軌道力学

以下の経験則は、後述する天体力学の標準的な仮定の下で古典力学によって近似される状況において有用です。ここで取り上げる具体的な例は惑星の周りを公転する衛星ですが、これらの経験則は、太陽などの恒星の周りを小天体が公転する状況など、他の状況にも適用できます。

• ケプラーの惑星運動の法則：
  • 軌道は楕円形であり、質量が大きい天体が楕円の焦点の一つに位置します。その特殊なケースとして、惑星が中心にある円軌道（円は楕円の特殊なケース）があります。
  • 惑星から衛星まで引いた線は、軌道のどの部分を測定しても、等しい時間で等しい面積を掃過する。
  • 人工衛星の公転周期の二乗は、惑星からの平均距離の三乗に比例する。
• ロケットエンジンを噴射するなどの力を加えない限り、衛星の軌道の周期や形状は変化しない。
• 低軌道（または楕円軌道の低軌道部分）にある衛星は、惑星に近いほど重力が強くなるため、高軌道（または楕円軌道の高軌道部分）にある衛星よりも惑星表面に対して速く移動する。
• 衛星の軌道上の1点のみに推力を加えた場合、衛星はその後の周回で毎回同じ点に戻りますが、軌道の残りの部分は変化します。したがって、短時間の推力を加えただけで、ある円軌道から別の円軌道へ移行することはできません。
• 円軌道から、衛星の運動方向とは逆方向に推力を加えると、軌道は楕円軌道に変わります。衛星は降下し、発射地点から180度離れた最低軌道点（近点）に到達した後、再び上昇します。結果として生じる軌道の周期は、元の円軌道の周期よりも短くなります。衛星の運動方向と同じ方向に推力を加えると、発射地点から180度離れた最高点（遠点）を持つ楕円軌道が生成されます。結果として生じる軌道の周期は、元の円軌道の周期よりも長くなります。

軌道力学の法則がもたらす結果は、時に直感に反するものです。例えば、2機の宇宙船が同じ円軌道上にあり、ドッキングを希望する場合、後続の宇宙船がエンジンを噴射して先行の宇宙船に向かって加速するだけではいけません。そうすると軌道の形状が変化し、先行の宇宙船に対して高度が上がり、速度が低下するため、目標から遠ざかってしまうからです。ドッキング前の宇宙ランデブーは通常、複数の軌道周期にわたって精密に計算された複数のエンジン噴射を必要とし、完了までに数時間、場合によっては数日かかることもあります。

宇宙力学の標準的な仮定が成り立たない場合、実際の軌道は計算された軌道とは異なるものとなる。例えば、地球低軌道にある物体の場合、単純な大気抵抗も軌道を複雑にする要因の一つである。

これらの経験則は、連星系のような質量が類似した2つ以上の天体を記述する際には明らかに不正確です（n体問題を参照）。天体力学では、より幅広い状況に適用できる一般的な法則が用いられます。ニュートンの法則から数学的に導出できるケプラーの惑星運動の法則は、非重力的な力が存在しない状況下で、重力によって引き合う2つの天体の運動を記述する場合にのみ厳密に成り立ちます。また、放物線軌道や双曲線軌道も記述します。恒星のような大きな天体の近傍では、古典力学と一般相対性理論の違いも重要になります。

脱出速度の公式は次のように導出される。あらゆる宇宙船の比エネルギー（単位質量あたりのエネルギー）は、比位置エネルギーと比運動エネルギーの2つの要素から構成される。質量Mの惑星に関連する比位置エネルギーは次のように与えられる。 $${\displaystyle \epsilon _{p}=-{\frac {GM}{r}},}$$ ここで、Gは重力定数、rは2つの物体間の距離である。物体の比運動エネルギーは次のように与えられる。 $${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {v^{2}}{2}},}$$ ここでvはその速度である。したがって、全比軌道エネルギーは $${\displaystyle \epsilon =\epsilon _{k}+\epsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}.}$$

エネルギーは保存されるので、${\displaystyle \epsilon }$距離に依存することはできない、${\displaystyle r}$中心天体の中心から問題の宇宙船まで、すなわちvはrに応じて変化し、特定の軌道エネルギーを一定に保つ必要がある。したがって、物体は無限遠まで到達することができる。${\displaystyle r}$この量が非負である場合に限り、 $${\displaystyle v\geq {\sqrt {\frac {2GM}{r}}}.}$$

