球対称群の一覧

有限球面対称群は、 3 次元の点群とも呼ばれます。三角形の基本領域を持つ 5 つの基本対称クラス、すなわち二面体、巡回、四面体、八面体、および二十面体対称性があります。

この記事では、シェーンフライス記法、コクセター記法、^[1]、オービフォールド記法、^[2]、順序によって群を列挙する。ジョン・コンウェイは、 1つまたは2つの大文字と整数の添え字でラベル付けされた群の四元数代数構造に基づくシェーンフライス記法のバリエーションを使用する。群の順序は添え字として定義されるが、プラスまたはマイナスの接頭辞「±」を持つ記号で順序が2倍になる場合は中心反転を意味する。^[3]

ヘルマン・モーガン表記法（国際表記法）も示されている。結晶学グループは合計32あり、元素位数が2、3、4、6のサブセットである。^[4]

退行対称性

反転群には、非対称群 (C ₁ )、反射対称群(C _s )、2 回回転対称群 (C ₂ )、中心点対称群(C _i )の 4 つがあります。

n = 2 以上の無限周期対称性ファミリーが 4 つあります。(対称性がない場合の特別なケースとして、nが 1 になることもあります)

n = 2 以上（特別な場合として nが 1 の場合もある）の無限二面対称性族が 3 つあります。

多面体対称性には、四面体対称性、八面体対称性、二十面体対称性の 3 種類があり、これらの対称性を持つ三角形の面を持つ正多面体にちなんで名付けられています。

すべての離散点対称性は、特定の連続対称性のサブグループです。これらは、直交群O( n ) または特殊直交群SO( n ) の積として分類できます。O(1) は単一の直交反射、二面体対称順序 2、Dih ₁です。SO(1) は単なる恒等関数です。完了するには、半回転 C ₂が必要です。

^ ジョンソン、2015年
^ コンウェイ、ジョン H. (2008)。物事の対称性。マサチューセッツ州ウェルズリー：AKピーターズ。ISBN 978-1-56881-220-5. OCLC 181862605.
^ コンウェイ、ジョン; スミス、デレク A. (2003)。四元数と八元数について: 幾何学、算術、対称性。マサチューセッツ州ネイティック: AK ピーターズ。ISBN 978-1-56881-134-5. OCLC 560284450.
^ サンズ、「結晶学入門」、1993年

ピーター・R・クロムウェル『多面体』（1997年）、付録I
サンズ、ドナルド E. (1993)。「結晶系と幾何学」。結晶学入門。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc.、p. 165。ISBN 0-486-67839-3。
四元数と八元数について、2003年、ジョン・ホートン・コンウェイとデレク・A・スミスISBN 978-1-56881-134-5
物事の対称性2008、ジョン H. コンウェイ、ハイディバーギエル、チャイムグッドマンシュトラウス、ISBN 978-1-56881-220-5
万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
NW ジョンソン：幾何学と変換、（2018）ISBN 978-1-107-10340-5第11章：有限対称群、表11.4 3次元空間における等長写像の有限群