ピングループ

数学 において、ピン群は二次空間に関連付けられたクリフォード代数の特定の部分群である。スピン群が特殊直交群に2対1で写像されるのと同様に、ピン群は直交群に2対1で写像される。

一般に、ピン群から直交群への写像は全射でも普遍被覆空間でもない が、二次形式が確定している場合（かつ次元が2より大きい場合）、全射と普遍被覆空間の両方となる。

カーネルの非自明な要素は次のように表される。${\displaystyle -1,}$これは、原点を通る反射の直交変換と混同してはならない。一般に、${\displaystyle -I.}$

させて${\displaystyle V}$非退化二次形式を持つベクトル空間である${\displaystyle Q}$ピングループ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V,Q)}$はクリフォード代数の部分集合である${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)}$形式の要素から構成される${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k}}$、${\displaystyle v_{i}}$は、${\displaystyle Q(v_{i})=\pm 1}$スピン群${\displaystyle \operatorname {Spin} (V,Q)}$も同様に定義されるが、${\displaystyle k}$偶数に限定される。ピン群の部分群である。^{[ 1 ]}

この記事では、${\displaystyle V}$は常に実ベクトル空間です。${\displaystyle V}$基底ベクトルを持つ${\displaystyle e_{1},...,e_{p+q}}$満足${\displaystyle e_{1}^{2},...,e_{p}^{2}=1}$そして ${\displaystyle e_{p+1}^{2},...,e_{p+q}^{2}=-1,}$ピン群は Pin( p , q ) と表記される。

幾何学的には、ベクトルの場合${\displaystyle v}$と${\displaystyle Q(v)\neq 0}$、${\displaystyle -vwv^{-1}}$ベクトルの反射${\displaystyle w}$に直交する超平面を横切って${\displaystyle v}$より一般的には、要素${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k}}$ピン群はベクトルを変換することによって作用する${\displaystyle w}$に${\displaystyle (-1)^{k}v_{1}v_{2}\cdots v_{k}w(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})^{-1}}$これはk 回の反射の合成です。すべての直交変換は反射の合成として表現できるため (カルタン・ディウドネの定理)、このピン群の表現はピン群から直交群への準同型写像となります。これはしばしばねじれ随伴表現と呼ばれます。ピン群の要素 ±1 は、恒等写像に写像される要素です。${\displaystyle I\in O(p,q)}$、そしてすべての要素${\displaystyle O(p,q)}$ちょうど 2 つの要素に対応します${\displaystyle \operatorname {Pin} (p,q)}$[ ^{2 ]​}

定値形式のピン群は直交群に写像され、各成分は単連結である（次元3以上）。つまり、直交群を二重に覆う。正定値二次形式Qとその負定値−Qのピン群は同型ではないが、直交群は同型である。^{[注1 ]}

標準形式に関して言えば、O( n , 0) = O(0, n ) ですが、Pin( n , 0) と Pin(0, n ) は一般に同型ではありません。クリフォード代数 (ここで) の「+」符号規約を使用すると${\displaystyle v^{2}=Q(v)\in \mathrm {Cl} (V,Q)}$)と書く

${\displaystyle {\mbox{Pin}}_{+}(n):={\mbox{Pin}}(n,0)\qquad {\mbox{Pin}}_{-}(n):={\mbox{Pin}}(0,n)}$

そしてこれらは両方とも O( n ) = O( n , 0) = O(0, n ) にマッピングされます。

対照的に、自然な同型性^{[注2 ]} Spin( n ,0)≅Spin(0, n )があり、これらはどちらも特殊直交群SO( n )の（唯一の）非自明な二重被覆であり、 n≥3の（唯一の）普遍被覆です。

数え方やqとpの値によっては、 p , q ≠ 0の場合、O( p , q )の異なる二重被覆が 32 個も存在する可能性がある。そのうちの 2 つだけが標準ピン群、つまり標準クリフォード代数の構成に含まれる群である。これらはそれぞれ Pin( p , q ) と Pin( q , p )と呼ばれる。これらの拡張のすべてが「スピノラル」であるとは限らない。たとえば、これらの二重被覆の 1 つは自明な拡張であり、位相的には単に O( q , p )の 2 つのコピーである。

不定の場合について指摘しておく価値があるのは、群 (特にここでは恒等関数に接続された成分) Spin( p , q ) は定義上、特殊直交群 SO( p , q )の二重被覆であるが、この二重被覆はコンパクトおよびローレンツの場合 SO( n ) およびq >2 の SO( 1 , q ) でのみ一意である。 pとqの両方が 2 より大きい場合、 SO( p , q ) には 3 つの一意の接続された二重被覆がある (そのうちの 1 つだけがスピン群である)。その普遍被覆はこれらのいずれでもなく、クライン群による特殊直交群の非自明な拡張であり、したがって SO( p , q ) の 4 重被覆である。 pまたはqが 2の場合、SO(2)の無限ホモトピー群によって複雑になる (しかしよく理解されている) 。

Every connectedtopological group has a unique universal cover as a topological space, which has a unique group structure as a central extension by the fundamental group. For a disconnected topological group, there is a unique universal cover of the identity component of the group, and one can take the same cover as topological spaces on the other components (which are principal homogeneous spaces for the identity component) but the group structure on other components is not uniquely determined in general.

