プトレマイオスの弦表

弦表は、紀元2世紀にエジプトでギリシャの天文学者、幾何学者、地理学者プトレマイオスによって作成されたもので、数理天文学に関する論文であるプトレマイオスの『アルマゲスト』 [ ^1]の第1巻第11章に掲載されている三角関数の表です。これは本質的に正弦関数の値の表と同等です。これは、天文学を含む多くの実用的な目的に十分なほど詳細な最古の三角関数の表でした（ヒッパルコスによる以前の弦表では、7の倍数の弧に対してのみ弦が示されていました）。+1/2⁠ ° = ⁠π/24⁠ラジアン）。 ^[2] 8世紀と9世紀以来、正弦関数やその他の三角関数はイスラムの数学と天文学で使用され、正弦表の作成方法が改革されました。 ^{[3]その後、} ホリズミとハバス・アル＝ハシブが三角関数表を作成しました。

円の弦とは、端点が円上にある線分のことである。プトレマイオスは直径が120分の1の円を使用した。彼は、端点がn 度の弧で隔てられている弦の長さを表にした。nは⁠から⁠の範囲である。1/2⁠から 180 まで⁠ずつ増加 1/2⁠現代の記法では、 θ 度 の弧に対応する弦の長さは

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {chord} (\theta )=120\sin \left({\frac {\theta ^{\circ }}{2}}\right)\\={}&60\cdot \left(2\sin \left({\frac {\pi \theta }{360}}{\text{ radians}}\right)\right).\end{aligned}}}$

θ が0 から 180 まで変化すると、 θ ° の円弧の弦は0 から 120 まで変化します。小さな円弧の場合、弦は度単位の円弧角度に、πは 3 に相当します。より正確には、比率は⁠にできるだけ近づけることができます。π/3⁠  ≈ 1.047 197 55 θ を十分に小さくすることで、⁠の弧に対して1/2⁠ °、弦の長さは、度数で表した円弧の角度よりもわずかに長くなります。円弧が大きくなるにつれて、弦と円弧の比率は小さくなります。円弧が60°に達すると、弦の長さは円弧の度数と正確に等しくなります。つまり、弦 60° = 60 です。60° を超える円弧では、弦は円弧よりも短くなり、180° の円弧に達すると弦は 120 になります。

弦の長さの小数部分は60進数で表されます。たとえば、112°の弧で囲まれた弦の長さが99,29,5と報告されている場合、その長さは

${\displaystyle 99+{\frac {29}{60}}+{\frac {5}{60^{2}}}=99.4847{\overline {2}},}$

最も近い値に丸め 1/60 ²⁠ . ^[1]

弧と弦の列の後に、3番目の列には「60分の1」というラベルが付けられています。θ°の弧の場合 、「60分の1」列のエントリは次のようになります 。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {chord} \left(\theta +{\tfrac {1}{2}}^{\circ }\right)-\operatorname {chord} \left(\theta ^{\circ }\right)}{30}}.}$

これは、角度が1分角増加するたびに 弦( θ °)に追加する必要がある単位の60分の1の平均数であり、 θ °のエントリと( θ  +  ⁠)のエントリの間で増加します。1/2⁠ )°。したがって、これは線形補間に使用されます。GlowatzkiとGöttscheは、プトレマイオスが「60分の1」の列に見られる精度を達成するために、5つの60進法の桁まで弦を計算したに違いないことを示しました。^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{array}{|l|rrr|rrr|}\hline {\text{arc}}^{\circ }&{\text{chord}}&&&{\text{sixtieths}}&&\\\hline {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tfrac {1}{2}}&0&31&25&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,\,1&1&2&50&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,\,1{\tfrac {1}{2}}&1&34&15&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\109&97&41&38&0\quad 0&36&23\\109{\tfrac {1}{2}}&97&59&49&0\quad 0&36&9\\110&98&17&54&0\quad 0&35&56\\110{\tfrac {1}{2}}&98&35&52&0\quad 0&35&42\\111&98&53&43&0\quad 0&35&29\\111{\tfrac {1}{2}}&99&11&27&0\quad 0&35&15\\112&99&29&5&0\quad 0&35&1\\112{\tfrac {1}{2}}&99&46&35&0\quad 0&34&48\\113&100&3&59&0\quad 0&34&34\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\179&119&59&44&0\quad 0&0&25\\179{\frac {1}{2}}&119&59&56&0\quad 0&0&9\\180&120&0&0&0\quad 0&0&0\\\hline \end{array}}}$