地球表面からの脱出速度は約 11  km/s ですが、太陽の重力のため、物体を無限の距離まで飛ばすには不十分です。太陽からの距離が太陽-地球間の距離に等しく、かつ地球に近くない場所から太陽系を脱出するには、約 42  km/s の速度が必要ですが、地球から打ち上げられた宇宙船が、推進システムによるさらなる加速によって地球の軌道と同じ方向に進む場合、地球の軌道速度が「部分的に考慮」されます。

軌道は円錐曲線なので、与えられた角度に対する物体の距離の公式は、 極座標におけるその曲線の公式に対応します。$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {p}{1+e\cos \theta }},\\\mu &=G(m_{1}+m_{2}),\\p&=h^{2}/\mu ,\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \mu }$重力パラメータと呼ばれる。${\displaystyle m_{1}}$そして${\displaystyle m_{2}}$は物体１と２の質量であり、${\displaystyle h}$は、物体1に対する物体2の比角運動量です。${\displaystyle \theta }$真の異常として知られており、${\displaystyle p}$は半直腸であり、${\displaystyle e}$は軌道離心率であり、6 つの独立した軌道要素のさまざまな形式からすべて得ることができます。

中心天体の重力が支配的なすべての有界軌道は、本質的に楕円形である。その特殊なケースが円軌道であり、これは離心率がゼロの楕円である。質量Mの重心から距離rにある円軌道上の物体の速度の式は、次のように導出できる。

遠心加速度は重力による加速度と一致する。したがって、 $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{r}}={\frac {GM}{r^{2}}}.}$$ したがって、 $${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r}}},}$$ ここで、G = 6.6743 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²) は重力定数。

この式を正しく使用するには、単位が一致している必要があります。たとえば、${\displaystyle M}$キログラム単位でなければなりません。${\displaystyle r}$単位がメートルでなければならず、そうすれば答えはメートル毎秒になります。

数量${\displaystyle GM}$これはしばしば標準重力パラメータと呼ばれ、太陽系の惑星や衛星ごとに異なる値を持つ。

円軌道速度が分かれば、脱出速度は簡単に求められます。${\displaystyle {\sqrt {2}}}$: $${\displaystyle v={\sqrt {2}}{\sqrt {\frac {GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}.}$$

重力から脱出するには、運動エネルギーが少なくとも負のポテンシャルエネルギーと等しくなければならない。したがって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {GMm}{r}},\\&v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}.\end{aligned}}}$$

もし${\displaystyle 0<e<1}$すると、自由軌道方程式の分母は真近点角によって変化する。${\displaystyle \theta }$しかし、常に正の値をとり、決してゼロにはなりません。したがって、相対位置ベクトルは有界であり、近点において最小値をとります。${\displaystyle r_{p}}$これは、 $${\displaystyle r_{p}={\frac {p}{1+e}}.}$$

最大値${\displaystyle r}$到達するのは${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$この点は遠点と呼ばれ、その半径座標は次のように表されます。${\displaystyle r_{a}}$、 は $${\displaystyle r_{a}={\frac {p}{1-e}}.}$$

させて${\displaystyle 2a}$周軸から後陣線に沿って測定した距離とする。${\displaystyle P}$遠点へ${\displaystyle A}$: $${\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}.}$$ 上記の式を代入すると、 $${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}},}$$ ここで、aは楕円の長半径である。${\displaystyle p}$そして、その結果を上記の円錐曲線公式に代入すると、 $${\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }}.}$$

離心率が1の場合、軌道方程式は次のようになります。 $${\displaystyle r={\frac {h^{2}}{\mu }}{\frac {1}{1+\cos \theta }},}$$ どこ${\displaystyle r}$は、中心天体の質量中心から周回天体までの半径方向の距離です。${\displaystyle h}$は軌道上の物体の比角運動量であり、${\displaystyle \theta }$軌道上の天体の真の異常は、${\displaystyle \mu }$は標準重力パラメータです。

真近点角θが180°に近づくと、分母はゼロに近づくため、rは無限大に近づきます。したがって、 e  = 1となる軌道のエネルギーは ゼロであり、次式で与えられます。 $${\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=0,}$$ どこ${\displaystyle v}$これは、軌道を回る物体の速度です。

