4次元ユークリッド空間における回転

数学 において、4次元ユークリッド空間内の不動点の周りの回転群はSO(4)と表記される。この名前は、それが位数4の特殊直交群であることに由来する。

この記事で回転とは回転変位を意味します。一意性を保つため、特に言及されている場合や文脈によって明らかに示唆されている場合を除き、回転角度はセグメント[0, π]内にあるものと想定されます。

「固定平面」とは、回転後も平面内のすべてのベクトルが変化しない平面です。「不変平面」とは、回転の影響を受ける可能性があるものの、回転後も平面内のすべてのベクトルが平面内に残る平面です。

4 次元回転には、単純回転と二重回転の 2 種類があります。

回転中心O の周りの単純な回転Rでは、 Oを通る平面A (軸平面)全体が固定されます。 Aに完全に直交するすべての平面B は、特定の点PでA と交差します。このような各点Pは、 BにおけるRによって誘発される 2D 回転の中心です。これらの 2D 回転はすべて、同じ回転角度α を持ちます。

軸平面A内のOからの半直線は変位しません。Aに直交するOからの半直線はαだけ変位します。その他のすべての半直線はα未満の角度だけ変位します。

4 次元空間の各回転R (原点を固定) に対して、少なくとも 1 組の直交する2 次元平面AとBが存在し、各平面は不変で、その直和A ⊕ B は4 次元空間全体になります。したがって、これらの平面のいずれかに作用するR は、その平面の通常の回転を生成します。ほぼすべてのR (3 次元サブセットを除く 6 次元回転セットのすべて) に対して、平面Aの回転角αと平面Bの回転角β (どちらも非ゼロと想定) は異なります。-π < α、β < πを満たす不等な回転角αとβは、ほぼ^[a] Rによって一意に決定されます。4 次元空間が方向付けられていると仮定すると、2 次元平面AとBの方向は、この方向と一致するように 2 つの方法で選択できます。回転角が不等な場合 ( α ≠ β )、R は「二重回転」と呼ばれることがあります。

二重回転の場合、AとB は不変平面の唯一のペアであり、A、Bの原点からの半直線はそれぞれαとβで変位し、 AまたはBにない原点からの半直線は厳密にαとβ の間の角度で変位します。

二重回転の回転角が等しい場合、不変平面は2つだけではなく無限に存在し、Oからのすべての半直線は同じ角度で変位します。このような回転は、等傾斜回転または等角回転、またはクリフォード変位と呼ばれます。注意： Oを通るすべての平面が等傾斜回転で不変であるわけではありません。半直線とそれに対応する変位した半直線が張る平面のみが不変です。^[2]

4 次元空間に固定の向きが選択されていると仮定すると、等傾斜 4D 回転は 2 つのカテゴリに分類できます。これを確認するには、等傾斜回転R を考え、 Oにおける相互に垂直な半直線( OUXYZと表記) の向きが一致する順序集合OU、OX、OY、OZを取ります。このとき、OUとOX は不変平面に広がり、したがってOYとOZも不変平面に広がります。ここで、回転角αのみが指定されていると仮定します。すると、一般に、 OUXとOYZ の回転方向に応じて、平面OUXとOYZに回転角αの4 つの等傾斜回転が存在します。

OUからOXへ、およびOYからOZへの回転方向は正とみなすという規則を定めます。すると、 4 つの回転R ₁ = (+ α、 + α )、R ₂ = (− α、 − α )、R ₃ = (+ α、 − α )、およびR ₄ = (− α、 + α )が得られます。R ₁とR _{2 は}互いに逆であり、 R ₃とR ₄も同様です。 α が0 とπの間にある限り、これら 4 つの回転は異なります。

同じ符号を持つ等傾斜回転は左等傾斜回転として表され、反対符号を持つ等傾斜回転は右等傾斜回転として表されます。左等傾斜回転と右等傾斜回転は、それぞれ単位四元数の左乗算と右乗算によって表されます。以下の「四元数との関係」の段落を参照してください。

4つの回転は、α = 0またはα = πの場合を除き、ペアごとに異なります。角度α = 0は恒等回転に対応し、α = πは、恒等行列の負で与えられる中心反転に対応します。SO(4)のこれらの2つの要素は、同時に左等傾斜と右等傾斜である唯一のものです。

