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順序幾何学は、媒介性（または「媒介性」）の概念を特徴とする幾何学の一形式ですが、射影幾何学と同様に、測定の基本概念を省略しています。順序幾何学は、アフィン幾何学、ユークリッド幾何学、絶対幾何学、双曲幾何学（射影幾何学を除く） の共通の枠組みを形成する基本的な幾何学です。
歴史
1882年、モーリッツ・パッシュは初めて測定を参照しない幾何学を定義しました。彼の公理はペアノ（1889年）、ヒルベルト（1899年）、ヴェブレン（1904年）によって改良されました。[1] : 176 ユークリッドは『原論』の定義4でパッシュのアプローチを予見していました。「直線とは、その直線上の点と一直線に並ぶ線である」[2]
原始的な概念
順序付けられた幾何学における唯一の基本的な概念は、点 A、B、C、... と、 「 B はAとCの間にある」と解釈できる媒介の三元関係[ ABC ] です。
定義
線分ABは、 [ APB ]となる点Pの集合です。
区間AB は線分 ABとその端点AおよびBです。
光線A / B (「 AからBに向かう光線」と読む)は、[ PAB ]となる点Pの集合です。
直線ABは 、区間ABと 2 つの光線A / BおよびB / Aです。直線AB上の点は、同一線上にあると言われます。
角度は、点O (頂点) と、 Oから出る 2 本の非同一直線上の光線(辺) で構成されます。
三角形は、同一直線上にない 3 つの点 (頂点と呼ばれる) と、その 3 つの線分 AB、BC、CAによって構成されます。
3 点A、B、Cが同一直線上にない場合、平面 ABC は三角形ABCの 1 辺または 2 辺上の点のペアと同一直線上にあるすべての点の集合です。
4 つの点A、B、C、Dが同一平面上にない場合、空間( 3 次元空間) ABCD は、四面体ABCDの 4 つの面( 平面領域 )のいずれかから選択された点のペアと同一線上にあるすべての点の集合です。
順序幾何学の公理
- 少なくとも2つの点が存在します。
- AとB が異なる点である場合、 [ABC] となるC が存在します。
- [ ABC ] の場合、AとCは異なる ( A ≠ C )。
- [ ABC ] の場合、[ CBA ] ですが、[ CAB ] ではありません。
- CとD が線分AB上の異なる点である場合、A は線分CD上にあります。
- AB が直線である場合、直線AB上にない点Cが存在します。
- （パシュの公理）ABC が三角形で、[ BCD ] かつ [ CEA ] である場合、直線DE上に [ AFB ]となる点F が存在します。
- 次元公理:
- 平面配列幾何学では、すべての点は1つの平面上にあります。または
- ABC が平面である場合、平面ABC上にない点Dが存在します。
- すべてのポイントは、同じ平面、空間などにあります (作業する次元によって異なります)。
- (デデキントの公理) 直線上のすべての点を 2 つの空でない集合に分割し、どちらの集合の点ももう一方の集合の 2 点の間に存在しない場合、一方の集合の他のすべての点ともう一方の集合のすべての点の間に、一方の集合の点が存在します。
これらの公理はヒルベルトの順序公理と密接に関連している。順序幾何学の公理化の包括的な調査についてはVictor (2011)を参照のこと。[3]
結果
シルベスターの共線点問題
シルベスター・ガライ定理は秩序幾何学の範囲内で証明できる。[4] [1] : 181, 2
並列処理
ガウス、ボヤイ、ロバチェフスキーは、秩序ある幾何学で表現できる平行性の概念を開発した。 [1] ：189、90
定理 (平行性の存在):点Aと、 Aを通らない直線rが与えられたとき、平面ArにはAからr と交わらない極限光線が 2 本だけ存在します。したがって、 Aを通りrと交わらない平行直線が存在します。
定理 (平行性の伝達可能性):光線と直線の平行性は、光線の始点から線分を追加または減算することによって維持されます。
平行性の推移性は、秩序ある幾何学では証明できない。[5]したがって、平行性の「秩序ある」概念は、線上で 同値関係を形成しない。
参照
参考文献
- ^ abc Coxeter, HSM (1969).幾何学入門（第2版）. John Wiley and Sons . ISBN 0-471-18283-4.ZBL0181.48101 .
- ^ ヒース、トーマス(1956) [1925].ユークリッド原論 (第 1 巻) . ニューヨーク:ドーバー出版. pp. 165. ISBN 0-486-60088-2。
- ^ Pambuccian, Victor (2011). 「順序付き幾何学の公理: I. 順序付き接続空間」. Expositiones Mathematicae . 29 : 24–66. doi :10.1016/j.exmath.2010.09.004.
- ^ パンブッチアン、ビクター (2009). 「シルベスター・ガライの定理の逆分析」。ノートルダム形式論理ジャーナル。50 (3):245-260。土井：10.1215/00294527-2009-010。Zbl 1202.03023。
- ^ Busemann, Herbert (1955). Geometry of Geodesics . Pure and Applied Mathematics. Vol. 6. New York: Academic Press . p. 139. ISBN 0-12-148350-9.ZBL0112.37002 。