アルマゲスト第 1 巻第 10 章では、弦の計算に使用される幾何学定理が示されています。プトレマイオスは、ユークリッドの 原論第 13 巻の命題 10 に基づく幾何学的推論を使用して、72° と 36° の弦を見つけました。その命題は、正五角形が円に内接する場合、五角形の 1 辺にある正方形の面積は、同じ円に内接する六角形と十角形の 1 辺にある正方形の面積の合計に等しいと述べています。

彼は円に内接する四辺形に関するプトレマイオスの定理を用いて、半円弧の弦、2 つの円弧の和の弦、2 つの円弧の差の弦の公式を導き出しました。この定理は、円に内接する四辺形の場合、対角線の長さの積は、2 組の向かい合う辺の長さの積の和に等しいと述べています。三角関数の恒等式の導出は、1 辺が円の直径である 円周四辺形に依存しています。

1°と⁠の弧の弦を求めるには1/2⁠ ° 彼はアリスタルコスの不等式に基づく近似値を使用しました。この不等式は、弧αとβについて、0 <  β  <  α  < 90° の場合、

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$

プトレマイオスは、1°と⁠の弧について、1/2⁠ °、近似値は整数部の後の最初の 2 つの 60 進数の桁を正しく示します。

ジェラルド・J・トゥーマーはアルマゲストの翻訳で、写本によっては 1 つの「数字」（1 つの文字、下記参照）が書き写された誤りがある 7 つの項目を挙げています。グレン・エラートはプトレマイオスの値と真の値（角度の半分の正弦の 120 倍）を比較し、平均二乗誤差の平方根が 0.000136 であることを発見しました。しかし、その多くは最も近い 1/3600 に丸めているためです。これは 0.0002777 に等しいからです... それでも、最後の「数字」が最良の丸められた値から 1 ずれている項目（高すぎるか低すぎる）が多数あります。プトレマイオスの値は、最後の桁で 1 ずれていることが多く、角度が高いほどその傾向が強くなります。最大の誤差は約 0.0004 ですが、それでも最後の60 進数の数字の誤差は 1 に過ぎません。^[6]

円弧の長さ（度）と弦の長さの整数部分は、次の表に示す意味を持つギリシャ語アルファベットの21文字と、 ⁠を意味する記号「∠′ 」を使用した10進 数表記で表されました。1/2⁠そして、空白を埋める盛り上がった円「○」（実質的にゼロを表す）。下の表で「古風」とラベル付けされている文字のうち 3 つは、アルマゲストが書かれる前の数世紀にわたってギリシャ語では使用されていませんでしたが、数字や音符としてはまだ使用されていました。

${\displaystyle {\begin{array}{|rlr|rlr|rlr|}\hline \alpha &\mathrm {alpha} &1&\iota &\mathrm {iota} &10&\rho &\mathrm {rho} &100\\\beta &\mathrm {beta} &2&\kappa &\mathrm {kappa} &20&\sigma &\mathrm {sigma} &200\\\gamma &\mathrm {gamma} &3&\lambda &\mathrm {lambda} &30&\tau &\mathrm {tau} &300\\\delta &\mathrm {delta} &4&\mu &\mathrm {mu} &40&\upsilon &\mathrm {upsilon} &400\\\varepsilon &\mathrm {epsilon} &5&\nu &\mathrm {nu} &50&\varphi &\mathrm {phi} &500\\\mathrm {\stigma} &\mathrm {stigma\ (archaic)} &6&\xi &\mathrm {xi} &60&\chi &\mathrm {chi} &600\\\zeta &\mathrm {zeta} &7&o&\mathrm {omicron} &70&\psi &\mathrm {psi} &700\\\eta &\mathrm {eta} &8&\pi &\mathrm {pi} &80&\omega &\mathrm {omega} &800\\\theta &\mathrm {theta} &9&\mathrm {\koppa} &\mathrm {koppa\ (archaic)} &90&\mathrm {\sampi} &\mathrm {sampi\ (archaic)} &900\\\hline \end{array}}}$

例えば、143の弧は+1/2⁠ ° はρμγ ∠′と表されます。（表は 180° までしか達しないため、200 以上のギリシャ数字は使用されません。）

弦の長さの小数部分は高い精度が要求され、表の2つの列に60進法で示されました。最初の列は、 ⁠1/60⁠ 、0～59の範囲で、2番目は⁠の整数倍1/60 ²⁠  =  ⁠1/3600⁠、0～59の範囲です。