The Pin and Spin groups are particular topological groups associated to the orthogonal and special orthogonal groups, coming from Clifford algebras: there are other similar groups, corresponding to other double covers or to other group structures on the other components, but they are not referred to as Pin or Spin groups, nor studied much.

In 2001, Andrzej Trautman^{[note 3]} found the set of all 32 inequivalent double covers of O(p) x O(q), the maximal compact subgroup of O(p, q) and an explicit construction of 8 double covers of the same group O(p, q).

The two pin groups correspond to the two central extensions

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{\pm }(V)\to \mathrm {O} (V)\to 1.}$

The group structure on Spin(V) (the connected component of determinant 1) is already determined; the group structure on the other component is determined up to the center, and thus has a ±1 ambiguity.

The two extensions are distinguished by whether the preimage of a reflection squares to ±1 ∈ Ker (Spin(V) → SO(V)), and the two pin groups are named accordingly. Explicitly, a reflection has order 2 in O(V), r² = 1, so the square of the preimage of a reflection (which has determinant one) must be in the kernel of Spin_±(V) → SO(V), so $\displaystyle {\tilde {r}}^{2}=\pm 1}$, and either choice determines a pin group (since all reflections are conjugate by an element of SO(V), which is connected, all reflections must square to the same value).

Concretely, in Pin₊, $\displaystyle {\tilde {r}}}$ has order 2, and the preimage of a subgroup {1, r} is C₂ × C₂: if one repeats the same reflection twice, one gets the identity.

In Pin₋, $\displaystyle {\tilde {r}}}$位数は 4 であり、部分群 {1, r }の逆像はC ₄です。同じ反射を 2 回繰り返すと、「 2π だけの回転」が得られます。Spin( V ) → SO( V )の非自明な要素は、「 2π だけの回転」と解釈できます (どの軸でも同じ要素が得られます)。

実際の（複雑なものではなく）コンパクトなピン群の場合、中心は次元に依存します${\displaystyle n}$関連ベクトル空間の、4を法とする。${\displaystyle n=2k}$が偶数であれば、クリフォード代数は中心単純であり、したがってどちらの中心も${\displaystyle \mathrm {ピン} }$グループには${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$。 いつ${\displaystyle n=4k+1}$、中心${\displaystyle \mathrm {ピン} _{+}(4k+1)}$は${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$、そして中心は${\displaystyle \mathrm {ピン} _{-}(4k+1)}$は${\displaystyle \mathrm {C} _{4}}$。 いつ${\displaystyle n=4k+3}$、中心${\displaystyle \mathrm {ピン} _{+}(4k+3)}$は${\displaystyle \mathrm {C} _{4}}$、そして中心は${\displaystyle \mathrm {ピン} _{-}(4k+3)}$は${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$。

不定の場合${\displaystyle \mathrm {ピン} (p,q)}$どこ${\displaystyle n=p+q}$同じ状況だが、代わりに決定するのは${\displaystyle (pq)\operatorname {mod} 8}$偶数次元の場合も前述と同じである。${\displaystyle (pq)\operatorname {mod} 2=0}$代数は中心単純であり、したがってピン群の中心は${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$。 いつ${\displaystyle pq\operatorname {mod} 8=4k+1}$中心は${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$。 いつ${\displaystyle pq\operatorname {mod} 8=4k+3}$中心は${\displaystyle \mathrm {C} _{4}}$反対の署名の場合は、 pとqを入れ替えて上記を繰り返すだけです。奇数次元の場合、一方の署名が中心を持つ場合${\displaystyle \mathrm {C} _{4}}$もう一つの署名は中央にあります${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$そしてその逆もまた然り。

直交群の中心は常に位数2であるため、中心は常に位数4であるように思われるかもしれないが、直交群の中心に写像されるピン群の要素は、符号を除いてすべての要素と可換であればよい。これは、ピン群が直交群の射影表現として機能するためである。つまり、直交群の中心の逆像は、ピン群のすべての要素と可換または反可換であればよい。

この名称は（Atiyah、Bott & Shapiro 1964、3ページ、17行目）で紹介され、そこで彼らは「このジョークはJP. Serreによるものです」と述べています。これはSpinからの逆成語で、「PinはO( n )に対する関係であり、SpinはSO( n )に対する関係である」ため、「Spin」から「S」を削除すると「Pin」になります。