言い換えれば、放物線軌道上のどこでも速度は $${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}.}$$

もし${\displaystyle e>1}$軌道公式 $${\displaystyle r={\frac {h^{2}}{\mu }}{\frac {1}{1+e\cos \theta }}}$$ 双曲線軌道の幾何学的形状を記述します。このシステムは2つの対称曲線から構成されます。軌道上の物体は一方の曲線上にあり、もう一方の曲線はその空の数学的イメージです。明らかに、上記の式の分母は、次のときにゼロになります。${\displaystyle \cos \theta =-1/e}$我々はこの真の異常値を次のように表す。 $${\displaystyle \theta _{\infty }=\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right),}$$ 真近点角が無限大に近づくにつれて半径距離が無限大に近づくため${\displaystyle \theta _{\infty }}$これは漸近線の真の異常値として知られています。${\displaystyle \theta _{\infty }}$90°から180°の間にある。三角関数の恒等式より${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$したがって、 $${\displaystyle \sin \theta _{\infty }={\frac {1}{e}}{\sqrt {e^{2}-1}}.}$$

軌道を計算する一つの方法（主に歴史的に用いられてきた方法）は、ケプラーの方程式を用いることである。 $${\displaystyle M=E-\epsilon \sin E,}$$ ここで、Mは平均近点角、Eは偏心近点角であり、${\displaystyle \epsilon }$偏心度です。

ケプラーの公式では、角度（真近点角）に到達するまでの飛行時間を求めると、${\displaystyle \theta }$周位からの過程は2つのステップに分けられます。

1. 偏心近点角を計算する${\displaystyle E}$真の異常から${\displaystyle \theta }$。
2. 飛行時間を計算する${\displaystyle t}$偏心異常から${\displaystyle E}$。

与えられた時刻における離心近点角を求めること（逆問題）はより困難である。ケプラー方程式は超越的であり、${\displaystyle E}$つまり、解くことができないということです。${\displaystyle E}$代数的に。ケプラー方程式は次のように解くことができます。${\displaystyle E}$逆変換によって解析的に解く。

ケプラー方程式の解は、すべての実数値に対して有効である。${\displaystyle \epsilon }$は $${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{n-1}}}\left[\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin \theta }}}\right)^{n}\right]\right),&\epsilon =1,\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{n-1}}}\left[\left({\frac {\theta }{\theta -\epsilon \sin \theta }}\right)^{n}\right]\right),&\epsilon \neq 1.\end{cases}}}$$

これを評価すると、 $${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle x+{\frac {1}{60}}x^{3}+{\frac {1}{1400}}x^{5}+{\frac {1}{25200}}x^{7}+{\frac {43}{17248000}}x^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}x^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}x^{13}\cdots \mid x=(6M)^{\frac {1}{3}},&\epsilon =1\\[1ex]\displaystyle {\frac {1}{1-\epsilon }}M-{\frac {\epsilon }{(1-\epsilon )^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225\epsilon ^{3}+54\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025\epsilon ^{4}+4131\epsilon ^{3}+243\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}\cdots ,&\epsilon \neq 1.\end{cases}}}$$

あるいは、ケプラー方程式は数値的に解くこともできる。まず、次の値を推測する必要がある。${\displaystyle E}$そして飛行時間を計算し、調整する。${\displaystyle E}$計算された飛行時間が所望の値に近づくまで、必要な精度が得られるまで計算を繰り返す。通常、比較的速い収束を実現するためにニュートン法が用いられる。

このアプローチの主な難点は、極端な楕円軌道では収束に非常に長い時間がかかる可能性があることです。放物線に近い軌道では、離心率が${\displaystyle \epsilon }$はほぼ 1 であり、代入すると${\displaystyle e=1}$平均偏差の式に代入すると、${\displaystyle E-\sin E}$ほぼ等しい2つの値を減算することになり、精度が低下します。ほぼ円軌道の場合、そもそも近点を見つけるのが困難です（そして真の円軌道には近点が全くありません）。さらに、この式は楕円軌道を仮定して導出されたため、放物線軌道や双曲線軌道には適用できません。これらの困難が、以下に説明する普遍変数定式化の開発につながりました。

