巡回群

抽象代数学において、巡回群または単元群は、単一の元によって生成される群であり、C _n（_nまたは Z _{nとも呼ばれる。} p進数の可換環と混同しないように注意）で表される。 ^[1]つまり、これは単一の結合二項演算を持つ可逆な元の集合であり、 群のその他のすべての元は、群演算をgまたはその逆に対して繰り返し適用することによって得られる 元g を含む。各元は、乗法表記ではgの 整数乗として、加法表記ではgの整数倍として表記できる。この元 g は群の生成元と呼ばれる。 ^[1]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

すべての無限巡回群は、整数Zの加法 群と同型です。 n位数のすべての有限巡回群は、 nを法とする整数Z / n Zの加法群と同型です。すべての巡回群はアーベル群（つまり、群演算が可換）であり、すべての有限生成アーベル群は巡回群の 直積です。  

素数位数の巡回群はすべて単純群であり、より小さな群に分割することはできません。有限単純群の分類では、3 つの無限クラスのうちの 1 つが素数位数の巡回群で構成されます。したがって、素数位数の巡回群は、すべての群を構築できる構成要素の 1 つです。

任意の群 Gの任意の元 gに対して、そのすべての整数べきからなる部分群⟨ g ⟩ = { g ^k | k ∈ Z }を形成できます。これはgによって生成される 巡回部分群と呼ばれます。gの 位数は |⟨ g ⟩| で、これは ⟨ g ⟩の元の数で、慣例的に | g |、ord( g )、または o( g ) と省略されます。つまり、元の位数はそれが生成する巡回部分群の位数に等しくなります。

巡回群とは、その巡回部分群の1つに等しい群である。つまり、 Gの生成元と呼ばれるある元 gに対して、G = ⟨ g ⟩となる。

n位の 有限巡回群 Gについて、 G = { e , g , g ² , ... , g ^{n −1} }が成り立ちます。ここでe は単位元で、i ≡ j ( mod n )のときは常にg ⁱ = g ^jです。特に、g ⁿ = g ⁰ = e、g ⁻¹ = g ^{n −1 です}。この乗算によって定義される抽象群は C _nと表記されることが多く、Gは標準巡回群 C _nと同型であるといわれます。このような群は、 n を法とする加算演算を伴う整数群Z / n Zとも同型であり、これは加法表記における標準巡回群です。χ ( g ⁱ ) = iによって定義される同型χのもとで、単位元 e は0 に、積は和に、べき乗は倍数に対応します。  

たとえば、複素 6 乗根の集合は、乗法の下で群を形成します。これは、原始根、つまりG = ⟨ z ⟩ = { 1, z , z ² , z ^{3 , z 4 , z 5 }（z 6 = 1）によって生成されるため、巡回的です。文字を変えると、これは、 C 6 = ⟨ g ⟩ = { e , g , g 2} , g ³ , g 4 , g ⁵ }として^定義される、位数 6 の標準巡回群と同型_（構造的に同じ）であり、^乗法はg ^j · g ^k = g ^j + ^k ( mod ⁶ )で^{あるため、 g} 6 = g ⁰ = e^となります。これらの群は、 6 を法とする加算演算で Z /6 Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5} にも同型であり、 z kと g k はk^に対応し^ます。たとえば 、1 + 2 ≡ 3 (mod 6) はz ¹ · z ² = z ³に対応し、2 + 5 ≡ 1 (mod 6) はz ² · z ⁵ = z ⁷ = z ¹などに対応します。任意の要素は、 ⟨ z ² ⟩ = { e , z ² , z ⁴ } などの 3 次巡回部分群を生成し、これは C ₃およびZ /3 Zに同型です。そして ⟨ z ⁵ ⟩ = { e、z ⁵、z ¹⁰ = z ⁴、z ¹⁵ = z ³、z ²⁰ = z ²、z ²⁵ = z } = Gであり、z ^{5 は位数6で}Gの代替生成元となる 。$${\displaystyle G=\left\{\pm 1,\pm {\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)},\pm {\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)}\right\}}$$ ${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i=e^{2\pi i/6}:}$ 。

商表記Z / n Z、Z /( n )、またはZ / nの代わりに、有限巡回群をZ _nと表記する著者もいますが、これは数論の表記法と衝突します。数論の表記法では、Z _{p は}p進数環、または素イデアルへの局所化を表します。

