射影直交群

PO の構造は奇数次元と偶数次元で大きく異なり、根本的には偶数次元では原点を通る反射が方向を保存するのに対し、奇数次元では方向を反転させるためである (${\displaystyle -I\in \operatorname {SO} (2k)}$しかし${\displaystyle -I\not \in \operatorname {SO} (2k+1)}$これは、奇数次元の実射影空間は向き付け可能であるのに対し、正の次元の偶数次元の実射影空間は向き付け不可能であるという事実からも明らかです。より抽象的なレベルでは、奇数次元および偶数次元の射影直交群のリー代数は、 2つの異なる族を形成します。${\displaystyle B_{k}={\mathfrak {so}}_{2k+1},D_{k}={\mathfrak {so}}_{2k}.}$

したがって、O(2 k +1) = SO(2 k +1) × {± I }、^{[注2 ]} 一方$\displaystyle \operatorname {O} (2k)\neq \operatorname {SO} (2k)\times \{\pm I\}}$そして、それはPO(2 k )の非自明な中心拡張である。

PO(2 k +1) はR P ^{2 k} = P( R ^{2 k +1} ) の等長変換であるのに対し、PO(2 k ) はR P ^{2 k −1} = P( R ^{2 k} ) の等長変換であることに注意してください。奇数次元 (ベクトル) 群は偶数次元射影空間の等長変換であり、偶数次元 (ベクトル) 群は奇数次元射影空間の等長変換です。

奇数次元では、${\displaystyle \operatorname {SO} (2k+1)\cong \operatorname {PSO} (2k+1)=\operatorname {PO} (2k+1),}$^{[注3 ]}射影等長変換の群は回転等長変換の群と同一視できる。

偶数次元では、SO(2 k )  →  PSO(2 k ) と O(2 k )  →  PO(2 k ) はどちらも 2 対 1 の被覆であり、PSO(2 k ) < PO(2 k ) は指数2 の部分群である。

PSOとPOは、PSLとPGLと同様に中心を持たない群です。これは、スカラー行列がSOとOの中心であるだけでなく、超中心でもあるためです（中心による商は必ずしも中心を持たない群になるとは限りません）。

PSOは射影特殊線形群PSLにおける最大コンパクト部分群であり、POは射影一般線形群PGLにおける最大コンパクト部分群である。これは、SOがSLにおける最大コンパクト部分群であり、OがGLにおける最大コンパクト部分群であることと類似している。

上記のホモトピー群$\displaystyle \pi _{1}}$内部構造は変化しないため、直交群のものと一致する。下位ホモトピー群は以下のとおりである。

${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {PSO} )\cong 1}$

${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {PO} (2k))\cong \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,\pi _{0}(\operatorname {PO} (2k+1))\cong 1.}$

（中心を持たない）PSO( n )の基本群は、 （単連結な）Spin( n )の中心に等しく、これは被覆群については常に成り立つ。

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (n))=\pi _{1}(\operatorname {PO} (n))=\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n))。}$

スピン群の中心の表を使用すると、（${\displaystyle k\geq 1}$):

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (4k))=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (4k+2))=\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (2k+1))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (2k+1))=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,}$

低次元では：

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (1))=1,}$グループは些細なものなので。

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (2))=\mathbf {Z} ,}$位相的には円であるが、Spin(2) の恒等式の逆像は${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,}$その他については${\displaystyle 4k+2.}$

直交群がベクトル束の構造群であるのと同様に、射影直交群は射影束の構造群であり、対応する分類空間はBPOと表記される。

有限体上の射影直交群は、リー型の有限単純群の族、すなわちD _n型のChevalley 群の構成に使用されます。有限体上の直交群 O( n , q ) は、部分群として SO を持ち、非自明な中心 ({± I }) (したがって商として PO) を持つため、単純ではありません。これらは両方とも PSO に移行することで固定されますが、PSO 自体は一般に単純ではなく、代わりに、スピノル ノルム(奇数標数の場合) または準行列式 (偶数標数の場合) によって定義される部分群 (指数 1 または 2 の場合) を使用する必要があります。^{[ 1 ]}準行列式は、DがDickson 不変量(Dickson 不変量によって定義される行列式) である(−1) ^Dとして定義することも、固定空間の次元で定義することもできます。