2次元の点群

幾何学において、2次元点群またはロゼット群は、平面上で少なくとも1つの点を固定した幾何学的対称性（等長変換）の群である。このような群はすべて、O(2) 自体を含む直交群O(2) のサブグループである。その要素は回転と反射であり、回転のみを含むこのような群はすべて、SO(2) 自体を含む特殊直交群 SO(2) のサブグループである。その群は、R/Z および最初のユニタリ群U(1) と同型であり、円群としても知られている。

2 次元点群は、軸座標での反射が追加された軸3 次元点群の基礎として重要です。また、ヒトデやクラゲなどの生物の対称性や、花などの生物の部分においても重要です。

離散的な 2 次元点群には 2 つのファミリがあり、それらはグループ内の回転のグループの順序である パラメーターnで指定されます。

Intl は、結晶学でよく使用されるヘルマン・モーガン表記法または国際表記法を指します。無限極限では、これらのグループは 1 次元直線群になります。

グループが2次元格子またはグリッドの対称性である場合、結晶学的制限定理により、両方のファミリーに対してnの値は1、2、3、4、6に制限されます。したがって、2次元結晶学的点群は10個あります。

• C ₁、C ₂、C ₃、C ₄、C ₆、
• D ₁、D ₂、D ₃、D ₄、D ₆

グループは次のように構成されます。

• C _{n 。 C n}とも呼ばれる要素によって生成され、角度 2π/ nによる回転に対応します。その要素は E (恒等元)、 C _n、 C _n ²、...、 C _n ^{n −1}であり、回転角度 0、2π/ n、4π/ n、...、2( n − 1)π/ nに対応します。
• D _n。元 C _{nと反射 σ によって生成されます。その元は、グループ C n}の元に、元 σ、C _n σ、C _n ² σ、...、C _n ^{n −1 σ が追加されます。これらの追加された元は、方向角 0、π/} n、2π/ n、...、( n − 1)π/ nを持つ線の反射に対応します。したがって、D _{n は}、 C _nとグループ (E,σ)の半直積です。

これらの群はすべて、抽象群 Z _{2を共有する C 2}と D ₁を除いて、異なる抽象群を持ちます。巡回群はすべて可換または可換ですが、二面体群のうち、 D ₁ ~ Z ₂と D ₂ ~ Z ₂ ×Z ₂の 2 つだけが可換です。実際、 D _{3 は}最小の非可換群です。

nが偶数の場合、ヘルマン・モーガン記号n m は、以下で説明するように、完全な記号n mmの略語です。HM記号のn はn倍の回転を表し、m は反射面または鏡面を表します。

これらのグループは、2次元直交行列を使用して簡単に構築できます。

連続巡回群SO(2)またはC∞_とその部分群には回転行列の要素がある。

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

ここでSO(2)は任意のθを持ちます。驚くことではありませんが、SO(2)とその部分群はすべてアーベル群であり、回転角の加算は可換です。

離散巡回群C _{n の}場合、元C _n ^k = R(2π k / n )

連続二面体群 O(2) または D _∞とその反射を伴う部分群には、回転行列だけでなく反射行列も含まれる要素があります。

${\displaystyle S(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

ここでO(2)は任意のθを持ちます。しかし、O(2)の反射を持つアーベル部分群はD ₁とD ₂だけです。

離散二面体群D _{n の}場合、元C _n ^k σ = S(2π k / n )

極座標を使用すると、これらのグループと1 次元対称グループとの関係が明らかになります。

SO(2)のサブグループの種類:

• 有限巡回部分群C _n ( n ≥ 1); すべてのnに対して、抽象群型 Z _{nの等長群が 1 つ存在する。}
• 有限生成群、それぞれは無理数の回転を伴うC _nとm の独立した回転によって生成される形式 Z ^m Z _nの 1 つに同型であり、 m、n ≥ 1 である。各ペア ( m、n )に対して、抽象群と同じ無数個の等長変換群が存在する。ペア (1、 1) に対して、群は巡回的である。${\displaystyle \oplus}$
• その他の可算部分群。例えば、整数nに対して、 nの負の整数乗に等しい回転数のすべての回転によって生成される群
• SO(2)自体を含む無数の部分群

SO(2) のあらゆる部分群には、抽象群として相互に同型な O(2) の部分群の対応する無数クラスが存在する。つまり、あるクラスの各部分群は、最初に述べた部分群と原点を通る直線上の単一の反射によって生成される。これらは、抽象群タイプ Dih _nの有限群D _n ( n ≥ 1) を含む (一般化された)二面体群である。n = 1の場合、一般的な表記は抽象群タイプ Z _2のC _sである。

O(2)の位相的部分群としては有限等長群とSO(2)とO(2)のみが閉じている。

これらの群は、回転のみで構成されるか、反射を含むかによって、2つの異なる族に分類されます。巡回群C _n（抽象群タイプ Z _n）は、360°/ nによる回転とすべての整数倍で構成されます。たとえば、4本脚のスツールには、0°、90°、180°、270°による回転で構成される対称群C _{4があります。}正方形の対称群は、回転と同じ数の反射を含む二面体群D _n （抽象群タイプ Dih _n ）の族に属します。円の無限回転対称性は反射対称性も意味しますが、形式的には、円群S ₁は、 Dih(S ₁ ) が明示的に反射を含むため、Dih(S 1 ) とは異なります。