一方、無限巡回群 G = ⟨ g ⟩では、冪g ^{k は}すべての整数kに対して異なる元を与えるため、G = { ... , g ⁻² , g ⁻¹ , e , g , g ² , ... } となり、Gは標準群C = C _∞および整数の加法群Zと同型となる。 例として、第 1フリーズ群が挙げられる。 ここでは有限巡回はなく、「巡回」という名前は誤解を招く可能性がある。^[2]

この混乱を避けるために、ブルバキは単一の生成元を持つ群に対して単元群という用語を導入し、「巡回群」を有限単元群を意味するように制限し、「無限巡回群」という用語の使用を避けた。^{[注 1]}

整数 の集合Z は、加法演算によって群を形成します。^{[1]すべての整数は単一の数 1 を繰り返し加算または減算することで表すことができるため、これは}無限巡回群です。この群では、 1 と −1 だけが生成元です。すべての無限巡回群はZと同型です 。

任意の正の整数nに対して 、 nを法とする 整数の集合は、やはり加法演算によって有限巡回群Z / n Z を形成する。^[1] モジュラー整数 iがnと 互いに素である場合、この群の生成元はこれらの要素から整数の加法によって群の他のすべての要素を生成できるためである。(このような生成元の数はφ ( n ) であり、φはオイラーのトーシェント関数である。)任意の有限巡回群GはZ / n Zと同型であり、n = | G | は群の位数である。

巡回群を定義するために使用される整数とモジュラー整数の加算演算は、可換環の加算演算であり、ZおよびZ / n ZまたはZ /( n ) とも表記されます。p が素数の場合、Z / p Zは有限体であり、通常、ガロア体の場合はF _pまたは GF( p ) と表記されます。

すべての正の整数 nに対して、 n を法として nと互いに素である 整数の集合は ( Z / n Z ) ^×と表記され、乗法の演算によって群を形成する。この群は常に巡回するとは限らないが、 nが 1、2、4、奇数の素数の累乗、または奇数の素数の2倍の累乗（OEISのシーケンスA033948）の場合は常に巡回する。^{[4] [5]}これは環Z / n Zの単位 の乗法群であり、 φ ( n )個あり、ここでもφはオイラーのトーシェント関数である。たとえば、 ( Z /6 Z ) ^× = {1, 5} であり、6 は奇数の素数の2倍であるため、これは巡回群である。対照的に、 ( Z /8 Z ) ^× = {1, 3, 5, 7} はクラインの4-群であり、巡回ではない。 ( Z / n Z ) ^×が巡回的な場合、その生成元はnを法とする原始根と呼ばれます。

素数 pに対して、群( Z / pZ ) ^×は常に巡回的であり、位数 pの有限体の非ゼロ元からなる。より一般的には、任意の体の乗法群の有限部分群はすべて巡回的である。^[6]

多角形の回転対称性の集合は有限巡回群を形成する。^[7]多角形を回転（ヌル回転を含む）によって自分自身に動かす n 通りの方法がある場合、この対称群はZ / n Zと同型である。3 次元以上では、巡回しているが軸の周りの回転ではなく回転子反射である有限対称群が他にも存在する。

円のすべての回転の群（円群、 S ¹とも表記）は巡回ではありません。これは、整数乗がすべての回転を生成する単一の回転が存在しないためです。実際、無限巡回群 C _∞は可算ですが、S ^{1 は}可算ではありません。有理角による回転の群は可算ですが、それでも巡回ではありません。

n乗根は、n乗が1である複素数で、多項式x ⁿ − 1の根です。すべてのn乗根の集合は、乗法の下でn次巡回群を形成します。^[1]この巡回群の生成元はn次原始根です。これらはn次円分多項式の根です。たとえば、多項式z ³ − 1 は( z − 1)( z − ω )( z − ω ² )として因数分解されます。ここでω = e ^{2 πi /3}です。集合 {1, ω , ω ² } = { ω ⁰ , ω ¹ , ω ² } は乗法の下で巡回群を形成します。n乗根によって生成される有理数の体拡大のガロア群は、 φ ( n )位の乗法群 ( Z/ n Z ) ^×と同型の別の群を形成し、これはすべての n ではなく一部のnに対して巡回的です (上記を参照)。

体拡大は、そのガロア群が巡回的である場合、巡回拡大と呼ばれる。特性 0の体の場合、そのような拡大はクンマー理論の対象であり、根号による可解性と密接に関係している。特性pの 有限体の拡大の場合、そのガロア群は常に有限かつ巡回的であり、フロベニウス写像の冪によって生成される。^[8]逆に、有限体 Fと有限巡回群 Gが与えられた場合、ガロア群が GであるFの有限体拡大が存在する 。^[9]