上記のように定義された左等傾斜と右等傾斜は、どの等傾斜回転が選択されたかによって決まるようです。ただし、独自の軸 OU′ 、 OX′ 、 OY′ 、 OZ′ を持つ別の等傾斜回転R ′を選択した場合は、U ′ 、 X′ 、 Y′ 、 Z′ の順序を常に選択して、 OUXYZを回転反転ではなく回転によってOU′X′Y′Z ′に変換することができます(つまり、順序付けられた基底OU′、OX′、OY′、OZ′も、 OU、OX、OY、OZと同じ固定された方向の選択と一致します)。したがって、方向 (つまり、一般的に右手系として示される軸のシステムOUXYZ ) を選択すると、特定の等傾斜回転の左または右の特性を決定できます。

SO(4)は非可換 コンパクト6次元 リー群である。

回転中心Oを通る各平面はSO(2)と同型の可換部 分群 の軸平面である。これらの部分群はすべてSO(4)において 互いに共役である。

Oを通る完全に直交する平面の各ペアは、SO(2) × SO(2)に同型なSO(4)の可換部分群の不変平面のペアである。

これらの群はSO(4)の最大トーラスであり、SO(4)においてすべて共役である。クリフォードトーラスも参照。

すべての左等傾斜回転はSO(4)の非可換部分群S ³ _Lを形成し、これは単位四元数の乗法群 S ³と同型である。同様に、すべての右等傾斜回転はSO(4)の部分群S 3 Rを形成し、^これは^S ₃と^{同型である。S 3} Lと_S 3 R^は_両方ともSO(4)の最大部分群である。

各左等傾斜回転は各右等傾斜回転と可換である。これは、正規部分群S ³ _LおよびS ³ _Rを持つ直積 S ³ _L × S ³ _Rが存在することを意味する。対応する因数群は両方とも直積のもう一方の因数と同型、すなわちS ³と同型である。（これは SO(4) またはその部分群ではない。なぜならS ³ _LとS ³ _{R は}互いに素ではないからである。恒等関数Iと中心反転− I はそれぞれS ³ _LとS ³ _Rの両方に属する。）

各 4D 回転Aは、2 つの意味で、左等傾斜回転A _Lと右等傾斜回転A _Rの積です。A _LとA _{R は}、中心反転まで一緒に決定されます。つまり、A _LとA _{R の}両方に中心反転を掛けると、それらの積は再びAになります。

これは、 S ³ _L × S ³ _RがSO(4) の普遍被覆群（その唯一の二重被覆）であり、S ³ _LとS ³ _Rが SO(4) の正規部分群であることを意味します。恒等回転Iと中心反転− I は、位数 2 の群C ₂を形成し、これはSO(4) の中心であり、 S ³ _LとS ³ _Rの両方の中心でもあります。群の中心はその群の正規部分群です。SO(4) の C ₂の因子群は、SO(3) × SO(3) に同型です。C ₂によるS ³ _Lの因子群とC _2によるS ³ _{Rの因子群は、それぞれ SO(3) に同型です。同様に、} S ³ _Lによる SO(4) の因子群と、S ³ _Rによる SO(4) の因子群は、それぞれ SO(3) に同型です。

SO(4)の位相は、リー群SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) 、すなわち、が3次元の実射影空間でが3次元球面である空間の位相と同じです。しかし、リー群として、SO(4)はリー群の直積ではなく、したがってSO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2)と同型ではないことに注意する必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$

奇数次元回転群は中心反転を含まず、単純群である。

偶数次元の回転群は中心反転− Iを含み、群C ₂ = { I , − I }をその中心として持ちます。 n ≥ 6 の偶数の場合、SO(n) は、その中心による SO(n) の因子群SO(n)/C ₂が単純群である という点でほぼ単純です。

SO(4) は異なります。SO (4) のどの要素にも、左等傾斜回転と右等傾斜回転を相互に変換する共役はありません。鏡映は、共役によって左等傾斜回転を右等傾斜回転に変換し、逆もまた同様です。これは、固定点Oを持つすべての等長変換のグループ O(4) の下で、異なるサブグループS ³ _LとS ³ _Rが互いに共役であり、したがって O(4) の正規サブグループにはなり得ないことを意味します。5D 回転グループ SO(5) とすべてのより高い回転グループには、O(4) と同型のサブグループが含まれます。SO(4) と同様に、すべての偶数次元回転グループには等傾斜回転が含まれます。しかし、SO(4) とは異なり、SO(6) とすべてのより高い偶数次元回転グループでは、同じ角度を通る任意の 2 つの等傾斜回転が共役です。すべての等傾斜回転の集合は、正規サブグループどころか、 SO(2 N ) のサブグループでさえありません。

