完璧なフィールド

代数学において、体 k が完全であるとは、次の同値な条件のいずれかが満たされる場合です 。

• k上のすべての既約多項式は、任意の体拡大F/kにおいて多重根を持ちません。
• k上のすべての既約多項式には、非ゼロの形式導関数があります。
• k上のすべての既約多項式は分離可能です。
• kのすべての有限拡張は分離可能である。
• kのすべての代数的拡大は分離可能である。
• k が特性0 を持つか、またはk が特性p > 0 を持つ場合、kのすべての要素はp乗です。
• k が特性0を持つか、k が特性p > 0 を持つ場合、フロベニウス自己準同型 x ↦ x ^pはkの自己同型です。
• kの可分閉包は代数的に閉じている。
• あらゆる簡約可換k代数 Aは可分代数である。つまり、あらゆる体拡大F / kに対して簡約される。(下記参照)${\displaystyle A\otimes _{k}F}$

それ以外の場合、k は不完全と呼ばれます。

特に、特性が 0 であるすべての体とすべての有限体は完全です。

完全体は、体の拡大が可分であるという一般的なガロア仮定がこれらの体上で自動的に満たされるため、これらの体上のガロア理論が単純になるため重要です (上記の 3 番目の条件を参照)。

完全体のもう一つの重要な性質は、ウィットベクトルを許容することです。

より一般的には、特性p ( p は素数)の環は、フロベニウス自己準同型が自己同型である場合に完全と呼ばれます。^{[1] (}整域に制限すると、これは上記の条件「 kのすべての要素はp乗である」と同等です。)

完全体の例は次のとおりです。

• 任意の特性ゼロの体、したがって任意の有限拡大、および; ^[2]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• あらゆる有限体 ; ^[3]${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$
• あらゆる代数的に閉じた体;
• 拡大によって完全に順序付けられた完全体の集合の和集合。
• 完全体上の代数体。

実際に遭遇するほとんどの体は完全体である。不完全なケースは、主に代数幾何学において、特性p > 0で生じる。すべての不完全体は、その主部分体（極小部分体）が完全体であるため、必然的に超越的である。不完全体の例としては、体 が挙げられる。これは、フロベニウス自己準同型により が送られるため、射影的ではないからである。この体は、完全体に埋め込まれる。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}(x)}$${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{q}(x,x^{1/p},x^{1/p^{2}},\ldots )}$

はその完全性と呼ばれる。不完全体は、既約多項式が基底体の代数閉包で既約になる可能性があるため、技術的な困難を引き起こす。例えば、^[4]では、特性 の不完全体とkのp乗ではないを考える。すると、その代数閉包では、次の等式が成り立つ。 ${\displaystyle f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k^{\operatorname {alg} }[x,y]}$

${\displaystyle f(x,y)=(x+by)^{p},}$

ここでb ^p = aであり、この代数閉包にはそのようなb が存在します。幾何学的には、これは がにおけるアフィン平面曲線を定義しないことを意味します。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k[x,y]}$

完全体k上の任意の有限生成体拡大 Kは分離生成である、すなわち分離超越基底、すなわちKがk (Γ)上分離代数的となるような超越基底Γを許容する。^[5]

同値な条件の 1 つは、特性pにおいて、すべてのp ^r乗根 ( r ≥ 1 )が付属する体は完全であるということです。これはkの完全閉包と呼ばれ、通常は と表記されます。 ${\displaystyle k^{p^{-\infty }}}$

完全閉包は分離可能性のテストに使用できます。より正確には、可換k代数Aが分離可能であるのは、が縮約される場合のみです。^[6]${\displaystyle A\otimes _{k}k^{p^{-\infty }}}$

普遍的性質の観点から、特性pの環Aの完全閉包とは、特性pの完全環A _pと環準同型u  : A → A _pの組み合わせであり、準同型v  : A → Bを持つ特性pの任意の他の完全環Bに対して、 vがu を介して因数分解できる(つまりv = fu ) 唯一の準同型f  : A _p → Bが存在するようなものである。完全閉包は常に存在し、その証明には体の場合と同様に「 Aの元のp乗根を隣接させる」ことが含まれる。^[7]

特性pの環Aの完全性は双対概念である（この用語は完全閉包に対して使用されることもある）。言い換えれば、Aの完全性R ( A )は特性pの完全環と写像θ  : R ( A ) → Aを伴うものであり、写像φ  : B → Aを備えた特性pの任意の完全環Bに対して、 φ がθを介して因数分解される（すなわちφ = θf ）唯一の写像f  : B → R ( A )が存在する。 Aの完全性は次のように構成できる。射影システムを考える。

${\displaystyle \cdots \rightarrow A\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow \cdots }$

ここで、遷移写像はフロベニウス自己準同型である。この系の逆極限はR ( A ) であり、すべてのiに対してとなるAの元の列 ( x ₀ , x ₁ , ... ) で構成される。写像θ  : R ( A ) → A は( x _i ) をx ₀に送る。^[8]${\displaystyle x_{i+1}^{p}=x_{i}}$

• Pリング
• 完璧な指輪
• 準有限体

• 「完全体」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]