同一平面上の遷移楕円軌道におけるデルタVの計算など、単純な手順であれば、従来の手法で十分効果的です。しかし、飛行時間法のような手法は、特にほぼ円軌道や双曲線軌道の場合、はるかに複雑になります。

ホーマン遷移軌道だけでは惑星の重力を無視しているため、惑星間軌道の近似としては不十分です。惑星近傍では惑星の重力が宇宙船の挙動を支配し、ほとんどの場合、ホーマン軌道はデルタvを著しく過大評価し、噴射タイミングの処方を非常に不正確にします。デルタvの一次近似を得る比較的簡単な方法は、「パッチドコニック近似」手法に基づいています。軌道が通過する各宇宙領域で、支配的な重力を持つ天体を1つ選択し、その領域ではその天体の影響のみをモデル化する必要があります。たとえば、地球から火星への軌道では、軌道が地球の重力が太陽の重力よりも支配的でなくなる距離に達するまで、地球の重力のみを考慮することから始めます。宇宙船には脱出速度が与えられ、惑星間空間へと向かいます。次に、軌道が火星の近傍に到達するまで、太陽の重力のみを考慮する。この段階では、遷移軌道モデルが適切である。最後に、火星の重力が宇宙船の挙動を支配する軌道の最終部分では、火星の重力のみを考慮する。宇宙船は双曲線軌道で火星に接近し、最終的な逆行噴射によって宇宙船は火星に捕らえられるのに十分な速度まで減速される。フリードリヒ・ザンダーは、惑星間旅行に中間天体の重力を使用することを提案した際に、今日では重力アシストとして知られるパッチドコニックアプローチを宇宙力学の目的で最初に適用した人物の一人である。^{[ 3 ]}

「近隣地域」（または影響圏）の大きさは半径によって変化する $${\displaystyle r_{\text{SOI}}=a_{\text{p}}\left({\frac {m_{\text{p}}}{m_{\text{S}}}}\right)^{2/5}.}$$ どこ${\displaystyle a_{\text{p}}}$は、太陽に対する惑星の軌道の長半径です。${\displaystyle m_{\text{p}}}$そして${\displaystyle m_{\text{S}}}$それぞれ惑星と太陽の質量である。

この簡略化は、燃料必要量の概算や飛行時間の概算には十分だが、宇宙船を目的地まで誘導するには一般的に精度が不十分である。そのためには、数値計算手法が必要となる。

2体問題を解く従来の手法における計算上の欠点を克服するため、普遍変数定式化が開発された。この定式化は、円軌道、楕円軌道、放物線軌道、双曲軌道のいずれの場合にも同様に有効であり、微分方程式は任意の軌道に対して積分すると良好に収束する。また、摂動論を取り入れた問題にも十分に一般化できる。

普遍変数定式化は、パラメータ変動法とうまく連携するが、ケプラー軌道の6つの要素の代わりに、衛星の初期位置ベクトルと速度ベクトルという別の軌道要素のセットを使用する。${\displaystyle x_{0}}$そして${\displaystyle v_{0}}$ある特定の時代において${\displaystyle t=0}$二体シミュレーションでは、これらの要素は普遍変数定式化を用いて、将来の任意の時点における衛星の位置と速度を計算するのに十分である。逆に、衛星の軌道上の任意の時点で、その位置と速度を測定し、普遍変数アプローチを用いて、その時点における初期位置と速度を決定することができる。完全な二体運動では、これらの軌道要素は不変となる（ケプラー要素と同様に）。

しかし、摂動によって軌道要素は時間とともに変化する。したがって、位置要素は次のように表される。${\displaystyle x_{0}(t)}$速度要素は${\displaystyle v_{0}(t)}$これは、それらが時間とともに変化することを示しています。摂動の影響を計算する手法は、関数の正確な式または近似式を見つけることになります。${\displaystyle x_{0}(t)}$そして${\displaystyle v_{0}(t)}$。

以下に、実際の軌道が球状の地球を前提とした単純なモデルと異なる理由となるいくつかの効果を示す。これらの効果のほとんどは、対応する二体効果に比べて小さいため、摂動論によって短い時間スケール（おそらく数千軌道未満）で扱うことができる。

