数学 の一分野である位相 幾何学 において 、 弦群は、 スピン群 の -連結被覆 として Stolz (1996) によって導入された 無限次元群である 。 弦多様体は、 フレームバンドル を弦群バンドルに持ち上げた 多様体 である。これは、パスに沿った ホロノミーを 定義できることに加えて、弦間を移動する面のホロノミーも定義できることを意味する。 位相群 の 短い 正確なシーケンスが存在する。
弦 （ ん ）
{\displaystyle \operatorname {文字列} (n)}
3
{\displaystyle 3}
0 →
け （
ず
、 2 ）
→ 弦 （ ん ） → スピン （ ん ） → 0
{\displaystyle 0\rightarrow {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0}
ここで、は アイレンバーグ・マクレーン空間 であり 、 は スピン群である。弦群は、 直交群の ホワイトヘッド塔（ ポストニコフ塔 の概念の双対 ）の要素である 。
け （
ず
、 2 ）
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}
スピン （ ん ）
{\displaystyle \operatorname {スピン} (n)}
⋯ → ファイブブレイン （ ん ） → 弦 （ ん ） → スピン （ ん ） → それで （ ん ） → お （ ん ）
{\displaystyle \cdots \rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n)}
これは、 を消去して から得られる のと同じ方法で、 に対する ホモトピー群を 消去することによって得られます。すべての有限次元 コンパクト リー群は がゼロではないため、結果として得られる多様体は任意の有限次元 リー群 にはなり得ません。 を消去すると、ファイブブレーン群が得られます 。
π
3
{\displaystyle \pi_{3}}
スピン （ ん ）
{\displaystyle \operatorname {スピン} (n)}
スピン （ ん ）
{\displaystyle \operatorname {スピン} (n)}
それで （ ん ）
{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}
π
1
{\displaystyle \pi _{1}}
π
3
{\displaystyle \pi _{3}}
π
7
{\displaystyle \pi _{7}}
より一般的には、アイレンバーグ・マクレーン空間から始まる短い完全列を介したポストニコフタワーの構築は、任意のリー群 G に適用でき 、弦群 String ( G ) が得られます。
弦群の直感
アイレンバーグ・マクレーン空間の重要性は、 ホモトピー同値が存在するという事実にある。
K
(
Z
,
2
)
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}
K
(
Z
,
1
)
≃
U
(
1
)
≃
B
Z
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }
分類空間 については 、事実は である 。複素スピン群は群の拡張であるため、
B
Z
{\displaystyle B\mathbb {Z} }
K
(
Z
,
2
)
≃
B
U
(
1
)
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)}
0
→
K
(
Z
,
1
)
→
Spin
C
(
n
)
→
Spin
(
n
)
→
0
{\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)\to \operatorname {Spin} (n)\to 0}
ストリング群は、高次群論 の意味で「高次の」複素スピン群の拡張と考えることができる。 なぜなら、空間は 高次群の例だからである。ストリング群は 、オブジェクトが単一の点であり、その射が群である 群体 の位相的実現と考えることができる。 のホモトピー次数は であり 、そのホモトピーは次数 に集中していることを意味する。これは、 写像の ホモトピー繊維 から来るからである。
K
(
Z
,
2
)
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}
B
U
(
1
)
{\displaystyle \mathbf {B} U(1)}
U
(
1
)
{\displaystyle U(1)}
K
(
Z
,
2
)
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}
2
{\displaystyle 2}
2
{\displaystyle 2}
String
(
n
)
→
Spin
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)}
ホモトピー余核が であるホワイトヘッドタワーから 。これは、ホモトピーファイバーによって次数が だけ下がるためです 。
K
(
Z
,
3
)
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}
1
{\displaystyle 1}
幾何学を理解する
ストリングバンドルの幾何学はホモトピー理論における複数の構成の理解を必要とするが [1] 、本質的には-バンドルとは何か、そしてこれらの高次の群拡張がどのように動作するかを理解することに帰着する。すなわち、 空間上の-バンドルは バンドルゲルベ として幾何学的に表現される。 なぜなら、任意の -バンドルはホモトピー平方を与える写像のホモトピーファイバーとして実現できる からである。
K
(
Z
,
2
)
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}
K
(
