ホモトピー的接続

代数的位相幾何学において 、ホモトピー的連結性は、位相空間をその穴の次元に基づいて記述する特性である。一般に、ホモトピー的連結性が低いということは、空間に少なくとも 1 つの低次元の穴があることを示す。n連結性の概念は、パス連結性と単純連結性の概念を一般化したものである。

ホモトピー接続の同等の定義は、空間のホモトピー群に基づいています。空間の最初のn 個のホモトピー群が自明である場合、その空間はn連結 (またはn単純連結)です。

ホモトピー接続はマップにも定義されます。マップが「ホモトピーにおいて次元nまで」同型である場合、そのマップはn接続です。

以下のすべての定義では位相空間Xを考慮します。

Xの穴とは、非公式には、適切に配置された球が連続的に点に縮小するのを妨げるものである。^{[1] : 78}同様に、それは球に連続的に拡張できない球である。正式には、

• X の d 次元球面は連続関数 です。${\displaystyle f_{d}:S^{d}\to X}$
• X の d 次元球は連続関数です。${\displaystyle g_{d}:B^{d}\to X}$
• Xのd次元境界穴は、ヌルホモトピックではない(つまり、連続的に点まで縮小できない) d次元球です。同様に、これは ( d +1) 次元球に連続的に拡張できないd次元球です。これは( d +1) 次元穴と呼ばれることもあります( d +1 は「欠けている球」の次元です)。
• Xは境界次元d ≤ nの穴を含まない場合、 n連結であると呼ばれる。^{[1] ：78、Sec.4.3}
• Xのホモトピー接続性は、と表され、 X がn接続となる最大の整数nです。${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)}$
• 計算を簡単にする、接続性の少し異なる定義は、Xがd次元の穴を含む最小の整数dです。この接続性パラメータは で表され、前のパラメータとは2だけ異なります。つまり、 です。^[2]${\displaystyle \eta _{\pi }(X)}$${\displaystyle \eta_{\pi}(X):={\text{conn}}_{\pi}(X)+2}$

• 2 次元の穴（1 次元の境界を持つ穴）は、 X内の円（S ¹）で、 X内の点まで連続的に縮小することはできません。右の図に例を示します。黄色の領域は位相空間Xで、三角形が削除された五角形です。青い円はX内の 1 次元の球です。これは X 内の点まで連続的に縮小できないため、 X には 2 次元の穴があります。もう 1 つの例は、穴が開いた平面、つまり 1 つの点が削除されたユークリッド平面です。3 次元の球に 2 次元の穴を作るには、その球を貫通するトンネルを作ります。^{[1]一般に、空間に 1 次元境界の穴が含まれるのは、その空間が}単連結でない場合のみです。したがって、単連結は 1 連結と同等です。Xは 0 連結ですが 1 連結ではないため です 。穴の最低次元は 2 なので です 。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=2}$

  

• 3次元の穴（2次元の境界を持つ穴）は右の図に示されています。ここで、Xは球（白）を取り除いた立方体（黄色）です。2次元の球（青）は、1つの点に連続的に縮小することはできません。Xは単連結ですが2連結ではないため、です。穴の最小次元は3なので、です。${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=1}$${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=3}$

• 1 次元の穴 (境界が 0 次元の穴) については、0 次元の球を考慮する必要があります。0 次元の球とは何でしょうか。- すべての整数dに対して、球は( d +1) 次元の球の境界です。の境界も同様で、線分 [0,1] です。したがって、は 2 つの互いに交わらない点の集合 {0, 1} です。 Xの 0 次元の球は、Xの 2 つの点の集合にすぎません。 Xの 1 つの点に連続的に縮小できない(またはXの線分に連続的に拡張できない) 集合がある場合、これは 2 つの点の間にパスが存在しないことを意味します。つまり、 X はパス接続されていません。右の図を参照してください。したがって、パス接続は 0 接続と同等です。Xは 0 接続されていないため です 。穴の最低次元は 1 であるため です 。${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle B^{d+1}}$${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle B^{1}}$${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=-1}$${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=1}$
• 0 次元の穴は、0 次元の球が欠けている状態です。0 次元の球は単一の点であり、その境界は空集合です。したがって、0 次元の穴が存在するということは、空間が空であるということと同じです。したがって、空でないということは (-1) 連結であるということと同じです。空の空間Xの場合、となり、これはその最小値です。${\displaystyle S^{-1}}$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=-2}$${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=0}$
• ボールにはどの次元の穴もありません。したがって、ボールの連結性は無限です。${\displaystyle \eta _{\pi }(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)=\infty }$