無限群は連続している必要はありません。たとえば、360°/ √2回転のすべての整数倍の群がありますが、これには 180° 回転は含まれません。用途によっては、横方向の任意の細かいレベルまで同次性は、その方向の完全な同次性と同等であると見なされる場合があり、その場合はこれらの対称群は無視できます。

C _nと D _n ( n = 1、2、3、4、6)は、並進対称性と組み合わせることができ、場合によっては複数の方法で組み合わせることができます。したがって、これらの 10 個のグループから 17 個の壁紙グループが生成されます。

2次元対称群は等長群に対応するが、 O(2)とSO(2)による対称性はベクトル場に適用可能な一般化された対称性概念でのみ区別できる。

また、用途によっては、横方向の任意の細かい詳細までの同次性は、その方向の完全な同次性と同等であると見なされる場合があります。これにより、分類が大幅に簡素化されます。つまり、O(2) の閉じた位相的部分群、つまり有限部分群と O(2) (円対称性)、およびベクトル場 SO(2) に限定することができます。

これらの群は、円で囲んだ場合、 1 次元対称群にも対応します。

E (2) はO (2) と変換群Tの半直積である。言い換えれば、O (2) はE (2)のTによる商群と同型なE (2 )の部分群である。

O (2) E (2) / T${\displaystyle \cong}$

「自然な」全射 群準同型写像 p  : E (2) → E (2) / Tがあり、これはE (2)の各要素g をg が属するTの剰余類に写す。つまり、p ( g ) = gTであり、これはE (2) から E (2) / TまたはO (2) への標準射影と呼ばれることもある。その核はTである。

E (2)のすべての部分群について、pによるその像を考えることができます。これは、部分群の要素が属する剰余類からなる点群、言い換えれば、等長変換の並進部分を無視することによって得られる点群です。E (2)のすべての離散部分群について、結晶学的制限定理により、この点群は、n = 1、2、3、4、または 6 に対してC _nまたは型D _{n の}いずれかになります。

C _nとD _n ( n = 1、2、3、4、6)は、並進対称性と組み合わせることができ、複数の方法で組み合わせる場合もあります。したがって、これらの 10 のグループから 17 の壁紙グループが生成され、n = 1 と 2 の 4 つのグループからは 7 つのフリーズグループも生成されます。

壁紙グループp1、p2、p3、p4、p6のそれぞれについて、すべての等長投影グループのpの下の画像（つまり、 E（2）/TまたはO （2）への「投影」 ）はすべて、対応するC _nに等しくなります。また、2つのフリーズグループはC ₁とC ₂に対応します。

p6m の等長投影グループはそれぞれ、タイプD ₆の点群の 1つにマッピングされます。他の 11 の壁紙グループについては、各等長投影グループはタイプD ₁、D ₂、D ₃、またはD _{4の点群の 1 つにマッピングされます。また、 5 つのフリーズ グループは}D ₁とD ₂に対応します。

与えられた六角形平行移動格子には、2 つの異なるグループD _{3があり、それぞれ P31m と p3m1 を生み出します。タイプ}D ₁、D ₂、およびD ₄のそれぞれについて、3、4、および 2 の壁紙グループの区別は、グループ内の各反射に関連付けられた平行移動ベクトルによって決まります。等長変換は平行移動成分に関係なく同じコセット内にあるため、同じミラーによる反射とすべり反射は同じコセット内にあります。したがって、例えばタイプ p4m と p4g の等長変換グループは、両方ともタイプD ₄の点群にマッピングされます。

与えられた等長変換群について、群の元による群内の並進の共役は、並進変換群（格子）を生成します。これは、等長変換群の部分群であり、開始時の並進と、等長変換群に関連付けられた点群のみに依存します。これは、すべり反射による並進の共役が、対応する反射によるものと同じであるためです。つまり、並進ベクトルが反射されます。

等長変換群にn倍回転が含まれる場合、格子はn が偶数の場合はn倍対称性を持ち、 nが奇数の場合は2 n倍対称性を持ちます。 平行移動を含む離散等長変換群の場合にこれを最小長さの平行移動に適用すると、2 つの隣接方向の平行移動のベクトル差を考慮すると、n ≤ 6 となり、nが奇数の場合は2 n ≤ 6 となり、したがってn = 1、2、3、4、または 6 となります (結晶学的制限定理)。

• 点群
• 3次元の点群
• 4次元の点群
• 1次元対称群

• [1] ランス・ドレーガー著『幾何学的変換と壁紙群：幾何学的パターンの対称性（等長離散群）』
• [2] 点群と結晶系、Yi-Shu Wei著、4-5ページ
• 幾何学センター: 2.1 直交座標系における対称性の公式 (2 次元)