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抽象代数学において、環R上の加群Mの随伴素数は、 Rの素イデアルの一種で、 Mの（素）部分加群の消滅子として生じる。随伴素数の集合は通常 で表記され、 Mの暗殺者または暗殺者と呼ばれることもある（随伴素数が消滅子であるという事実と表記法の間の語呂合わせ）。^[1] ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M),}$

可換代数では、関連する素数は、可換ネーター環のイデアルのラスカー・ネーター主分解に関連付けられています。具体的には、イデアルJ が主イデアルの有限交差として分解される場合、これらの主イデアルの根基は素イデアルであり、この素イデアルの集合は^{[2]と一致します。また、イデアルの「関連する素数」の概念に関連付けられているのは、}孤立素数と埋め込み素数の概念です。 ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/J).}$

非零R加群N は、Nの任意の非零部分加群N'に対する消滅子がR の素イデアルである場合に素加群と呼ばれる。素加群Nに対して、 はRの素イデアルである。^[3]${\displaystyle \mathrm {アン} _{R}(N)=\mathrm {アン} _{R}(N')\,}$${\displaystyle \mathrm {アン} _{R}(N)\,}$

R加群Mの随伴素数は、NがMの素数部分加群であるときの形のイデアルである。可換代数では、通常の定義は異なるが同等である: ^[4] Rが可換ならば、 Mの随伴素数P は、 Mの非ゼロ元mに対する形の素イデアルであるか、または同等にMの部分加群と同型である。 ${\displaystyle \mathrm {アン} _{R}(N)\,}$${\displaystyle \mathrm {アン} _{R}(m)\,}$${\displaystyle R/P}$

可換環Rにおいて、（集合論的包含に関して）最小の元は孤立素数と呼ばれ、残りの関連する素数（すなわち、関連する素数を適切に含むもの）は埋め込み素数と呼ばれます。 ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$

ある非零のm  ∈  M に対してxm = 0であるとき、ある正の整数n に対してx ⁿ M = 0 であるとき、その加群は共主であると呼ばれます。可換ノイザン環上の非零の有限生成加群Mは、ちょうど 1 つの素数を持つときに限り、共主です。 Mのサブ加群N は、 がPと共主であるとき、 P主と呼ばれます。イデアルIは、 のとき、かつ のときのみ、P主イデアルです。したがって、この概念は主イデアルの一般化です。 ${\displaystyle M/N}$${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{P\}}$

これらの特性と主張のほとんどは、(Lam 1999) の 86 ページ以降に記載されています。

• M' ⊆ Mの場合、さらにM ' がMの本質的サブモジュールである場合、それらの関連する素数は一致する。${\displaystyle \mathrm {尻} _{R}(M')\subseteq \mathrm {尻} _{R}(M)。}$
• 可換局所環であっても、有限生成モジュールの関連する素数の集合が空になることがあります。ただし、イデアルの昇順連鎖条件を満たす任意の環(たとえば、任意の右または左のネーター環) では、すべての非ゼロモジュールに少なくとも 1 つの関連する素数が存在します。
• 任意のユニフォームモジュールには 0 個または 1 個の関連する素数があり、ユニフォーム モジュールは共素モジュールの例になります。
• 片側ノイザン環の場合、分解不可能な入射加群の同型類の集合からスペクトル への全射が存在します。Rがアルティン環の場合、この写像は全単射になります。${\displaystyle \mathrm {Spec} (R).}$
• マトリスの定理: 可換ノイザン環Rに対して、分解不可能な入射加群の同型類からスペクトルへの写像は一対一である。さらに、それらの類の代表の完全な集合は、 によって与えられる。ここで、 は入射包を表し、Rの素イデアル上の範囲である。${\displaystyle E(R/{\mathfrak {p}})\,}$${\displaystyle E(-)\,}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\,}$
• 任意の環上のネーター加群 Mに対して、 Mの関連する素数は有限個しかありません。

可換ネーター環の場合については、一次分解#付随素数からの一次分解も参照してください。

• の関連する素イデアルがイデアルとである場合、${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$${\displaystyle I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3 }))}$${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})}$${\displaystyle (z^{3}-w^{3}-3x^{3})。}$
• R が整数環である場合、非自明な自由アーベル群と素数冪順序の非自明なアーベル群は互いに主である。
• R が整数環でM が有限アーベル群である場合、 Mの関連する素数はMの位数を割り切る素数とまったく同じです。
• 位数2の群は整数Zの商（それ自身の自由加群とみなされる）であるが、それに関連する素イデアル（2）はZの関連する素数ではない。

• ニコラ・ブルバキ、代数可換
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、可換代数、Graduate Texts in Mathematics、第150巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94268-1、MR  1322960
• ラム、ツィット・ユエン（1999）、モジュールと環に関する講義、数学大学院テキスト第189号、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98428-5、MR  1653294
• 松村英之(1970)、可換代数