一般に、任意の整数d、（および）^{[1] ：79、Thm.4.3.2の}証明には2つの方向が必要です。 ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})=d-1}$${\displaystyle \eta _{\pi }(S^{d})=d+1}$

• つまり、 が連続的に 1 点に縮小できないことを証明します。 これは、 Borsuk-Ulam 定理 を使用して証明できます。${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})<d}$${\displaystyle S^{d}}$
• 、つまり、つまり、のすべての連続写像は、連続的に 1 つの点に縮小できることを証明します。${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})\geq d-1}$${\displaystyle S^{k}\to S^{d}}$${\displaystyle k<d}$

空間Xは、 n ≥ 0に対して、空でなく、位数d ≤ nのすべてのホモトピー群が自明群であるとき、 n連結であると呼ばれる。ここで、 はi番目のホモトピー群を表し、 0 は自明群を表す。^{[3] 2 つの定義は同等である。} n連結空間の要件は、すべてのd ≤ nに対する要件から構成される。 $${\displaystyle \pi _{d}(X)\cong 0,\quad -1\leq d\leq n,}$$${\displaystyle \pi _{i}(X)}$

• d =-1の要件は、 Xが空でないことを意味します。
• d =0という要件は、X がパス接続されている必要があることを意味します。
• 任意のd ≥ 1という要件は、 Xに境界次元dの穴が含まれないことを意味します。つまり、Xのすべてのd次元球は定数マップにホモトピックです。したがって、Xのd番目のホモトピー群は自明です。逆もまた真です。Xにd次元境界の穴がある場合、定数マップにホモトピックでないd次元球が存在するため、 Xのd番目のホモトピー群は自明ではありません。つまり、の場合のみ、 X にd次元境界の穴があります。Xのホモトピック接続性は、 X がn接続される最大の整数nです。^[4]${\displaystyle \pi _{d}(X)\not \cong 0}$

空でない、パス連結であるという要件は、それぞれ(-1) 連結、0 連結として解釈することができ、以下のように 0 連結、1 連結のマップを定義するのに役立ちます。0番目のホモトピー集合は次のように定義できます。

${\displaystyle \pi _{0}(X,*):=\left[\left(S^{0},*\right),\left(X,*\right)\right].}$

これは、X自体が位相群でない限り、群ではなく、尖った集合にすぎません。区別される点は、 S ^{0 を}Xの基点に送る自明な写像の類です。この集合を使用すると、0 番目のホモトピー集合が 1 点集合である場合に限り、空間は 0 連結になります。ホモトピー群の定義とこのホモトピー集合では、Xが尖っている (選択された基点を持つ) 必要がありますが、これはXが空の場合は実行できません。

位相空間Xがパス連結であるためには、その 0 次ホモトピー群が恒等的に消滅する必要がある。パス連結とは、X内の任意の 2 点x ₁とx _{2 が、} x ₁で始まりx ₂で終わる連続パスで接続できることを意味し、これはS ⁰ ( 2 点の離散集合) からXへのすべての写像が定数写像に連続的に変形できるという主張と同等である。この定義により、次の場合のみ、 X がn連結であると定義できる。

