一般化順列行列

数学において、一般化置換行列（または単項式行列）は、置換行列と同じ非ゼロパターンを持つ行列であり、つまり、各行および各列に正確に 1 つの非ゼロ要素がある行列です。非ゼロ要素が 1 でなければならない置換行列とは異なり、一般化置換行列では、非ゼロ要素は任意の非ゼロ値にすることができます。一般化置換行列の例を次に示します。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&3&0\\0&-7&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.}$

可逆行列 Aが一般化置換行列であるのは、可逆対角行列Dと（暗黙的に可逆な）置換行列Pの積として表せる場合のみである。すなわち、

${\displaystyle A=DP.}$

体Fの要素を持つn  ×  nの一般化置換行列の集合は、一般線型群GL( n , F )の部分群を形成し、その中で非特異対角行列の群Δ( n , F )は正規部分群を形成します。実際、 GF(2)を除くすべての体上で、一般化置換行列は対角行列の正規化行列であり、つまり、一般化置換行列は対角行列が正規である GL( n , F ) の最大の部分群です。

一般化置換行列の抽象群は、F ^×とS _nの輪積である。具体的には、これはΔ( n , F ) と対称群S _nの半直積であることを意味する。

S _n ⋉ Δ( n , F )、

ここでS _{n は}座標を置換することによって作用し、対角行列 Δ( n , F ) はn倍積( F ^× ) ⁿに同型である。

正確に言うと、一般化された置換行列は、この抽象的な花輪積の（忠実な）線形表現であり、抽象群を行列のサブグループとして実現したものです。

• すべての要素が 1 である部分群は、まさに置換行列であり、対称群と同型です。
• すべての要素が ±1 である部分群は符号付き置換行列であり、これは超八面体群です。
• 要素が 1 の m 乗根である部分群は、一般化対称 群と同型です。${\displaystyle \mu_{m}}$
• 対角行列の部分群は、アーベル群、正規群、および最大アーベル群です。商群は対称群であり、この構成は実際、一般線型群のワイル群です。つまり、対角行列は一般線型群の最大トーラス（およびそれ自身の中心化群）であり、一般化置換行列はこのトーラスの正規化群であり、商はワイル群です。${\displaystyle N(T)/Z(T)=N(T)/T\cong S_{n}}$

• 非特異行列とその逆行列が両方とも非負行列（つまり、非負の要素を持つ行列）である場合、その行列は一般化置換行列です。
• 一般化置換行列の行列式は によって与えられ、は に関連付けられた置換の符号であり 、は の対角要素です。$${\displaystyle \det(G)=\det(P)\cdot \det(D)=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot d_{11}\cdot \ldots \cdot d_{nn},}$$${\displaystyle \operatorname {sgn} (\pi )}$ ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle P}$${\displaystyle d_{11},\ldots ,d_{nn}}$${\displaystyle D}$

さらに一般化して、要素が体ではなく環にあることを許可することができます。その場合、非ゼロ要素が環の単位である必要がある場合、再びグループが得られます。一方、非ゼロ要素が非ゼロであることのみが要求され、必ずしも逆である必要がない場合、この行列の集合は代わりに半群を形成します。

また、行列の乗算では、グループ要素の「加算」ではなく、グループ要素の単一のペアの乗算のみが実行されることを理解した上で、非ゼロ要素がグループ G に存在することを図式的に許可することもできます。これは表記法の乱用です。乗算される行列の要素は乗算と加算が可能でなければならないためですが、(形式的に正しい) 抽象グループ(グループGと対称グループとの輪積) を示唆する概念です。 ${\displaystyle G\wr S_{n}}$

符号付き置換行列は、非ゼロの要素が ±1 である一般化置換行列であり、整数逆を持つ 整数一般化置換行列です。

• これはCoxeter グループ であり、順序を持っています。${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}n!}$
• これは、超立方体の対称群であり、（双対的に）交差多面体の対称群です。
• 行列式が基底の（符号なし）置換に等しい行列の指数2の部分群はコクセター群であり、半超立方体の対称群です。${\displaystyle D_{n}}$
• これは直交群の部分群です。

単項式行列は表現論において単項式表現の文脈で出現する。群Gの単項式表現はGの線型表現ρ  : G → GL( n , F )であり（ここでFは表現の定義体）、像ρ ( G )は単項式行列の群の部分群となる。

• ジョイナー、デイビッド (2008)。群論の冒険。ルービックキューブ、マーリンのマシン、その他の数学玩具(第 2 版更新改訂版)。メリーランド州ボルチモア: ジョンズ ホプキンス大学出版局。ISBN 978-0-8018-9012-3.ZBL1221.00013  .​