SO(4)は、実数とそれ自身との内積を持つ4次元ベクトル空間の方向保存等長 線形写像の群と一般的に同一視される。

このような空間の正規直交 基底に関して、 SO(4)は行列式が+1である実4次直交行列の群として表される。^[3]

行列によって与えられる4D回転は、次のように 左等傾斜回転と右等傾斜回転に分解されます^{[4] 。}

させて

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}}$

任意の正規直交基底に関するその行列とする。

これからいわゆる関連行列を計算する

${\displaystyle M={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}a_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{ 13}\\a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}&+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{pmatrix}}}$

M は階数が1で、 16次元ベクトルとして単位ユークリッドノルムを持つのは、 Aが4次元回転行列である場合に限ります。この場合、実数a、b、c、dおよびp、q、r、sが存在し、

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}ap&aq&ar&as\\bp&bq&br&bs\\cp&cq&cr&cs\\dp&dq&dr&ds\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle (ap)^{2}+\cdots +(ds)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right)=1.}$

a ² + b ² + c ² + d ² = 1かつp ² + q ² + r ² + s ² = 1となるような、a、b、c、dとp、q、r、sの集合がちょうど 2 つあります。これらは互いの反意語です。

回転行列は

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\begin{pmatrix}ap-bq-cr-ds&-aq-bp+cs-dr&-ar-bs-cp+dq&-as+br-cq-dp\\bp+aq-dr+cs&-bq+ap+ds+cr&-br+as-dp-cq&-bs-ar-dq+cp\\cp+dq+ar-bs&-cq+dp-as-br&-cr+ds+ap+bq&-cs-dr+aq-bp\\dp-cq+br+as&-dq-cp-bs+ar&-dr-cs+bp-aq&-ds+cr+bq+ap\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

この公式は Van Elfrinkhof (1897) によるものです。

この分解の最初の因子は左等傾斜回転を表し、2 番目の因子は右等傾斜回転を表します。因子は、負の 4 次単位行列、つまり中心反転まで決定されます。

デカルト座標 ( u、x、y、z )を持つ 4 次元空間内の点は、四元数 P = u + xi + yj + zkで表すことができます。

左等傾斜回転は、単位四元数Q _L = a + bi + cj + dkによる左乗算で表されます。行列ベクトル言語では、これは

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

同様に、右等傾斜回転は、行列ベクトル形式の 単位四元数Q _R = p + qi + rj + skによる右乗算で表されます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.}$

前のセクション (#等傾斜分解) では、一般的な 4D 回転が左等傾斜因子と右等傾斜因子にどのように分割されるかを示しています。

四元数言語では、ヴァン・エルフリンクホフの公式は次のようになる。

${\displaystyle u'+x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),}$

あるいは象徴的に言えば、

${\displaystyle P'=Q_{\mathrm {L} }PQ_{\mathrm {R} }.\,}$

ドイツの数学者フェリックス・クラインによれば、この公式は1854年にすでにケイリーに知られていたという。^[5]

四元数の乗算は結合的である。したがって、

${\displaystyle P'=\left(Q_{\mathrm {L} }P\right)Q_{\mathrm {R} }=Q_{\mathrm {L} }\left(PQ_{\mathrm {R} }\right),\,}$

これは、左等傾斜回転と右等傾斜回転が可換であることを示しています。

4D 回転行列の4 つの固有値は、通常、単位大きさの複素数の共役なペア 2 つとして発生します。固有値が実数の場合、回転によってベクトルの大きさが変わらないため、±1 でなければなりません。その固有値の共役も 1 であるため、固定された平面を定義する 1 組の固有ベクトルが生成され、回転は単純になります。四元数表記では、SO(4) の適切な (つまり、非反転の) 回転が適切な単純回転となるのは、単位四元数Q _LとQ _Rの実部の大きさが等しく、同じ符号を持つ場合のみです。^{[b]両方がゼロの場合、回転}のすべての固有値は 1 であり、回転はヌル回転です。Q _LとQ _Rの実部が等しくない場合、すべての固有値は複素数であり、回転は二重回転です。

通常の3次元空間は、座標系UXYZを持つ4次元空間の座標系0XYZの部分空間として便宜的に扱われる。その回転群SO(3)は、 SO(4)の部分群と同一視され、 行列