${\displaystyle \pi _{i}(X)\simeq 0,\quad 0\leq i\leq n.}$

• 空間Xが(−1)連結であるためには、空間Xが空でなければならない。
• 空間Xが 0 連結であるためには、それが空でなく、パス連結である必要があります。
• 空間が 1 連結である場合、かつその場合のみ、空間は単連結です。
• n球面は ( n −  1) 連結である。

n連結空間の絶対概念に対応する相対概念はn連結写像であり、これはホモトピーファイバーFfが ( n − 1) 連結空間である写像として定義される 。ホモトピー群の観点では、写像がn連結であるための必要条件は次の通りである。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• ${\displaystyle \pi _{i}(f)\colon \pi _{i}(X)\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \pi _{i}(Y)}$は の同型であり、${\displaystyle i<n}$
• ${\displaystyle \pi _{n}(f)\colon \pi _{n}(X)\twoheadrightarrow \pi _{n}(Y)}$は射影です。

最後の条件はしばしば混乱を招く。それは、ホモトピーファイバーFfの( n  −1)番目のホモトピー群の消滅が、正確なシーケンス内の n^番目のホモトピー群上の全射に対応するためである。

${\displaystyle \pi _{n}(X)\mathrel {\overset {\pi _{n}(f)}{\to }} \pi _{n}(Y)\to \pi _{n- 1}(フ)。}$

右側のグループが消える場合、左側のマップは全射になります。 ${\displaystyle \pi_{n-1}(Ff)}$

低次元の例:

• 連結写像（0 連結写像）は、パス成分（0 番目のホモトピー群）上にある写像です。これは、ホモトピー ファイバーが空でないことに相当します。
• 単連結写像（1連結写像）は、パス成分（0次ホモトピー群）上および基本群（1次ホモトピー群）上の同型である写像です。

空間のn連結性は、写像のn連結性によって定義できます。つまり、基点x ₀を持つ空間X は、基点の包含がn連結写像である場合に限り、n連結空間となります。単一点集合は収縮可能であるため、そのホモトピー群はすべて消滅し、したがって「nより下およびnでの同型」は、 Xの最初のnホモトピー群が消滅することに対応します。 ${\displaystyle x_{0}\hookrightarrow X}$

これは部分集合について有益です。n連結な包含とは、 n −1次元まで 、より大きな空間Xのホモトピーが部分集合Aのホモトピーにホモトピー化できるような包含です。 ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

たとえば、包含マップが1 連結であるためには、次の条件を満たす必要があります。 ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

• 上に${\displaystyle \pi _{0}(X),}$
• 1対1で${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X),}$
• 上に${\displaystyle \pi_{1}(X).}$

1対1の「上」とは、X を通過して2 つの点を結ぶパスがある場合、それらを結ぶ A のパスが存在することを意味します。一方、「上」とは、実際にXのパスがAのパスに同型であることを意味します。${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X)}$${\displaystyle a,b\in A}$${\displaystyle \pi_{1}(X)}$

言い換えると、 上の同型である関数は、Xでホモトピーである の任意の元がAでも抽象的にホモトピーであるということのみを意味します。つまり、 AのホモトピーはXのホモトピーとは無関係である可能性があります。一方、 がn連結である（したがって にも）ということは、（ n  − 1次元まで） XのホモトピーをAのホモトピーに押し込むことができることを意味します。 ${\displaystyle \pi _{n-1}(A)\to \pi _{n-1}(X)}$${\displaystyle \pi_{n-1}(A)}$${\displaystyle \pi_{n}(X)}$

これにより、 n連結性の定義の有用性がより具体的に説明されます。たとえば、kスケルトンの包含がn連結である ( n  >  kの場合) 空間 ( n球面への点の包含など) には、 kとnの間の次元のセルが低次元のホモトピー型に影響を与えないという特性があります。