Z
,
2
)
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}
M
{\displaystyle M}
K
(
Z
,
2
)
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}
P
→
∗
↓
↓
M
→
K
(
Z
,
3
)
{\displaystyle {\begin{matrix}P&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\M&\xrightarrow {} &K(\mathbb {Z} ,3)\end{matrix}}}
ここで、 です 。すると、ストリングバンドルは、スピンバンドル が フレームバンドルに同変にマップされるのと同様に、 -同変なスピン
バンドルにマップされる必要があります。
K
(
Z
,
3
)
=
B
(
K
(
Z
,
2
)
)
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)=B(K(\mathbb {Z} ,2))}
S
→
M
{\displaystyle S\to M}
S
→
M
{\displaystyle \mathbb {S} \to M}
K
(
Z
,
2
)
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}
ファイブブレーン群および高次の群 五ブレーン群は、ホワイトヘッドタワーを使って弦群の群を 消すことで
同様に理解できる [2] 。その後、 高次の群 の正確なシーケンスを使用して再び理解できる。
π
7
(
Spin
(
n
)
)
≅
π
7
(
O
(
n
)
)
{\displaystyle \pi _{7}(\operatorname {Spin} (n))\cong \pi _{7}(\operatorname {O} (n))}
String
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {String} (n)}
0
→
K
(
Z
,
6
)
→
Fivebrane
(
n
)
→
String
(
n
)
→
0
{\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,6)\to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to 0}
it を反復拡張、つまり による拡張の観点から 表現します 。右側のマップはホワイトヘッド タワーからのものであり、左側のマップはホモトピー ファイバーであることに注意してください。
Fivebrane
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}
K
(
Z
,
6
)
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,6)}
String
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {String} (n)}
参照
参考文献
^ Jurco, Branislav (2011 年 8 月). 「交差モジュールバンドル Gerbes; 分類、ストリンググループ、微分幾何学」. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 08 (5): 1079–1095. arXiv : math/0510078 . Bibcode :2011IJGMM..08.1079J. doi :10.1142/S0219887811005555. ISSN 0219-8878. S2CID 1347840. ^ Sati, Hisham; Schreiber, Urs; Stasheff, Jim (2009 年 11 月). 「Fivebrane Structures」. Reviews in Mathematical Physics . 21 (10): 1197–1240. arXiv : 0805.0564 . Bibcode :2009RvMaP..21.1197S. doi :10.1142/S0129055X09003840. ISSN 0129-055X. S2CID 13307997.
Henriques, André G.; Douglas, Christopher L.; Hill, Michael A. (2011)、「弦の向きに対するホモロジー的障害」、 Int. Math. Res. Notices 、 18 : 4074–4088、 arXiv : 0810.2131 、 Bibcode :2008arXiv0810.2131D ヴォッケル、クリストフ、ザクセ、クリストフ、ニコラウス、トーマス (2013)、「弦群の滑らかなモデル」、 国際数学研究通知 、 2013 (16): 3678–3721、 arXiv : 1104.4288 、 Bibcode :2011arXiv1104.4288N、 doi :10.1093/imrn/rns154 シュトルツ、ステファン (1996)、「正のリッチ曲率とウィッテン属に関する予想」、 Mathematische Annalen 、 304 (4): 785–800、 doi :10.1007/BF01446319、 ISSN 0025-5831、 MR 1380455、 S2CID 123359573 Stolz, Stephan; Teichner, Peter (2004)、「楕円形オブジェクトとは何か?」 (PDF) 、 トポロジー、幾何学、量子場理論 、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第308巻、 ケンブリッジ大学出版局 、pp. 247–343、 doi :10.1017/CBO9780511526398.013、 ISBN 9780521540490 、 MR 2079378
外部リンク 
