バタフライ定理

バタフライ定理はユークリッド幾何学における古典的な結果であり、次のように述べることができる。^{[1] ：p. 78}

M を円の弦PQの中点とします。この弦 PQ を通して他の 2 つの弦ABとCDが描かれます。ADとBCはそれぞれ弦PQとXとYで交差します。このとき、M はXYの中点です。

定理の正式な証明は次のとおりです。点Xから直線AMとDMにそれぞれ垂線 XX′ とXX″ を下ろします。同様に、点Yから直線BMとCMにそれぞれ垂直にYY′とYY″ を下ろします。

以来

${\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY',}$

${\displaystyle {MX\overMY}={XX'\overYY'},}$

${\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'',}$

${\displaystyle {MX\overMY}={XX''\overYY''},}$

${\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'',}$

${\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY},}$

${\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY',}$

${\displaystyle {XX'' \over YY'}={DX \over BY}.}$

前述の式と交差弦定理から、次のことがわかる。

${\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},}$

${\displaystyle {}={AX\cdot DX \over CY\cdot BY},}$

${\displaystyle {}={PX\cdot QX \over PY\cdot QY},}$

${\displaystyle {}={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)},}$

${\displaystyle {}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},}$

PM = MQなので。

それで、

${\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}$

後者の式をクロス乗算すると、

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}.}$

共通用語のキャンセル

${\displaystyle {-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}}$

得られた方程式の両辺から、

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}},}$

したがって、MX、MY、PM はすべて正の実数なので、 MX = MY となります。

したがって、M はXYの中点です。

他にも証明は存在し、^[2]射影幾何学を使ったものも含まれる。^[3]

蝶の定理の証明は、ウィリアム・ウォレスが『紳士の数学手引き』（1803年）で問題として提起した。1804年に3つの解答が発表され、1805年にウィリアム・ハーシェル卿がウォレスに宛てた手紙の中で再びこの疑問を提起した。トーマス・スカー牧師は1814年に『紳士の日記または数学書庫』の中で再び同じ疑問を提起した。^[4]

ウィキメディア・コモンズには、バタフライ定理に関連するメディアがあります。

• cut-the-knotにおけるバタフライ定理
• cut-the-knotでのより良いバタフライ定理
• PlanetMathでのバタフライ定理の証明
• Jay Warendorff によるバタフライ定理、Wolfram デモンストレーション プロジェクト。
• Weisstein, Eric W.「バタフライ定理」。MathWorld。