例えば、ハイバーグ版のアルマゲストでは、48～63ページに和音表が掲載されており、表の冒頭は、⁠1/2⁠ °から⁠7+1/2⁠ °は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\upsilon }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{‘}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa o\sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \quad \angle '\\\alpha \\\alpha \;\angle '\\\hline \beta \\\beta \;\angle '\\\gamma \\\hline \gamma \;\angle '\\\delta \\\delta \;\angle '\\\hline \varepsilon \\\varepsilon \;\angle '\\\mathrm {\stigma} \\\hline \mathrm {\stigma} \;\angle '\\\zeta \\\zeta \;\angle '\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \circ &\lambda \alpha &\kappa \varepsilon \\\alpha &\beta &\nu \\\alpha &\lambda \delta &\iota \varepsilon \\\hline \beta &\varepsilon &\mu \\\beta &\lambda \zeta &\delta \\\gamma &\eta &\kappa \eta \\\hline \gamma &\lambda \theta &\nu \beta \\\delta &\iota \alpha &\iota \mathrm {\stigma} \\\delta &\mu \beta &\mu \\\hline \varepsilon &\iota \delta &\delta \\\varepsilon &\mu \varepsilon &\kappa \zeta \\\mathrm {\stigma} &\iota \mathrm {\stigma} &\mu \theta \\\hline \mathrm {\stigma} &\mu \eta &\iota \alpha \\\zeta &\iota \theta &\lambda \gamma \\\zeta &\nu &\nu \delta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \mathrm {\stigma} \\\circ &\alpha &\beta &\mu \varepsilon \\\circ &\alpha &\beta &\mu \delta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \gamma \\\circ &\alpha &\beta &\mu \beta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \alpha \\\hline \end{array}}\end{array}}}$

表の後半では、円弧と弦の長さの整数部を表す数字が 10 進法であることがわかります。したがって、85° の円弧はπε ( πは 80、εは 5) と表記され、60 + 25 に分割されません。対応する弦の長さは 81 に小数部を加えたものです。整数部はπαで始まり、同様に 60 + 21 に分割されません。しかし、小数部、⁠4/60⁠  +  ⁠15/60 ²⁠ は、 δと表記され、4 の場合、⁠1/60⁠列のιεは15 で、⁠1/60 ²⁠列。

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\upsilon }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{‘}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa o\sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \pi \delta \angle '\\\pi \varepsilon \\\pi \varepsilon \angle '\\\hline \pi \mathrm {\stigma} \\\pi \mathrm {\stigma} \angle '\\\pi \zeta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \pi &\mu \alpha &\gamma \\\pi \alpha &\delta &\iota \varepsilon \\\pi \alpha &\kappa \zeta &\kappa \beta \\\hline \pi \alpha &\nu &\kappa \delta \\\pi \beta &\iota \gamma &\iota \theta \\\pi \beta &\lambda \mathrm {\stigma} &\theta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\kappa \varepsilon \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\iota \delta \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\gamma \\\hline \circ &\circ &\mu \varepsilon &\nu \beta \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\mu \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\kappa \theta \\\hline \end{array}}\end{array}}}$

表には 8 ページごとに 45 行あり、合計 360 行になります。

• アーリヤバータの正弦表
• エクセカント
• Fundamentum Astronomiae は、1500年代後半に出版された、正弦波の正確な計算アルゴリズムを解説した書籍です。
• ギリシャの数学
• マダヴァの正弦表
• プトレマイオス
• コードのスケール
• ヴェルシーヌ

• アボエ、アスガー（1997）、数学初期史のエピソード、アメリカ数学協会、ISBN 978-0-88385-613-0
• クラゲット、マーシャル（2002）、古代ギリシャ科学、クーリエ・ドーバー出版、ISBN 978-0-8369-2150-2
• オットー・ノイゲバウアー(1975)、古代数学天文学の歴史、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-06995-1
• オラフ・ペダーセン（1974）『アルマゲスト概論』オーデンセ大学出版 ISBN 87-7492-087-1 
• サーストン、ヒュー（1996）、初期天文学、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-94822-5

• JL Heiberg Almagest、48～63 ページのコード表。
• グレン・エラート プトレマイオスの弦表: 2 世紀の三角法
• ギリシャ語とフランス語の Almageste はインターネット アーカイブにあります。