• 赤道膨らみは昇交点と近地点の歳差運動を引き起こす
• 重力場のテッセラル高調波^{[ 4 ]は、追加の摂動を導入する。}
• 月と太陽の重力による摂動が軌道を変化させる
• 大気抵抗により、メイクアップスラストを使用しない限り、軌道長半径は減少する。

非常に長い時間スケール（おそらく数百万回の軌道）では、小さな摂動でも支配的になり、軌道の挙動は混沌としたものになる可能性がある。一方で、様々な摂動は、軌道維持、地上軌道の維持や調整、低高度で特定の目標をカバーするための近地点の位相調整など、軌道維持作業を支援するために、熟練した宇宙力学者によって調整されることもある。

遷移軌道は通常、宇宙船が（通常はほぼ円形の）ある軌道から別の軌道へ移動するための楕円軌道である。通常、遷移軌道の開始時と終了時に噴射が必要であり、場合によっては中間地点で1回以上の噴射が必要となる。

• ホーマン遷移軌道には最小限のデルタvが必要です。
• 二重楕円軌道遷移は、軌道比が11.94以上の場合、ホーマン遷移よりも少ないエネルギーで済む可能性があるが^{[ 5 ]}、ホーマン遷移よりも移動時間が長くなるという代償がある。
• より高速な遷移では、元の軌道と目的地の軌道の両方と交差する任意の軌道を使用できるが、その代償としてデルタVが大きくなる。
• 低推力エンジン（電気推進など）を使用する場合、初期軌道が最終的な目標円軌道と同期している場合は、遠地点での速度の方向に連続的に推力を加えることで最適な遷移軌道が達成されます。ただし、この方法は推力が低いため、はるかに時間がかかります。^{[ 6 ]}

非共面軌道間の軌道遷移の場合、軌道面が交差する点（「ノード」）で面変更推力を発生させる必要があります。目的は速度ベクトルの方向を軌道面間の角度に等しい角度だけ変更することであるため、速度ベクトルの大きさが最小となる遠点付近のノードで、この推力のほぼ全てを発生させる必要があります。ただし、軌道傾斜角の変更のごく一部は、遷移軌道投入推力を所望の傾斜角変更の方向にわずかに傾けることで、近点付近のノードで行うことができます。これは、小さな角度のコサインがほぼ1であるため、近点付近の宇宙機の速度が高いにもかかわらず、わずかに傾けた推力の増加によるオーベルト効果が軌道法線軸方向の推力コストを上回るため、小さな面変更が実質的に「無料」になるという原理に基づいています。

低円軌道から高円軌道へのホーマン遷移

低い円軌道（濃い青色）から高い円軌道（赤色）への二重楕円軌道遷移

2つの円軌道間の一般的な2インパルス楕円軌道遷移

低軌道から高軌道への一般的な遷移

電気推進を用いて衛星を超同期軌道から静止軌道へ移行させるための最適な手順

重力アシストとは、宇宙船が惑星のそばを旋回し、異なる方向、異なる速度で離脱する方式です。これは、燃料を増設する代わりに、宇宙船の速度を調整するのに役立ちます。

この操作は、遠距離での弾性衝突で近似できますが、フライバイでは物理的な接触は一切ありません。ニュートンの第三法則（作用反作用の法則）により、宇宙船が得た運動量は惑星が失うか、あるいはその逆になります。しかし、惑星は宇宙船よりもはるかに質量が大きいため、惑星の軌道への影響はごくわずかです。

オーベルト効果は、特に重力アシスト操作中に利用できます。この効果は、推進システムが高速でより効果的に機能するため、重力のある物体の近くで進路変更を行うのが最適であるというものです。これにより、実効速度変化量（Δv）を増大させることができます。

軌道経路は、太陽系内の惑星と衛星間の非線形重力相互作用を利用して特定できます。これらの軌道は惑星間輸送ネットワークの一部であり、ラグランジュ点に到達した後は最小限の燃料で済むカオス的な軌道経路をたどり、周期的な軌道修正が行われます。軌道は、地球のトロヤ群を経由して、地球高軌道から火星までプロットできます。制約としては、輸送時間が長く（数年かかる場合が多い）、打ち上げ機会が少ないことが挙げられます。

しかしながら、それらはジェネシス計画のようなプロジェクトで採用されてきた。この宇宙船_は地球と太陽のL1点を訪れ、ごくわずかな推進剤で帰還した。