巡回群のすべての部分群と商群は巡回的である。具体的には、 Zのすべての部分群は ⟨ m ⟩ = m Zの形をとり、mは正の整数である。これらの部分群はすべて互いに異なり、自明な群 {0} = 0 Zを除いて、すべてZと 同型である。Zの部分群の格子は、割り切れる度合いで順序付けられた自然数の格子の双対と同型である。^[10]したがって、素数 pには非自明な約数がないため、p Z は最大固有部分群であり、商群Z / p Z は単純である。実際、巡回群が単純であるためには、その順序が素数でなければならない。^[11]

すべての商群Z / n Z は有限ですが、例外としてZ /0 Z = Z /{0} があります。nの すべての正の約数dに対して 、商群Z / n Zには、 n / dの 剰余類によって生成される、順序dの部分群が 1 つだけあります 。他の部分群はありません。

すべての巡回群はアーベル群である。^[1]つまり、その群演算は可換である：gh = hg（Gのすべてのgとhに対して）。これは、 r + s ≡ s + r (mod n )であるため、整数加算とモジュラー加算の群については明らかであり、すべての巡回群はこれらの標準群と同型であるため、すべての巡回群について従います。位数nの有限巡回群では、g ^{n は}任意の元gの単位元です 。これは、モジュラー加算への同型を使用することで再び従います。なぜなら、すべての整数 kに対してkn ≡ 0 (mod n ) であるためです。（これは、ラグランジュの定理により、位数nの一般群についても当てはまります。）

素数冪 の場合、群は主巡回群と呼ばれます。アーベル群の基本定理は、すべての有限生成アーベル群は主巡回群と無限巡回群の有限直積である と述べます。${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle Z/p^{k}Z}$

巡回群はアーベル群なので、その共役類はそれぞれ1 つの要素で構成されます。 したがって、位数nの巡回群にはn 個の共役類があります。

d がnの 約数である場合、 Z / n Zで位数d を持つ元の数はφ ( d )であり、位数がd を割り切る元の数はちょうど dです。Gが有限群であり、各n > 0に対して、Gには位数がn を割り切るn個の元が含まれる場合、G は巡回する必要があります。^{[注 2]} Z / n Zの 元mの位数はn / gcd ( n , m )です。

nとm が互いに素である場合、2つの巡回群Z / n ZとZ / m Zの直積は巡回群Z / nm Zに同型であり、逆も成り立ちます。これは中国剰余定理の1つの形式です。たとえば、Z /12 Z は、同型( k mod 12) → ( k mod 3, k mod 4)の下で直積Z /3 Z × Z / 4 Zに同型ですが、すべての要素の位数が最大で 6 であるZ /6 Z × Z /2 Zとは同型ではありません。

p が素数であれば、 p個の元を持つ任意の群は単純群Z / p Zと同型である。数nが巡回数 と呼ばれるのは、Z / n Zがn位数の唯一の群である 場合であり、これはgcd( n , φ ( n )) = 1のときに正確に当てはまる。^[13]巡回数の列にはすべて素数が含まれるが、 15 などの合成数も含まれる。ただし、2 を除くすべての巡回数は奇数である。巡回数は以下のとおりである。

1、2、3、5、7、11、13、15、17、19、23、29、31、33、35、37、41、43、47、51、53、59、61、65、67、69、71、73、77、79、83、85、87、89、91、95、97、101、103、107、109、113、115、119、123、127、131、133、137、139、141、143 、... (OEIS のシーケンスA003277 )

定義は、巡回群が_有限nに対して群 表現 C∞ =⟨x | ⟩とCn ₌ ⟨x | xn⟩^を持つことを直ちに意味する。^[14]

巡回群の表現論は、より一般的な有限群の表現論にとって重要な基本ケースです。複素数の場合、巡回群の表現は線型指標の直和に分解され、指標論と表現論の関係が明確になります。正特性の場合、巡回群の分解不可能な表現は、巡回シロー部分群を持つ群の表現論、さらに一般的には巡回欠陥ブロックの表現論のモデルと帰納的基礎を形成します。

サイクルグラフは、グループのさまざまなサイクルを示し、特に小さな有限グループの構造を視覚化するのに役立ちます。循環グループのサイクルグラフは、グループの順序がノードの数に等しい単純な円形グラフです。単一のジェネレータは、グループをグラフ上の方向パスとして定義し、逆ジェネレータは逆方向パスを定義します。単純なパス（恒等パス）はループとして描画できますが、通常は抑制されます。Z ₂は、2つの曲線エッジを持つマルチグラフとして描画されることがあります。^[15]

