2次元での回転と反射

ユークリッド幾何学では、2 次元の回転と反射は、相互に関連する 2 種類のユークリッド平面等長変換です。

平面での回転は、一対の反射を組み合わせることで形成できます。まず、点P を線L ₁の反対側にある像P′に反射します。次に、点P′ を線L ₂の反対側にある像P″に反射します。線L ₁と線L _{2 が}互いに角度θ を形成する場合、点Pと点P″ は、点O ( L ₁とL ₂の交点) の周りに角度2 θ を形成します。つまり、角度∠ POP″ は2 θになります。

同じ点O の周りの 2 つの回転は、点Oの周りの別の回転と同等になります。一方、反射と回転の合成、または回転と反射 (合成は可換ではありません) の合成は、反射と同等になります。

上記の記述は、より数学的に表現することができます。原点 Oの周りの角度θの回転をRot( θ )と表記します。原点を通り、x軸と角度θ をなす直線L の周りの反射をRef( θ )と表記します。これらの回転と反射が平面上のすべての点に作用し、これらの点が位置ベクトルで表されるものとします。回転は行列として表すことができます。 $${\displaystyle \operatorname {Rot} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},}$$

同様に反省のために、 $${\displaystyle \operatorname {Ref} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}}.}$$

座標回転と反射のこれらの定義により、次の 4 つの恒等式が成立します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Rot} (\phi )&=\operatorname {Rot} (\theta +\phi ),\\[4pt]\operatorname {Ref} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Rot} (2\theta -2\phi ),\\[2pt]\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Ref} (\phi +{\tfrac {1}{2}}\theta ),\\[2pt]\operatorname {Ref} (\phi )\,\operatorname {Rot} (\theta )&=\operatorname {Ref} (\phi -{\tfrac {1}{2}}\theta ).\end{aligned}}}$$

これらの方程式は、単純な行列の乗算と三角関数の恒等式、具体的には和と差の恒等式 を適用することで証明できます。

原点を通る直線上のすべての反射と原点の周りの回転の集合は、反射と回転の合成演算とともに、群を形成します。この群は恒等関数Rot(0)を持ちます。すべての回転Rot( φ )には逆関数Rot(− φ )があります。すべての反射Ref( θ )はそれ自身の逆関数です。合成は閉包を持ち、結合的です。これは行列の乗算が結合的であるためです。

Ref( θ )とRot( θ )は両方とも直交行列で表現されていることに注意してください。これらの行列はすべて、絶対値が1 である行列式を持ちます。回転行列の行列式は +1 で、反射行列の行列式は -1 です。

すべての直交2次元行列の集合と行列の乗算は直交群O (2)を形成する。

次の表は回転行列と反射行列の例を示しています。

数学 において、2次元における軸の回転は、 xy-直交座標系からx′y′-直交座標系への写像であり、原点は固定され、x′軸とy′軸はx軸 とy軸を反時計回りに角度 回転させることによって得られる。点Pは、元のシステムに関して座標( x、y )を持ち、新しいシステムに関して座標( x′、y′ )を持つ。 ^[1] 新しい座標系では、点Pは反対方向、つまり時計回りに角度 回転したように見える。2次元を超える次元における軸の回転も同様に定義される。^{[2] [3]軸の回転は}線型写像^{[4] [5]} であり、剛体変換である。${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$

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• アントン、ハワード（1987）、初等線形代数（第5版）、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 0-471-84819-0
• ボーリガード、レイモンド A.; フレイリー、ジョン B. (1973)、『線形代数の入門: 群、環、体へのオプション入門』、ボストン:ホートン ミフリン社、ISBN 0-395-14017-X
• バーデン、リチャード L.; フェアーズ、J. ダグラス (1993)、数値解析(第 5 版)、ボストン: プリンドル、ウェーバー、シュミット、ISBN 0-534-93219-3
• プロッター、マレー H.; モリー、チャールズ B. ジュニア (1970)、大学微積分学と解析幾何学(第 2 版)、読書: Addison-Wesley、LCCN  76087042