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\,\,0&\,\,0&\,\,0\\0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.}$

前の節のファン・エルフリンクホフの公式では、この3次元への制限により、p = a、q = − b、r = − c、s = − d、または四元数表現ではQ _R = Q _L ′ = Q _L ⁻¹となる。3D回転行列は、3D回転の オイラー・ロドリゲス公式になる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}},}$

これは、オイラー・ロドリゲスパラメータa、b、c、dによる 3D 回転の表現です。

対応する四元数式P′ = QPQ ⁻¹（ただしQ = Q _{L ）}または展開形は次のようになる。

${\displaystyle x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)}$

ハミルトン-ケーリーの公式として知られています。

3D 空間での回転は、球面座標を使用すると数学的に扱いやすくなります。3D での回転は、固定された回転軸とその軸に垂直な不変平面によって特徴付けることができます。一般性を失うことなく、xy平面を不変平面、z軸を固定軸として使用できます。半径距離は回転の影響を受けないため、固定軸と不変平面を参照する 球面座標を使用して、単位球 (2 球) への影響によって回転を特徴付けることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{aligned}}}$

x ² + y ² + z ² = 1なので、点 ( x、y、z ) は単位 2 次元球面上にあります。角度{ θ ₀、φ ₀ }を持つ点をz軸の周りに角度φ回転させると、角度{ θ ₀、φ ₀ + φ }を持つ点になります。超球面座標も 4D 回転を扱うのに便利ですが、 4D 用のさらに便利な座標系はホップ座標{ ξ ₁、η、ξ ₂ }によって提供されます。^[6]これは 3 次元球面上の位置を指定する 3 つの角度座標のセットです。例:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\z&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\y&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}}$

u ² + x ² + y ² + z ² = 1なので、点は3次元球面上にあります。

4D 空間では、原点の周りのすべての回転には、互いに完全に直交し、原点で交差し、2 つの独立した角度ξ ₁とξ ₂で回転する 2 つの不変平面があります。一般性を失うことなく、これらの不変平面としてそれぞれuz平面とxy平面を選択できます。4D での点{ ξ ₁₀、η ₀、ξ ₂₀ }の角度ξ ₁とξ ₂による回転は、ホップ座標で{ ξ ₁₀ + ξ ₁、η ₀、ξ ₂₀ + ξ ₂ }と単純に表されます。

3D 空間でのすべての回転には、回転によって変化しない固定軸があります。回転は、回転軸とその軸を中心とした回転角度を指定することによって完全に指定されます。一般性を失うことなく、この軸を直交座標系のz軸として選択して、回転をより簡単に視覚化することができます。

3D 空間では、球面座標 { θ、φ }は2 次元球面のパラメトリック表現と見なすことができます。θが固定されている場合、これらは 2 次元球面上のz軸に垂直な円を表し、これらの円は球面上の点の軌道と見なすことができます。球面上の点{ θ ₀、φ ₀ }は、 z軸を中心に回転すると、角度φが変化するにつれて軌道{ θ ₀、φ ₀ + φ }をたどります。軌道は、回転角度が時間に対して線形である時間パラメトリック回転と見なすことができます。φ = ωt、ωは「角速度」です。

3D の場合と同様に、4D 空間でのすべての回転には、回転によって不変のままになり、完全に直交する (つまり、1 点で交差する) 少なくとも 2 つの不変軸平面があります。回転は、軸平面とそれらの周りの回転角度を指定することによって完全に指定されます。一般性を失うことなく、これらの軸平面を直交座標系のuz平面とxy平面として選択して、回転をより簡単に視覚化することができます。

4次元空間では、ホップ角{ ξ1、η、ξ2 }_は3次元球面をパラメータ化する。ηを固定_すると、ホップ角はξ1_とξ2でパラメータ化されたトーラスを表し、η = ⁠π/4⁠ は、 xy平面とuz平面におけるクリフォード・トーラスの特殊なケースです。これらのトーラスは、3D 空間で見られる通常のトーラスではありません。これらは 2D 面ですが、3 次元球面に埋め込まれています。3 次元球面はユークリッド 3D 空間全体に立体投影することができ、これらのトーラスは通常の回転トーラスとして見ることができます。uz 平面と xy 平面を不変として回転する { ξ 10 , η 0 , ξ 20 } で指定される点は、 η 0 で指定されるトーラス上にとどまることがわかります。 [ 7 ]_点の軌跡_は、時間_の関数として_{ ξ10 ⁺ ω 1 t , η 0 , ξ 20 + ω 2 t } と表すことができ、下_の図の_ように、関連_するトーラスに_立体投影する_ことができます。 ^[8]これらの図では、初期点は{0, ⁠π/4⁠ , 0}、つまりクリフォード・トーラス上にあります。図 1 では、2 つの単純な回転軌道が黒で示され、左と右の等傾斜軌道がそれぞれ赤と青で示されています。図 2 では、 ω ₁ = 1およびω ₂ = 5の一般的な回転が示され、図 3 では、 ω ₁ = 5およびω ₂ = 1の一般的な回転が示されています。