位数nの巡回群 Z _{n は}、頂点に要素を持つ n辺の多角形として単純にグラフ化された単一の巡回に対応します。

ケイリーグラフは、( G , S ) のペアから定義されるグラフで、 Gは群、S は群の生成元の集合である。群の各要素に対して頂点を持ち、元と生成元の積に対して辺を持つ。生成元が 1 つしかない有限巡回群の場合、ケイリーグラフは巡回グラフであり、生成元が 1 つしかない無限巡回群の場合、ケイリーグラフは二重無限パスグラフである。ただし、ケイリーグラフは他の生成元集合から定義することもできる。任意の生成元集合を持つ巡回群のケイリーグラフは巡回グラフと呼ばれる。^[16]これらのグラフは、円または線上の等間隔の点の集合として幾何学的に表現でき、各点は他の点と同じ距離集合で隣接する点と接続される。これらはまさに、対称群に推移巡回群が含まれる頂点推移グラフである。 ^[17]

アーベル群Z / n Zの自己準同型環は、環としてZ / n Z自身と同型である。^[18]この同型の下では、数r は、各元をそのr個のコピーの和に写すZ / n Zの自己準同型に対応する。これは、 r がnと互いに素である場合に限り、一対一であるので、Z / n Zの自己同型群は単位群 ( Z / n Z ) ^×と同型である。^[18]

同様に、 Zの加法群の自己準同型環は 環 Zと同型であり、その自己同型群は環Zの単位群 ({−1, +1}, ×) ≅ C ₂と同型である。

テンソル積 Z / m Z ⊗ Z / n Zは、 Z / gcd( m , n ) Zと同型であることが示されます。したがって、 Z / m ZからZ / n Zへの群準同型のコレクションを形成でき、これはhom( Z / m Z , Z / n Z )と表記され、それ自体が群です。

テンソル積の場合、これはR / I ⊗ _R R / J ≅ R /( I + J )という一般的な事実の結果です。ここで、R は単位を持つ可換環であり、IとJ は環のイデアルです。Hom 群の場合、 mを割り切る位数の元からなるZ / n Zのサブグループに同型であることを思い出してください。そのサブグループは位数gcd( m、n )の巡回群であり、これで証明が完了します。

巡回群との関係によって、他のいくつかの群のクラスが定義されています。

群が事実上巡回的であるとは、有限の指数（部分群が持つ剰余類の数）の巡回部分群を含む場合である。言い換えれば、事実上巡回群の任意の元は、巡回部分群の要素と特定の有限集合の要素を掛け合わせることによって得られる。すべての巡回群は事実上巡回的であり、すべての有限群も同様である。無限群が事実上巡回的であるためには、有限生成でちょうど 2 つの端を持つ必要がある。^{[注 3]}そのような群の例としては、因子Z が有限の指数 nを持つZ / n ZとZの直積がある。グロモフ双曲群のすべてのアーベル部分群は事実上巡回的である。^[20]

原有限群は、単一の要素によって位相的に生成できる場合、原循環群と呼ばれます。原有限群の例には、原有限整数や素数pのp進整数が含まれます。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

局所巡回群とは、有限生成した各部分群が巡回している群である。例としては、有理数の加法群が挙げられる。有理数の有限集合は、最小公分母の逆数である単一の単位分数の整数倍の集合であり、部分群としてこの単位分数の整数倍の巡回群を生成する。群が局所巡回であるためには、その部分群の格子が分配格子となる必要がある。^[21]

巡回順序群は、群の構造によって巡回順序が保存される群である。すべての巡回群は、整数の順序（または群の順序を法とする整数）と一致する巡回順序群としての構造を与えることができる。巡回順序群のすべての有限部分群は巡回的である。^[22]

メタ巡回群は、商も巡回である巡回正規部分群を含む群である。 ^[23]これらの群には、巡回群、二巡回群、および2つの巡回群の直積が含まれる。多巡回群は、複数レベルの群拡張を許可することでメタ巡回群を一般化する。群が多巡回であるとは、それぞれが巡回商を持つ前の部分群に正規であり、自明な群で終わる有限の下降シーケンスの部分群を持つ場合である。有限生成アーベル群または冪零群はすべて多巡回である。^[24]

• サイクルグラフ（グループ）
• 循環モジュール
• 循環ふるい分け
• プリューファー群（可算無限類似）
• 円群（非可算無限類似体）

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• 巡回群の紹介
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• GroupNames 上の小さい順序の巡回グループ
• すべての巡回群はアーベル群である