾何学における三角形の欠損値は正であり、ユークリッド幾何学における三角形の欠損値はゼロであるとも言えます。
• 双曲幾何学における三角形の面積は有限であるのに対し、ユークリッド幾何学では面積が任意に大きい三角形が存在する。
• 与えられた直線から等距離にあり、かつ同じ側にある点の集合は、ユークリッド幾何学では直線を形成するが、双曲幾何学では直線を形成しない（双曲サイクルを形成する）。

ユークリッド幾何学が唯一の「真の」幾何学であるという立場の支持者たちは、1868年に出版された論文「定曲率空間の基本理論」^{[ 76 ]}の中で、エウジェニオ・ベルトラーミが任意の次元における双曲幾何学とユークリッド幾何学の等整合性の抽象的な証明を与えたことで挫折を味わった。彼は、現在ベルトラーミ・クラインモデル、ポアンカレ円盤モデル、ポアンカレ半平面モデルとして知られるいくつかの非ユークリッド幾何学モデルと、それらを関連付ける変換を導入することでこれを実現した。半平面モデルについては、ベルトラーミは微分幾何学に関するモンジュの論文中のリウヴィルの注釈を引用した。ベルトラーミはまた、n次元ユークリッド幾何学が( n + 1) 次元双曲空間のホロスフィア上で実現されることを示し、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の整合性の間の論理的関係が対称的であることを示した。  

ユークリッド幾何学の平行線公準を修正するもう一つの方法は、平面上に平行線が存在しないと仮定することです。双曲幾何学のように新しい公理を一つ追加するだけで済む場合とは異なり、絶対幾何学の公理にこの命題を新しい公理として追加しても、一貫性のある体系を得ることはできません。これは、絶対幾何学において平行線が存在することが証明されているためです。他の公理も変更する必要があります。

ヒルベルトの公理から始めると、必要な変更には、ヒルベルトの4つの順序公理を削除し、新しい未定義の関係に関する7つの分離公理に置き換えることが含まれる。^{[ 77 ]}

4 つの点A、B、C、Dの間には、 ( A、C | B、D ) と表記され、「 AとC はBとDを分離する」と読み取られる、定義されていない (原始的な) 関係があり、^{[ 78 ]}これらの公理を満たします。

1. ( A , B | C , D ) の場合、点A、B、CおよびDは同一直線上にあり、互いに異なる。
2. ( A , B | C , D ) ならば ( C , D | A , B ) かつ ( B , A | D , C ) である。
3. ( A , B | C , D ) ならば ( A , C | B , D ) ではない。
4. 点A、B、C、Dが同一直線上にあり、かつ異なる場合、( A、B | C、D ) または ( A、C | B、D ) または ( A、D | B、C ) となります。
5. 点A、B、Cが同一直線上にあり、かつ互いに異なる場合、( A , B | C , D )となる点Dが存在する。
6. 任意の 5 つの異なる共線点A、B、C、D、Eに対して、( A、B | D、E ) ならば、( A、B | C、D ) または ( A、B | C、E ) のいずれかである。
7. 視点の違いは分離を維持する。

ヒルベルトの「中間性」の概念が削除されたため、その概念を使用して定義されていた用語を再定義する必要があります。^{[ 79 ]}したがって、絶対幾何学において点AとBおよびAとBの間のすべての点として定義される線分ABを再定式化する必要があります。この新しい幾何学における線分は、3 つの共線点A、B、Cによって決定され、これらの 3 つの点と、 AとCによってBから分離されていないすべての点から構成されます。さらに、次の結果が生じます。2 つの点が線分を一意に決定しないため、3 つの非共線点が一意の三角形を決定せず、三角形の定義を再定式化する必要があります。

これらの概念が再定義されると、絶対幾何学の他の公理（接続、合同、連続）はすべて意味を成し、そのまま残されます。平行線が存在しないという新しい公理と合わせて、新しい幾何学を与える一貫した公理系が得られます。結果として得られる幾何学は、（平面）楕円幾何学と呼ばれます。

楕円幾何学は（ユークリッド幾何学や双曲幾何学のように）絶対幾何学の拡張ではないものの、これら3つの幾何学の命題にはある種の「対称性」があり、フェリックス・クラインが指摘したより深い繋がりを反映している。この性質を示す命題の例をいくつか挙げる。

• ランベルト四角形の4番目の角は、楕円幾何学においては鈍角である。
• 楕円幾何学において、サッケリ四角形の頂点角は鈍角である。
• 楕円形の三角形であれば、その三角形の角度の合計は180°より大きくなります。つまり、三角形の欠損は負の値になります。 ^{[ 80 ]}
• 楕円幾何学では、与えられた直線に垂直なすべての直線は、直線の極と呼ばれる一点で交わります。双曲幾何学では、これらの直線は互いに交わりませんが、ユークリッド幾何学では互いに平行です。

外角定理などの他の結果は、楕円幾何学と絶対幾何学の拡張である幾何学との違いを明確に強調している。

絶対幾何学は順序幾何学の拡張であり、したがって、順序幾何学のすべての定理は絶対幾何学でも成り立つ。逆は真ではない。絶対幾何学はユークリッドの公理の最初の4つ（またはそれに相当するもの）を仮定するが、アフィン幾何学はユークリッドの3番目と4番目の公理を仮定しない。順序幾何学は絶対幾何学とアフィン幾何学の両方の共通の基礎である。^{[ 81 ]}