以下に、回転する5 セルを4 次元目が圧縮され、色として表示された状態で視覚化します。上記のクリフォード トーラスは、長方形 (ラッピング) の形で描かれています。

• 正投影の5 セルのアニメーション 4D 回転
• XY平面で回転するだけ
• ZW平面で単純に回転する
• XY平面とZW平面で4:3の角速度比で二重回転
• 左等傾斜回転
• 右等傾斜回転

4次元回転はロドリゲスの回転公式とケイリーの公式から導かれる。Aを4×4の歪対称行列とする。歪対称行列Aは次のように一意に分解できる。

${\displaystyle A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}}$

を2つの歪対称行列A ₁とA _{2に変換します。これらは}A ₁ A ₂ = 0、A ₁ ³ = − A ₁、A ₂ ³ = − A ₂という性質を満たします。ここで、∓ θ ₁ iと∓ θ ₂ iはAの固有値です。次に、歪対称行列A ₁とA ₂からロドリゲスの回転公式とケイリーの公式によって4D回転行列を得ることができます。^[9]

Aを4×4の非ゼロ歪対称行列とし、その固有値の集合 は

${\displaystyle \left\{\theta _{1}i,-\theta _{1}i,\theta _{2}i,-\theta _{2}i:{\theta _{1}}^{2}+{\theta _{2}}^{2}>0\right\}.}$

そしてAは次のように分解できる。

${\displaystyle A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}}$

ここで、A ₁とA ₂は、以下の性質を満たす歪対称行列である。

${\displaystyle A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=0,\qquad {A_{1}}^{3}=-A_{1},\quad {\text{and}}\quad {A_{2}}^{3}=-A_{2}.}$

さらに、歪対称行列A ₁とA ₂は次のように一意に得られる。

${\displaystyle A_{1}={\frac {{\theta _{2}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{1}\left({\theta _{2}}^{2}-{\theta _{1}}^{2}\right)}}}$

そして

${\displaystyle A_{2}={\frac {{\theta _{1}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{2}\left({\theta _{1}}^{2}-{\theta _{2}}^{2}\right)}}.}$

それから、

${\displaystyle R=e^{A}=I+\sin \theta _{1}A_{1}+\left(1-\cos \theta _{1}\right){A_{1}}^{2}+\sin \theta _{2}A_{2}+\left(1-\cos \theta _{2}\right){A_{2}}^{2}}$

はE ⁴の回転行列であり、ロドリゲスの回転公式によって生成され、固有値の集合は

${\displaystyle \left\{e^{\theta _{1}i},e^{-\theta _{1}i},e^{\theta _{2}i},e^{-\theta _{2}i}\right\}.}$

また、

${\displaystyle R=(I+A)(I-A)^{-1}=I+{\frac {2\theta _{1}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}A_{1}+{\frac {2{\theta _{1}}^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}{A_{1}}^{2}+{\frac {2\theta _{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}A_{2}+{\frac {2{\theta _{2}}^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}{A_{2}}^{2}}$

はE ⁴の回転行列であり、ケイリーの回転公式によって生成され、 Rの固有値の集合は、

${\displaystyle \left\{{\frac {\left(1+\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1+\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}\right\}.}$

生成回転行列は、 θ ₁とθ _{2 の}値に関して次のように分類できます。

1. θ ₁ = 0かつθ ₂ ≠ 0の場合、またはその逆の場合、式は単純な回転を生成します。
2. θ ₁とθ _{2 が}ゼロ以外でθ ₁ ≠ θ ₂の場合、式は二重回転を生成します。
3. θ ₁とθ _{2 が}ゼロ以外で、θ ₁ = θ ₂の場合、式は等傾斜回転を生成します。

• ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル
• ローレンツ群
• 直交群
• 直交行列
• 回転面
• ポアンカレ群
• 四元数と空間回転

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