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弦理論や関連理論（超重力理論など）において、ブレーンとは、零次元の点粒子、一次元弦、二次元膜といった概念をより高次元の物体へと一般化した物理的対象である。ブレーンは量子力学の法則に従って時空を伝播できる動的な物体であり、質量を持ち、電荷などの他の属性も持つことができる。
数学的には、ブレーンは圏の中で表現することができ、純粋数学において、ホモロジー的鏡面対称性や非可換幾何学を理解するための研究対象となっている。
点粒子は次元ゼロの0ブレーンであり、弦は振動する音楽の弦にちなんで名付けられ、1ブレーンであり、膜はドラムヘッドなどの振動する膜にちなんで名付けられ、2ブレーンである。[ 2 ]任意の次元pに対応するオブジェクトはpブレーンと呼ばれ、この用語は1988年にMJ Duffらによって造語された。[ 3 ]
pブレーンは、時空内に( p +1)次元の体積を掃き出し、これをワールドボリュームと呼ぶ。物理学者はしばしば、ブレーンのワールドボリューム上に存在する電磁場に類似した場を研究する。 [ 4 ]
弦理論では、弦は開いている（2つの端点を持つセグメントを形成する）か閉じている（閉じたループを形成する）かのいずれかである。Dブレーンは、開いた弦を考えるときに現れる重要なブレーンの一種である。開いた弦が時空を伝播するとき、その端点はDブレーン上にある必要がある。Dブレーンの「D」は、Dブレーンが満たすディリクレ境界条件を指す。 [ 5 ]
Dブレーンに関する重要な点の1つは、Dブレーンの世界体積上のダイナミクスがゲージ理論によって記述されるということです。ゲージ理論は、素粒子物理学の標準模型における素粒子の振る舞いを記述するためにも使用される、高度に対称的な物理理論の一種です。このつながりは、ゲージ理論と量子場理論に関する重要な洞察をもたらしました 。例えば、AdS/CFT対応の発見につながりました。これは、物理学者がゲージ理論の難しい問題を弦理論のより数学的に扱いやすい問題に変換するために使用する理論的ツールです。[ 6 ]
数学的には、ブレーンは圏の概念を用いて記述できます。[ 7 ]これは、オブジェクトと、任意のオブジェクトのペアに対するそれらの間の射の集合からなる数学的構造です。ほとんどの例では、オブジェクトは数学的構造（集合、ベクトル空間、位相空間など）であり、射はこれらの構造間の関数です。 [ 8 ]同様に、オブジェクトが D-ブレーンであり、2 つのブレーン間の射がそしては、開いた弦が張られた状態です。そして[ 9 ]
弦理論のトポロジカル B モデルと呼ばれるバージョンでは、D ブレーンは、カラビ・ヤウ多様体と呼ばれる特定の 6 次元形状の複素部分多様体であり、弦の端に電荷があることから物理的に生じる追加データも含まれています。 [ 10 ]直感的には、部分多様体はカラビ・ヤウ多様体内に埋め込まれた表面と考えることができますが、部分多様体は 2 次元以外の次元にも存在できます。[ 11 ]数学用語では、これらのブレーンを対象とする圏は、カラビ・ヤウ上のコヒーレント層の導来圏として知られています。 [ 12 ]弦理論の別のバージョンであるトポロジカル A モデルでは、D ブレーンは再びカラビ・ヤウ多様体の部分多様体と見なすことができます。大まかに言えば、数学者が特殊ラグランジュ部分多様体と呼ぶものです。[ 13 ]これは、とりわけ、それらが存在する空間の半分の次元を持ち、長さ、面積、または体積を最小化することを意味します。[ 14 ]これらのブレーンを対象とする圏は、フカヤ圏と呼ばれます。[ 15 ]
連接層の導来圏は、幾何学的形状を代数的に記述し、代数方程式を用いて幾何学的問題を解く数学の一分野である複素幾何学のツールを用いて構築される。[ 16 ]一方、福谷圏は、古典物理学の研究から生まれた数学の一分野であるシンプレクティック幾何学を用いて構築される。シンプレクティック幾何学は、 2次元の例で面積を計算するために使用できる数学的ツールであるシンプレクティック形式を備えた空間を研究する。 [ 17 ]
マキシム・コンツェヴィッチのホモロジー的鏡面対称性予想は、あるカラビ・ヤウ多様体上の連接層の導来圏が、ある意味で全く異なるカラビ・ヤウ多様体の福谷圏と等価であると述べている。[ 18 ]この等価性は、複素幾何学とシンプレクティック幾何学という2つの幾何学分野の間に予期せぬ橋渡しを提供する。[ 19 ]
