クラッチ構造

数学の一分野である位相幾何学において、クラッチ構築はファイバー束、特に球面上のベクトル束を構築する方法である。

球面を上半球と下半球の結合体として考え、その交点である赤道に沿って、 を考えます。 ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle D_{+}^{n}}$${\displaystyle D_{-}^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$

2 つの半球上のファイバーと構造グループを持つ自明化されたファイバー束が与えられ、次にマップ(クラッチ マップと呼ばれる) が与えられたら、 2 つの自明なバンドルをf を介して接着します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to G}$

正式には、これはと を介した包含の共等化子です。つまり、2 つのバンドルを境界上でねじりを加えて接着します。 ${\displaystyle S^{n-1}\times F\to D_{+}^{n}\times F\coprod D_{-}^{n}\times F}$${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v)\in D_{+}^{n}\times F}$${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,f(x)(v))\in D_{-}^{n}\times F}$

こうして地図が完成します。赤道上の情報を掴むと、全体の空間にファイバー バンドルが生成されます。 ${\displaystyle \pi _{n-1}G\to {\text{Fib}}_{F}(S^{n})}$

ベクトル束の場合、これは となり、実際この写像は同型です (右側の球面の和を連結した場合)。 ${\displaystyle \pi _{n-1}O(k)\to {\text{Vect}}_{k}(S^{n})}$

上記は、とを任意の閉三組、つまり空間Xと、その和がXである 2 つの閉部分集合AとBに置き換えることによって一般化できます。すると、 上のクラッチ写像はX上のベクトル束を与えます。 ${\displaystyle D_{\pm}^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle (X;A,B)}$${\displaystyle A\cap B}$

をファイバー を持つファイバーバンドルとします。を上のの局所自明化であるようなペアのコレクションとします。さらに、すべてのセットの和集合が であることを要求します(つまり、コレクションは自明化のアトラスです)。 ${\displaystyle p\colon M\to N}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle (U_{i},q_{i})}$${\displaystyle q_{i}\colon p^{-1}(U_{i})\to N\times F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U_{i}\subset N}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}=N}$

同値関係 を法とする空間 がと同値である場合、かつ の場合に限ります。意図的に、局所的自明化により、この商空間とファイバー束 の間にファイバー単位の同値性が与えられます。 ${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}\times F}$${\displaystyle (u_{i},f_{i})\in U_{i}\times F}$${\displaystyle (u_{j},f_{j})\in U_{j}\times F}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \phi }$${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}(u_{j},f_{j})=(u_{i},f_{i})}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p}$

同値関係がと同値であることは、 およびが写像である場合にのみ、 であることが要求されます。つまり、 の再構成において、ファイバー をファイバーの同相写像の位相群 で置き換えます。バンドルの構造群が簡約されることがわかっている場合は、簡約された構造群 で置き換えることができます。これは、ファイバー を持つ上のバンドルであり、主バンドルです。これを で表します。前のバンドルとの関係は、主バンドル から誘導されます。 ${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}\times \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle (u_{i},h_{i})\in U_{i}\times \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle (u_{j},h_{j})\in U_{j}\times \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \phi }$${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}}$${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}:U_{i}\cap U_{j}\to \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}(u_{j})(h_{j})=h_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {ホメオ} (F)}$${\displaystyle \operatorname {ホメオ} (F)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \operatorname {ホメオ} (F)}$${\displaystyle p\colon M_{p}\to N}$${\displaystyle (M_{p}\times F)/\operatorname {Homeo} (F)=M}$

したがって、主バンドル が得られます。分類空間の理論により、が の分類空間である、誘導プッシュフォワードファイバリングが得られます。概要は次のとおりです。 ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)\to M_{p}\to N}$${\displaystyle M_{p}\to N\to B(\operatorname {Homeo} (F))}$${\displaystyle B(\operatorname {Homeo} (F))}$${\displaystyle \operatorname {ホメオ} (F)}$

-主バンドルが与えられたとき、空間 を考えます。この空間は、次の 2 つの異なる意味でファイバ化されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G\to M_{p}\to N}$${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG}$

1) 最初の因子に射影します:この場合のファイバーは であり、分類空間の定義により収縮可能な空間です。 ${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG\to M_{p}/G=N}$${\displaystyle EG}$

2) 2番目の因子に投影します:この場合のファイバーは です。 ${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG\to EG/G=BG}$${\displaystyle M_{p}}$

こうして、ファイバー化が得られます。この写像は、ファイバー束の分類写像と呼ばれます。これは、1) 主束が分類写像に沿った束の引き戻しであり、2) 束が上記のように主束から誘導されるためです。 ${\displaystyle M_{p}\to N\simeq M_{p}\times _{G}EG\to BG}$${\displaystyle p\colon M\to N}$${\displaystyle G\to M_{p}\to N}$${\displaystyle G\to EG\to BG}$${\displaystyle p}$

ねじれた球は「クラッチ型」構造と呼ばれることもありますが、これは誤解を招きます。クラッチ型構造は、正確には繊維束に関するものです。

• ねじれた球では、2 つの半分を境界に沿って接着します。半分は(標準的な球で)事前に識別され、境界球上の点は一般に、もう一方の境界球上の対応する点には移動しません。これはマップ です。つまり、接着は基底で簡単ではありません。${\displaystyle S^{n-1}\to S^{n-1}}$
• クラッチ構造では、2 つの束をその基底半球の境界を越えて接着します。境界球は、標準的な識別によって接着されます。各点は対応する点に向かいますが、各繊維にはねじれがあります。これはマップです。接着は基底では簡単ですが、繊維では簡単ではありません。${\displaystyle S^{n-1}\to G}$

クラッチング構成は、自己双対曲率形式のペアを貼り合わせることで、カイラル異常を形成するために使用されます。このような形式は、チャーン・サイモンズ 3 形式の微分であるため、各半球上で局所的に正確です。それらを貼り合わせると、曲率形式は大域的に正確ではなくなります (したがって、非自明なホモトピー群 を持ちます)。 ${\displaystyle \pi_{3}.}$

同様の構造は、ウェス・ズミノ・ウィッテンモデルを含むさまざまなインスタントンにも見られます。

• アレクサンダートリック

• Allen Hatcherの進行中の書籍「Vector Bundles & K-Theory バージョン 2.0」の 22 ページ。

• nLabの建設に着手