ラグランジアン グラスマン多様体

数学において、ラグランジアン グラスマン多様体は、実シンプレクティック ベクトル空間Vのラグランジアン部分空間の滑らかな多様体です。その次元は⁠ 1/2⁠ n ( n + 1) （ここでVの次元は2n ）。これは同次空間と同一視される。

U( n )/O( n )、

ここで、U( n )はユニタリ群、O( n ) は直交群です。ウラジミール・アーノルドに倣って、Λ( n )と表記されます。ラグランジアン・グラスマン多様体は、 Vの通常のグラスマン多様体のサブ多様体です。

複素ラグランジアン グラスマン多様体は、次元 2 nの複素 シンプレクティック ベクトル空間Vのラグランジアン部分空間の複素同次多様体です。これは、複素次元の同次空間と同一視されることがあります⁠ 1/2⁠ n ( n + 1) です

Sp( n )/U( n )、

ここでSp( n )はコンパクトシンプレクティック群である。

ラグランジアン グラスマン多様体 Λ( n ) がU( n )/O( n )と同一視できることを確認するには、 が2 n次元の実ベクトル空間であり、その通常の内積の虚部によりシンプレクティック ベクトル空間になることに留意してください。 のラグランジアン部分空間は、内積の虚部がゼロになる実次元nの実部分空間です。 例は です。ユニタリ群U( n )はこれらの部分空間の集合に対して推移的に作用し、 の安定化群は直交群です。等質空間の理論から、 Λ( n ) はU( n )の等質空間としてU( n )/O( n )と同型であることが分かります。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle L\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)\subseteq \mathrm {U} (n)}$

ラグランジアン グラスマン多様体と複素ラグランジアン グラスマン多様体の安定位相は、ボット周期性定理: 、およびに現れるため、完全に理解されています。したがって、これらは、インデックス (次元) のシフトを除けば、安定直交群 のホモトピー群とまったく同じです。 ${\displaystyle \Omega (\mathrm {Sp} /\mathrm {U} )\simeq \mathrm {U} /\mathrm {O} }$${\displaystyle \Omega (\mathrm {U} /\mathrm {O} )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BO} }$

特に、の基本群は無限巡回群である。したがって、その第 1ホモロジー群も、その第 1コホモロジー群も無限巡回群であり、単位円への写像として、ユニタリ行列の行列式の 2 乗によって与えられる特別な生成元を持つ。アーノルドは、これがVP マスロフによって導入されたマスロフ指数の記述につながることを示した。 ${\displaystyle U/O}$

実際、 Vのラグランジアン部分多様体 Mに対しては、写像が存在する。

${\displaystyle M\to \Lambda (n)}$

これは各点での接空間を分類する（ガウス写像を参照）。マズロフ指数はこの写像による引き戻しであり、

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} )}$

著名なジェネレータの

${\displaystyle H^{1}(\Lambda (n),\mathbb {Z} )}$。

シンプレクティックベクトル空間のシンプレクティック同相写像のパスには、 VP マスロフにちなんで名付けられたマスロフ指数が割り当てられることがあります。パスがループの場合は整数になり、一般には半整数になります。

この経路が、シンプレクティック多様体上のハミルトンベクトル場または接触多様体上のレーブベクトル場の周期軌道上のシンプレクティックベクトル束を自明化することによって生じる場合、それはコンリー・ツェンダー指数として知られています。これは、フロイヤーホモロジーにおいて生じるコーシー・リーマン型演算子のスペクトルフローを計算します。^[1]

これはもともとWKB 近似の研究で登場し、量子化、量子カオストレースの公式、シンプレクティック幾何学および位相幾何学の研究で頻繁に登場します。これは、線形ラグランジアン部分多様体のマズロフ指数の観点から上記のように記述できます。

• VI Arnold、「量子化条件への特性クラスの入力」、Funktsional'nyi Analiz i Ego Prilozheniya、1967、1、1、1-14、doi :10.1007/BF01075861。
• Maslov 副社長、摂動と漸近手法の理論。 1972年
• Ranicki, Andrew、「マスロフ指数ホームページ」、2015年12月1日にオリジナルからアーカイブ、2009年10月23日に取得マスロフ指数に関連するさまざまなソース資料。