多くの位相的証明では、ホモトピー的接続性の下限が必要です。このような下限を証明するための「レシピ」はいくつかあります。

Hurewiczの定理は、ホモトピー接続性とホモロジー接続性を関連付け、と表記します。ホモトピー接続性を計算すると、ホモロジー群の計算が容易になるため、この定理はホモトピー接続性を計算するのに役立ちます。 ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)}$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)}$

まず、Xが単連結、つまり であると仮定します。とします。すべての、およびに対して が成り立ちます。Hurewicz の定理^{[5] : 366, Thm.4.32} によれば、この場合、 すべての、および に対して が と同型であれば、も成り立ちます。したがって、Xが単連結 ( ) でない場合、 が依然として成立します。 のとき、これは自明です。 のとき(したがって、Xはパス連結ですが単連結ではありません)、 であることを証明する必要があります。^{[説明が必要]}${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1}$${\displaystyle n:={\text{conn}}_{\pi }(X)+1\geq 2}$${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$${\displaystyle i<n}$${\displaystyle \pi _{n}(X)\neq 0}$${\displaystyle {\tilde {H_{i}}}(X)=0}$${\displaystyle i<n}$${\displaystyle {\tilde {H_{n}}}(X)}$${\displaystyle \pi_{n}(X)}$${\displaystyle {\tilde {H_{n}}}(X)\neq 0}$$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X).}$$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0}$$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)}$$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq -1}$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$${\displaystyle {\tilde {H_{0}}}(X)=0}$

不等式は厳密な場合もある。つまり、 となる空間が存在するが、 となる。^[6]${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)=\infty }$

定義により、単体複体のk番目のホモロジー群は、最大でk +1次元の単体のみに依存します(単体ホモロジーを参照)。したがって、上記の定理は、単体複体Kがk連結であるためには、その ( k +1) 次元のスケルトン(最大でk +1次元の単体のみを含むKの部分集合) がk連結である必要があることを意味しています。^{[1] : 80, Prop.4.4.2}

KとLを空でないセルの複合体とする。それらの結合は一般に で表される。すると、次のようになる。^{[1] : 81, Prop.4.4.3}${\displaystyle K*L}$ $${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(K*L)\geq {\text{conn}}_{\pi }(K)+{\text{conn}}_{\pi }(L)+2.}$$

イータ表記法では、この恒等式はより簡単になります。 たとえば、2 つの分離した点の集合を考えます。点の間には 1 次元の穴があるので、イータは1です。結合部は正方形で、円に同相なので、そのイータは2です。この正方形とKの 3 番目のコピーの結合部は八面体で、に同相で、そのイータは 3 です。一般に、 のn個のコピーの結合部は に同相で、そのイータはnです。 $${\displaystyle \eta _{\pi }(K*L)\geq \eta _{\pi }(K)+\eta _{\pi }(L).}$$${\displaystyle K=L=S^{0}=}$${\displaystyle K*L}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle S^{n-1}}$

一般的な証明は、ホモロジー接続性に対する同様の式に基づいています。

K ₁ ,..., K _{n を}抽象単体複体とし、それらの和集合をKで表す。

{ K ₁ , ... , K _n }の神経複合体（ K _iの交差パターンを記録した抽象複合体）をNで表します。

空でない各に対して、交差が空であるか ( k −| J |+1)-連結である場合、すべてのj ≤ kに対して、Nのj番目のホモトピー群はKのj番目のホモトピー群と同型です。 ${\displaystyle J\subset I}$${\textstyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

特に、Nがk連結であるためにはKがk連結でなければならない。^{[7] : Thm.6}

幾何学的位相幾何学では、はめ込み空間などの幾何学的に定義された空間をより一般的な位相空間（関連する 2 つの空間間のすべての連続写像の空間がn連結であるなど）に含める場合、ホモトピー原理または「h 原理」を満たすと言われます。h 原理を証明するための強力で一般的な手法は多数あります。 ${\displaystyle M\to N,}$${\displaystyle X(M)\to X(N),}$

• つながる空間
• 連結スペクトル
• パス接続
• シンプルに接続